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1、第7讲 预期效用理论,一、不确定性选择的事例,我们先来讨论不确定选择的几个典型事例，并作一些分析。例1 彩票(lottery)发行彩票是一种常见的低成本筹资手段。购买彩票有可能获得奖品，甚至可能获得大奖，有些人就是靠购买彩票碰运气发了家。彩票的种类很多，不同的彩票有着不同的中奖概率分布。面对众多的彩票，消费者究竟是依据什么样的准则进行选择的？他究竟喜欢购买哪一种彩票？这是我们关心的问题。例2 赌博(gamble)赌博是一种典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是风险爱好者还是风险厌恶者还是风险中立者。当把通常的体育比赛、打麻将、玩扑克等游戏与收入紧密联系起来时，它们就成了赌博。
2、我们关心的是，当消费者面对一种赌博的时候，他是依据什么来决定参加还是不参加赌博的？例3 择业(job-choice)职业各种各样，有些职业具有稳定的收入，而有些职业的收入不稳定，与绩效挂钩。因此，择业也是一种不确定选择问题。,(一)抽彩选择,现有两种奖品相同的彩票：福利彩票和足球彩票，抽彩者如中奖，即可得自行车一辆。假定福利彩票的中奖概率为p(不中奖的概率便是1-p)，足球彩票的中奖概率为 q(不中奖的概率便是1-q)。购买者如果中奖，就可获得U1个单位的效用；如不中奖，则获得U2个单位的效用(实际上是损失 U2个单位的效用)。问：抽彩者人喜欢购买哪一种彩票？要回答这个问题，需要计算这两种彩票
3、的预期效用，即计算效用的数学期望。用 EU 表示福利彩票的预期效用，EV 表示足球彩票的预期效用：EU=pU1+(1-p)U2，EV=qU1+(1-q)U2。抽彩人究竟会购买哪一种彩票，取决于 EU 与 EV 的比较。如果 EU EV，则购买福利彩票会预期给购买者带来更大的效用，因而抽彩人更喜欢福利彩票。这样，抽彩人的选择是购买福利彩票。如果 EU EV，则抽彩人更喜欢会足球彩票，他的选择就是购买足球彩票。如果 EU=EV，即两种彩票对抽彩人的预期效用相同，则可认为这两种彩票抽彩人来说无差异，购买哪一个都可以。,1.彩票的表示,这个例子也说明，彩票可以用中奖概率分布来表示。比如有一种彩票有 n
4、 个等级的奖励：1等奖,2等奖,n-1等奖(末等奖),n 等奖(无奖)。获得 i 等奖的概率为 pi(i=1,2,n)，抽彩人获得 i 等奖后可得到的效用为 Ui个单位。于是，这种彩票可用它的中奖概率分布 p=(p1,p2,pn)来表示。购买彩票 p 的预期效用 EU(p)为：EU(p)=p1U1+p2U2+pnUn 在所有的那些奖品和奖励等级都完全相同的彩票中，预期效用越大的彩票，抽彩人就越倾向于购买。那么，当消费者面对两种奖励不同的彩票时，又该如何比较呢？事实上，这两种奖励不同的彩票通过如下的处理后，就可以看成是奖品和奖励等级都完全相同的彩票：把两种彩票的奖励合并在一起，只不过购买这种彩票
5、就不能获得那种彩票的奖励罢了。比如彩票 A 的奖品有a,b,c，彩票 B 的奖品有x,y,z，则可视彩票 A 和 B 的奖品都为a,b,c,x,y,z，只不过购买彩票 A 获得奖品 x,y,z 的概率是 0，购买彩票 B 获得奖品 a,b,c 的概率也是 0。这样，消费者依然是按照 A 和 B 的预期效用比较来选择的。,具有 n 个等级奖励的所有可能的彩票的全体是集合 X=p0,1:p1+p2+pn=1。显然，X 是 R的有界凸闭子集，因而是凸紧集。可以假定，一等奖让消费者净增加的效用最多,二等奖次之,n 等奖(无奖),2.彩票的设计,的效用增量为负(只有付出，没有所获)。于是，彩票 p=(1
6、,0,0)是预期效用函数 EU(p)在 X 上的最大值点。显然，谁也不会设计 p这样的彩票。实际情况是一段时间内消费者面对的只有一种彩票，消费者只需决定是否购买它。为了简单起见，假定只有两个等级的奖励：有奖和无奖。假定彩票价格为 a 元，奖品价格为 A 元。消费者 i 购买彩票，获奖后效用增加 U i，不获奖则效用损失 u(即损失了a 元钱的效用)。注意，一件奖品需要的彩票张数应不少于A/a+1。因此，中奖概率 p 必然满足 p a/(A+a)。另外，要让消费者购买彩票，预期增加的效用不能为负：pUi-(1-p)ui 0,即 p ui/(Ui+ui)(i=1,2,m)。可见，设计一种彩票，既不
