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1、第4章 特征值问题和二次型,矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本章着重介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出了矩阵与对角矩阵相似的条件，并对实二次型的有关内容进行了讨论.,第4章 目录,第 4.1 节 特征值与特征向量第 4.2 节 相似矩阵第 4.3 节 二次型简介第 4.4 节 数学实验,第4.1节 特征值与特征向量,特征值与特征向量概念特征值与特征向量性质,返回,1.特征值与特征向量概念,(1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵，若存在数 及非零向量x使 Ax=x则称数 为A的特征值，x为A的对应于 的特征向量.例如,注：属于同一特征值的特征向量不惟一；一个特征
2、向量不能对应于不同特征值.,所以1为A的一个特征值，,特征值1的特征向量.,(2)相关概念,将特征值与特征向量定义式 Ax=x 改写为 x Ax=0 即(E A)x=0称,(3)特征值与特征向量求法,依据(E A)x=0 知：特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解；而齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数矩阵的行列式EA=0,即A的特征值 为特征方程的根.步骤如下(i)求出特征方程EA=0的全部根 1,2,n,即A的全部特征值；(ii)对每个i,求方程组(iEA)x=0 的所有非零解即为A的对应于特征值i 的特征向量.,分析,例1 求矩阵A的特征值和特征向量,解(i),(ii),例2,解(
3、i),(ii),例3 求矩阵A的特征值和特征向量,解(i),(ii),例2与例3中,重特征值所对应的线性无关特征向量的个数是不相同的.,2.特征值与特征向量的性质,(1)特征值的性质定理1 若1,2,n为方阵A的n个特征值，则(i)12n=A;(ii)1+2+n=a11+a22+ann=tr(A).证(i)根据多项式因式分解与方程根的关系，有 EA=(-1)(-2)(-n)令=0，得A=(-1)(-2)(-n)=(-1)n 12n,即 A=12n.(ii)略.,定理2 若为方阵A的特征值，则(i)k为Ak(k为正整数)的一个特征值;(ii)若f(x)为x的多项式,则f()为f(A)的一个特征值
4、；(iii)若A可逆,则-1为A-1的一个特征值;-1A为A*的一个特征值;定理3 n 阶方阵A与AT 有相同的特征值.证 由于(EA)T=(E)TAT=EAT,所以 EA=(EA)T=EAT 即A与AT 有相同的特征值.,定理2的证明,例4 已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3.求(1)2A的特征值；(2)A 1的特征值;(3 tr(A),|A|;(4)A*的特征值;(5)A2的特征值;(6)B=A22A+E的特征值及|B|.,解 由特征值的性质，得(1)2A的特征值为2，4，6；(2)A1的特征值为1，1/2，1/3;(3)tr(A)=1+2+(3),|A|=12(-3)=6;(4)A*的
5、特征值为 6，3，2;(5)A2的特征值为1，4，9;(6)B=A22A+E的特征值为2 2+1即0，1，16；|B|=0.,(2)特征向量的性质,定理4 方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关.,证 设1,2,m为方阵A的m个不同特征值,x1,x2,xm为相应的特征向量.当m=1时,x10(单个的非零向量线性无关),定理成立.假设对m1不同的特征值定理成立，现证对m个不同特征值定理也成立.设 k1x1+k2x2+kmxm=0(*)用方阵A左乘上式两端,得 k1Ax1+k2Ax2+ks Axm=0,再利用 Axi=i xi(i=1,2,m),得,k11x1+k22x2+kmmxm=0(*)
6、(*)-m(*),得k1(1m)x1+k2(2m)x2+km-1(m-1m)xm-1=0由归纳假设,x1,x2,xm-1线性无关.因而 ki(im)=0 i=1,2,m-1但(im)0(i=1,2,m-1),于是ki=0(i=1,2,m-1).此时式(*)变成 km xm=0,而 xm0，所以 km=0.这就证明了x1,x2,xm线性无关.,关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有,定理5 若0是方阵A的k重特征值，则对应于0的线性无关特征向量个数不超过k个.当A为实对称矩阵时，有定理6 实对称矩阵A的k重特征值恰好有k个对应于此特征值的线性无关的实特征向量.,练习,第4.2节 相似矩阵,
7、相似矩阵矩阵与对角矩阵相似的条件实对称矩阵的对角化,返回,1.相似矩阵,(1)相似矩阵定义:设A、B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使P1AP=B称矩阵A相似于矩阵B,或称A与B相似.记为AB.例如,注:AA；若AB，则B A；若 AB,B C 则AC.AB A与B等价.,(2)相似矩阵的性质,(i)若AB,则|A|=|B|；(ii)若AB,则E A E B,从而|E A|=|E B|,进而有相同的特征值，有相同的迹；(iii)若AB,则A m Bm,kA kB;(iv)若AB,f(x)为多项式,则f(A)f(B);(v)若AB,且均可逆，则A 1 B 1；(vi)若AB,则r(A)=r(B).