7、让发行者亏本，又能让每个消费者都购买的条件是：A/a minUi/ui:i=1,2,m。这就是说，要想彩票发行成功，设计的奖品必须对消费者有足够大的效用：特别向往。,i,X,1,1,1,3.复合彩票,所有彩票的集合 X 是凸集，这有什么实际意义？也就是说，把彩票 p 和 q 进行加权平均 a p+(1-a)q 是什么含义？为了解释 a p+(1-a)q 的含义，可以设想 a 为某随机事件 A 发生的概率。对于彩票 p 和 q 来说，我们设计这样一种彩票 t：如果事件 A 发生，购买者将得到彩票 p；如果事件 A 没有发生，则购买者得到彩票q。所以，彩票 t 是一种以概率 a 获得彩票 p，以概
8、率1-a 获得彩票 q 的新型彩票，称为 p 与 q 的复合彩票。可以看出，购买复合彩票 t 获得 i 等奖的概率为 a pi+(1-a)qi。因此，彩票 t 的中奖概率分布为 a p+(1-a)q：a p+(1-a)q=(a p1+(1-a)q1,a p2+(1-a)q2,a pn+(1-a)qn)既然彩票是用中奖概率分布来表示的，因此 t=a p+(1-a)q。这就解释了彩票集合 X 为凸集的实际含义。,(二)赌博行为,实际问题：甲、乙两个球迷在为巴西-法国足球比赛的胜负争执不休。甲认为巴西队赢，乙认为法国队赢。于是，有人建议他们以50元赌金打赌。如果不接受这个赌博，甲和乙谁都不会赢得50
9、元，当然也不会付出50元，双方收入50元不变。如果接受赌博，赢者可得50元，总收入变为100元；输者要付出50元，总收入变为0元。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢？问题分析：甲和乙之所以争论，是因为各人有各人的信息，各人有各人的判断。甲说巴西队赢球，是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队赢球，是因为乙认为法国队赢球的概率大于巴西队。假设甲认为巴西队赢得比赛的概率为 p，法国队赢的概率为1 p；乙认为巴西队赢的概率为 q，法国队赢的概率为1 q。则 p 1 p，q 1 q。注意，这里的概率与彩票中奖的概率意义不同。彩票中奖的概率是客观存在的，因而叫做客观概率；而这里的概率是由赌博的双
10、方各自主观确定的，因而叫做主观概率。,1.预期效用,设甲和乙的货币收入效用函数为u和v。甲和乙各自根据自己的概率判断计算出赌博的预期效用：甲的预期效用：EU=p u(100)+(1 p)u(0)乙的预期效用：EV=q v(0)+(1 q)v(100)如果 EU u(50)，即甲参加赌博的预期效用大于不赌的效用，那么甲会参加赌博。如果 EV v(50)，即乙参加赌博的预期效用大于不赌的效用，那么乙会参加赌博。只有当 EU u(50)且 EV v(50)时，这场赌博才能开展起来。否则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否接受赌博，关键看他打赌的预期效用是否大于不赌的效用。一般地描述一个赌博，则可以
11、这样来说：赌博是一种游戏，输者赢得W1 元(W1 0)；输的概率为 p，赢的概率为1 p。这个赌博可表示为:G=(W1,p;W2,1 p)。某人现有收入W 元，货币收入效用函数为U(r)。如果他不接受赌博 G，则收入 W 元不变，效用为U(W)；如果他接受赌博G,则预期收入ER和预期效用EU分别为：ER=ER(G,W)=p(W+W1)+(1 p)(W+W2)EU=EU(G,W)=p U(W+W1)+(1 p)U(W+W2),2.公平的赌博,对于赌博 G=(W1,p;W2,1-p)，如果 ER(G,W)=W，即赌博的预期收入等于不赌的收入，则称 G 是公平赌博。不公平赌博分为两种：盈性赌博和亏性