8、,证 设矩阵A与B相似,即有P 1 AP=B,则,(i)|B|=|P1AP|=|P1|A|P|=|A|；(ii)E B=E P1AP=P1(E A)P,即 E A E B；再由(1)得|E A|=|E B|；进而有相同的特征值，有相同的迹；(iii)Bm=(P1AP)m=(P1AP)(P1AP)(P1AP)=P1AmP,即Am Bm；P1(kA)P=k(P1AP)=kB,即 kA kB;(iv)由(3)及矩阵的运算性质即得f(A)f(B);(v)B1=(P1AP)1=P1A1(P1)1=P1A1P；(vi)AB时，A与B等价，从而r(A)=r(B).,例1,解 因相似矩阵有相同的特征值,故A与
9、B有相同的 特征值 2,y,1.由特征值的性质，有 2+0+x=2+y+(1)2=|A|=2y(1)=2y 得 y=1，x=0.,2.矩阵与对角矩阵相似的条件(矩阵可对角化的条件),(1)A可对角化的定义 若A与对角矩阵相似，称A可对角化.(2)A可对角化的条件 定理,证(),(),推论 若A有n个互不相同的特征值,则A可对角化.n阶方阵A可对角化 A的每个特征值的代数重数与几何重数相等.,线性无关特征向量的个数,特征值的重数,(3)矩阵对角化的实施步骤,(i)求出A的全部特征值 1,2,n；(ii)对每个i,求方程组(i E A)x=0 的基础解系 即为A的属于特征值i 的线性无关特征向量;
10、(iii)若A有n个线性无关特征向量 p1,p2,pn,则A与对角矩阵相似.令 P=(p1,p2,pn)，则,例1 矩阵A能否对角化？若能，求可逆矩阵P使 P1 AP=为对角阵.,解(i),(ii),例 2 矩阵A能否对角化？若能，求可逆矩阵 P 使P1AP=为对角阵.,解(i),(ii),由于线性无关特征向量个数为23，因此该矩阵不能对角化.,(4)可对角化矩阵的简单应用,(i)由特征值和特征向量反求矩阵A:A=P P1(ii)求方阵的幂:Ak=Pk P1 例3 3阶方阵A有三个不同的特征值1=1,2=2,3,对应的特征向量分别为,解,(2)令 P=(p1,p2,p3)则 P1AP=,思考练
11、习,3.实对称阵的对角化,(1)实对称矩阵特征值与特征向量的性质定理(i)实对称矩阵的特征值都是实数;(ii)实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;(iii)实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等.,定理(i)实对称矩阵的特征值都是实数;(ii)实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;(iii)实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等.,证(ii)设1,2为A的两个不同特征值,1,2为对应的特征向量,即 Ai=i i(i=1,2)因 2TA1=2T11=12T1 2TA1=2TAT1=(A2)T1=(22)T1=22T1故 12T1=22T1即(1-2)2T
12、1=(1-2)2,1=0，但1 2，因此 2,1=0，即2与1正交.,(2)实对称矩阵的对角化,定理 若A为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q，使 Q1AQ=QTAQ=为对角阵,的对角线上的元素为A的n个特征值.(证略)用正交矩阵化A为对角阵的步骤：(i)由|E A|=0求出A的全部特征值 1,2,n;(ii)对每个i,求方程组(i E A)x=0 的基础解系 即为A的属于特征值i 的线性无关特征向量;(iii)将线性无关特征向量正交化、单位化，令 Q=(q1,q2,qn)则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ=QT AQ=为对角阵.,例1,解(i),(ii),(iii)正交化、单位化,令 Q=(q1
13、,q2,q3),则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ=QT AQ=为对角阵.,实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法不唯一，故Q不唯一；由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交，故只须对属于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.,思考练习,第4.3节 二次型简介,二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或二次曲面方程为标准形问题.这里首先介绍一些基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一个二次型化成标准形.最后讨论一类特殊的二次型正定二次型.,基本概念化二次型为标准形的方法正定二次型,返回,称为n元二次型，简称二次型.,称为二次型的系数.,1.基本概念,(1)二次型定义,(2)二次型
14、的标准形,只含有平方项的二次型，即,称为标准形.例如：,一般二次型,标准型,(3)二次型的矩阵表示,二次型f 与实对称矩阵是一一对应的.称A为二次型f 的矩阵；称A的秩为二次型f 的秩.二次型f 的标准形与对角矩阵是一一对应的.,二次型的矩阵表示,例1 写出二次型的矩阵表示,解,问题：如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线性变换化为 标准形？即通过怎样的线性变换将一个带有交叉的二次齐次多项式(一般二次型)化简为只含有平方项的二次齐式(标准形).,2.化二次型为标准形(1)正交变换法 由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，根据上一节的结果知,存在正交矩阵Q，使 Q1AQ=QT AQ=为对角阵.将此结论