12、赌博。盈性赌博简称盈赌,是指参赌的预期收入大于不赌的收入:ER(G,W)W；亏性赌博简称亏赌,是指参赌的预期收入小于不赌的收入：ER(G,W)W。,对于赌博 G=(W1,p;W2,1-p)而言，下述事实是明显的：G 是公平赌博当且仅当 pW1+(1-p)W2=0；G 是盈性赌博当且仅当 pW1+(1-p)W2 0；G 是亏性赌博当且仅当 pW1+(1-p)W2 0。,研究赌博对于解释风险环境中人们的行为有着特殊意义，尤其是通过观察人们在公平赌博面前的选择，可以得知人们对待风险的态度。如果一个人认为参加公平赌博比不参加好，即他认为公平赌博的预期效用大于不赌的效用，那么就可以说他是风险爱好者，是喜
13、欢冒险的人，称为冒险者。如果他认为即使公平的赌博，不参加也比参加好，那么就可以说他是风险厌恶者，不喜欢冒险，称为避险者或风险规避者；如果他认为对于公平的赌博而言，参加与不参加都一样，那么就可称他是一个风险中立者。,3.效用函数与对待风险的态度,人们对待风险的态度，完全表现在效用函数的性态上。风险爱好者的效用函数是凸函数，风险厌恶者的效用函数是凹函数，风险中立者的效用函数是线性函数。,风险爱好者,风险厌恶者,风险中立者,W+W1,W+W2,W,W+W1,W,W+W2,W+W2,W,W+W1,r,r,r,U,U,U,U1,U2,U1,U1,U2,U2,U(W),EU,EU,EU,U(W),U(W)
14、,对待风险的态度比较(假定效用函数U 严格递增),(三)职业选择,某人面对两种工作，需要选择一种。第一种工作是在私企做推销，薪金较高，但是收入不确定。干得好，月收入2000元；干不好，月收入1000元。假定干得好和干不好的概率各为1/2。第二种工作是在国企当售货员，平常的月收入为1510元。只有在国企营业状况极差的情况下月收入才会减少到 510 元，但这种情况出现的概率只有1%。因此，获得1510元月收入的概率为99%。两种工作的预期月收入ER1和ER2：ER1=0.52000+0.51000=1500（元）ER2=0.991510+0.01510=1500（元）两种工作月收入的方差 1 和
15、2：1=0.5(2000-1500)+0.5(1000-1500)=250000 2=0.99(1510-1500)+0.01(510-1500)=9900 可见，虽然两种工作的预期月收入都为1500元，但第一种工作的收入风险高于第二种工作：1 2。那么，这个人究竟会选择哪一种工作呢？,工作选择取决于对待风险的态度,在这种预期收入相同，但风险不同的两种作面前，一个人究竟选择哪一种工作，取决于他对待风险的态度。如果他是一个风险厌恶者，不喜欢去冒险，那么他就会选择收入比较稳定、风险较小的第二种工作；相反，如果他是一个风险爱好者，喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，那么他就会选择有获得高收入的机会但风险
16、较大的第一种工作。如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在“干得好”和“干不好”两种情况下的月收入都比上面所述的收入多 100 元，第二种工作的收入情况还是如上，则 ER1=1600(元)，ER2=1500(元)。1=0.5(2100-1600)+0.5(1100-1600)=250000 2=0.99(1510-1500)+0.01(510-1500)=9900 第一种工作虽然比第二种具有更多的预期收入，但同时也比第二种工作承担更大的风险。富有挑战精神的人(即使为风险厌恶者)可能会选择第一种工作，保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的工作面前，要回答人们究竟如何具
17、体选择的问题，需要对风险行为进行深入的研究。,二、预期效用,上述事例表明了这样一种现象：在不确定环境中，人们是根据预期效用进行决策的。也就是说，如果消费者对各种带有不确定性的选择方案有一个评价的话，那么这种评价肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事情真是这样吗？对不确定性行为进行评价的背后果真有预期效用作为支持吗？为了回答这个问题，我们先来研究风险环境中的消费者行为准则，建立预期效用理论。所谓风险环境是指这样的一种选择环境，其中人们的选择究竟会出现哪种结果依赖于一些自然状态，而这些自然状态出现与否是随机的。不过这种环境中，任何随机事件发生的概率都是客观确定的，不会因人而异。彩票环境就是
18、一种典型的风险选择环境，每种彩票在发行之时都要公布各种奖励的数量以及彩票发行的数量，因而彩票中奖的概率分布从客观上讲是确定的。用 表示风险环境中影响人们选择结果的自然状态的集合，称为(自然)状态空间。用 F 表示 上的事件域，其中每个事件发生的概率都客观存在；用 P:F 0,1 表示事件域 F 上这个客观存在的概率测度。于是,(,F,P)就是风险环境中客观存在的、影响人们选择结果的概率空间。(,F,P)也就代表着人们所处的风险环境。,(一)风险选择集合,假定有 l 种商品供人们选择，即商品空间为 R。设一切可能的选择结果的全体为集合 S R。称为确定性选择集合。于是,风险环境可表示为(S;,F
19、,P)。在风险环境中，虽然消费者还是选择 S 中的商品向量，但究竟选择哪个向量则与哪个自然状态出现有关。若用 x 代表消费者的风险选择，那么 x 的选择结果与 的元素有关：当状态出现时就选择 x()S。即,风险环境中人们的选择行为是状态空间 上的随机向量。鉴于此，我们用 X 表示所有这样的随机向量的全体：X=X(S)=x|x:S 是(,F,P)上的随机向量并称 X 为风险选择集合，它表示了风险环境中所有可能且可行的风险选择行为。为了正确理解风险选择集合，需要注意以下两点：,l,l,在 为无限集合的情况下，事件域 F 不是 的幂集。这说明，确实有些事件无法把握，其发生的可能性大小根本不可测。风险
20、环境排除了这类事件(如果包含这类事件，那就是不肯定性了)。并非从 到 S 的任何映射都能代表风险行为。作为风险行为，就必然要求能够把握行为的风险大小，因而要求必须是随机向量。,1.风险选择与确定性选择的关系,我们得到了两种不同的选择集合：确定性选择集合 S 和风险选择集合 X，它们之间的关系值得注意。对于 xX，如果存在 sS 使得 Px()=s=1,即x()=s 对几乎所有的 成立，则称 x 是退化的风险行为，记作 xs。显然,任何 sS 都可看成是退化的风险行为：s()=s。这样，我们就有 S X(S)，即风险选择集合 X 是确定性选择集合 S 的扩充。另外，几乎处处相等的随机向量可视为相
21、同的随机向量。因此，退化的风险行为 xs 也可看成是确定性选择行为 s。行为 x=(x1,x2,xl)X 的数学期望 Ex=(Ex1,Ex2,Exl)叫做 x 的预期(向量)。退化的风险行为 xs 的预期就是 s,即 Exs=s。一般情况下，我们都希望风险行为的预期是确定性选择集合 S中的向量，这就涉及到对 S 中的向量进行加权平均和取极限，因而要求确定性选择集合S 是凸闭集。今后，凡是需要 S 为凸闭集的时候，就假定 S 为凸闭集，而不再赘述。在 S 是凸闭集的假定下，我们有(xX)(ExS)。因此，风险行为的预期是一种确定性选择行为。,2.风险行为的分布函数表示,随机向量可以用分布函数加以
22、描述，因而风险行为可用其分布函数来表示。风险行为 xX 的分布函数 f 是商品空间 R 上的一个实值函数：(tR)(f(t)=Px()t)。分布函数 f 的密度函数 是满足下面三个条件的 l 元实值函数：,由于随机向量 x 取值于集合 S 之中：()(x()S)，因此可认为 x 的分布密度函数 在集合 S 之外取零值：(tR-S)(t)=0)。既然随机向量可与其分布函数(或密度函数)等同看待，风险选择集合X(S)也就可用分布函数集合D(S)来表示：D=D(S)=f:f 是 X 中的随机向量的分布函数用D(S)代替 X(S)的好处在于D(S)是凸集合。事实上，任何两个分布函数 f 和 g 的加权
23、平均 p f+(1-p)g 都依然是分布函数(0 p 1)。问题在于 p f+(1-p)g 是否是 X 中的随机向量的分布函数。因此,要认识 D(S)的凸性，需要解释 p f+(1-p)g的含义。下面就来解释之。,l,l,l,象复合彩票一样，两种风险行为 x,yX 也可以复合。对任何实数 p0,1，用 p x(1-p)y 表示这样行为：以概率 p 采取行为x，以概率1-p采取行为y，则 p x(1-p)y 也是 X 中的风险行为，称为 x 与 y 的复合行为。注意,p x(1-p)y与 p x+(1-p)y的含义截然不同。设 A 为某个概率为 p的事件，则 p x(1-p)y 表示：若事件 A