15、应用于二次型，有如下结论,定理 任意n元实二次型f=xTAx，都可经正交变换xQy化为标准形,用正交变换化二次型为标准形的步骤：写出二次型f 的矩阵A；求正交矩阵Q，使得QT AQ=为对角阵；正交变换xQy化二次型为标准形 f=yT y.,解,(i)二次型 f 的矩阵为,例2 求一个正交变换xQy把二次型化为标准形.,(ii)求出A的全部特征值及线性无关特征向量,得对应的一个线性无关的特征向量,当1=0,时解方程组(0E-A)x=0.,当2=3=2,时解方程组(2E-A)x=0.,得对应的线性无关的特征向量为,(iii)将所求特征向量正交化、单位化,因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3
16、正交化.,正交化,单位化,则正交变换xQy将二次型化为标准形,(iv)写出正交变换,令,(2)配方法,定理 任何实二次型，都可经过可逆线性变换化为 标准形.例3 用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性 变换,解(1)由于f 中含有x1的平方项,首先把含x1的项归并起来进行配方，得,则可逆线性变换xCy化二次型为标准形：,解(2)由于f 中不含有平方项,首先令,所求可逆线性变换为xCz，这里,配方法化二次型为标准形（小结）利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）.(1)若二次型含有xi的平方项，则把含有xi的项集中,再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项；(2)若在二次型中没有平方项
17、,但aij0(i j),则首先作可逆线性变换：,化二次型为(1)的情形，再配方.,对实二次型 f=xTAx，用不同的可逆线性变换均可将其化为标准形，因此其标准形不惟一.但需要指出的是：尽管标准形不惟一，但标准形中非零平方项的个数唯一确定，它等于二次型的秩r，且含正号的项的个数（称为正惯性指数）和含负号的项的个数（称为负惯性指数）都唯一确定.这就是实二次型的惯性定理.,惯性定理 设实二次型f(x1,xn)=xTAx 的秩为r,可逆线性变换xBy和xCz分别把它化为标准形,则p=q.(证明略),思考练习,3.正定二次型,(1)定义:设有实二次型f(x1,xn)=xTAx,如果对任意的x0，都有 f
18、(x1,xn)=xTAx0称f 为正定二次型;相应的矩阵A称为正定矩阵，记为A0;；若对任意x0都有f0,称f为负定二次型,相应的矩阵A称为负定矩阵；若对任何 x0 都有f 0，称f为半正定二次型，若f0，称f 为半负定二次型，相应的矩阵A分别称为半正定、半负定矩阵.,半负定二次型,正定二次型,负定二次型,半正定二次型,考察,(2)正定二次型（正定矩阵）的判别,定理1：二次型经过可逆线性变换，其正定性不变.,证明,定理2 f(x1,xn)=xTAx正定(或A)的充分必要条件是标准形的n个系数均为正.推论1 f=xTAx正定（或A）的充分必要条件是正惯性指数等于n.推论2 f=xTAx正定（或A
19、）的充分必要条件是A的特征值都大于零.推论3 f=xTAx正定（或A）则A0.,例1,解(法1）,A的全部特征值：1=3,2=1,该二次型正定.,(法2）,标准形中两个系数均为正，该二次型正定.,问题：对一般的二次型,无论将其化为标准形还是求其矩阵A的特征值均非易事!能否直接利用二次型的矩阵A判别它是否正定？,A的顺序主子式定义,定理3 二次型f(x1,xn)=xTAx正定(或A)的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零,即,解,各阶顺序主子式,所以，f是正定二次型.,例2 判断二次型是否正定.,解,各阶顺序主子式,故f不是正定二次型.,例3 判断二次型是否正定.,解,f 正定，应有,例4,
20、3.负定、半正定、半负定二次型判定定理,(1)负定二次型 若f 负定，则-f 正定;因此有如下结论定理(i)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是标准形的n个系数均为负；(ii)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是负惯性指数等于n；(iii)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是A的特征值都小于零；(iv)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式都小于零,而偶数阶顺序主子式都大于零，即,解,各阶顺序主子式,故f是负定二次型.,例5 判断二次型的正定性.,(2)半正定、半负定二次型,定理(i)n元二次型f=xTAx半正定充分必要条件是正惯性指数p=r(A)n.
21、(ii)n元二次型f=xTAx半负定充分必要条件是正惯性指数p=0，r(A)n.,思考练习,1.不定.2.负定.3.半正定.,第4.4节 数学实验,1.命令 EigenvaluesA,用以求矩阵A的特征值;2.命令EigenvectorsA,用以求矩阵A的特征向量;3.命令EigensystemA,用以同时给出矩阵A的所有特征值与线性无关的特征向量.,注:求n阶方阵的特征值与特征向量时，结果会显示矩阵的所有特征值与线性无关的特征向量，如果线性无关的特征向量的个数小于n，则会增加零向量，使最后结果中在形式上有n个向量.,返回,第2步:求矩阵A的特征值：用命令EigenvaluesA 求矩阵A的特征向量：用命令EigenvectorsA第3步：按“Shift+Enter”键，便得计算结果.,例 1,解(法1)第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入,第2步:调用命令EigensystemA第3步：按“Shift+Enter”键，便得计算结果.,(法2)第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入,例 2,解,因A的线性无关特征向量个数等于其阶数，故矩阵A相似于对角矩阵.,例3 写出二次型的标准形，并判定是否正定.,解,因此，二次型f的标准形为f=-y12-y22+y32.由于该二次型的特征值不都大于零，故该二次型不正定.,