24、 发生,按照 x 进行随机选择；若 A 未发生,按照 y 进行选择。即当A时，(p x(1-p)y)()=x()；当A时，(p x(1-p)y)()=y()。计算 p x(1-p)y 的概率分布：设 x 的分布函数为 f，y 的分布函数为 g；对于任意的 tR，用 B 表示事件 p x(1-p)y t，根据全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)(A 表示 A 的余事件)可知：P(B)=P p x(1-p)y t=P(A)P p x(1-p)y t|A+P(A)P p x(1-p)y t|A=p Px t+(1-p)Py t=p f(t)+(1-p)g(t)可见，p x
25、(1-p)y 的分布函数正是 x 的分布函数为 f 与 y 的分布函数 g按照概率 p(作为权数)进行的加权平均。这就解释了加权平均分布 p f+(1-p)g的意义是 p x(1-p)y 的分布函数，从而证明了D(S)的凸性。到此可以说，风险选择集合D(S)是凸集。,3.风险行为的复合,l,c,c,c,c,c,(二)预期效用函数,从确定性选择集合S上的效用函数U 可计算风险行为 f D(S)的预期效用 EU(f)：EU(f)=S U(t)d f(t)，这就给出了D(S)上的一个函数 EU:D(S)R，叫做通常意义上的预期效用函数。在集合 S 中，消费者是根据效用函数 U 进行选择的。那么在风险
26、选择集合 D(S)中，消费者是否是根据预期效用函数 EU 进行选择呢？EU 能成为消费者在风险选择集合上的效用函数吗？为了分析这个问题，注意，消费者在D(S)中的选择实际上是根据个人偏好进行的，即他在D(S)上存在着自己的偏好关系 p。如果这个偏好关系p能够用预期效用函数EU 加以表示，就说明消费者在D(S)中确实是依据预期效用大小进行选择的。由此可见，风险选择集合D(S)上的偏好关系 p 能否用预期效用函数来表示，便是不确定性选择理论的基本问题。为了解决这个问题，人们提出了更加一般的预期效用函数概念，并对偏好关系 p 提出了预期效用公理。定义 凡是具有如下性质的函数 u:D(S)R 都叫做预
27、期效用函数：(f,gD(S)(p0,1)(u(pf+(1-p)g)=pu(f)+(1-p)u(g)。这条性质也就叫做预期效用性质。,1.预期效用公理,阿基米德公理：对任何 f,g,hD(S),如果 f p g p h，则存在 p,q(0,1)使得 p f+(1-p)h p g p q f+(1-q)h。,设 p 是消费者在风险选择集合D(S)上的偏好关系。,独立性公理：对于任何的 f,g,hD(S)及任何实数 p0,1，如果 f p g，则 p f+(1-p)h p p g+(1-p)h。,连续性公理：对任何 f,g,hD(S)，集合 f,g 和 f,g 都是闭集，其中 f,g=p0,1:p
28、f+(1-p)g p h f,g=p0,1:p f+(1-p)g f h,f,g,h,p f+(1-p)h,q f+(1-q)h,阿基米德公理,f,g,p f+(1-p)h,pg+(1-p)h,独立性公理,h,+h,-h,-h,+h,h,g,f,f,g,f,g,+h,-h,连续性公理,2.预期效用函数存在定理,定理 设 p 是风险选择集合D(S)上的偏好关系。p 可用预期效用函数来表示的充分必要条件是 服从阿基米德公理和独立性公理。,当p 具有预期效用表示时,p 的预期效用函数在仿射变换下是唯一的：若 u 和 v 都是 p 的预期效用表示，则存在实数 a 和 b 使得对一切 f D(S)都有
29、v(f)=a+b u(f)成立。,本定理虽然保证了一般意义上的预期效用函数的存在性，但还不能保证通常意义上的预期效用函数也存在。通常的预期效用函数是通过确定性选择集合 S 上的确定性效用函数的积分来表达的，因此还需要研究积分形式的预期效用函数的存在性：如果 p 是D(S)上的偏好关系，那么是否存在函数 U:S R 使得 EU:D(S)R 成为 p 的效用表示？为了对这个问题做出回答，我们假定风险环境中的状态空间就是确定性选择集合 S：=S。这个假设的意义是说，消费者能够对每种随机行为下“选择到 S 的某子集 B 中的向量”的概率大小做出估计，也就是说，我们把风险环境中的随机事件直接看成是“选择
30、结果落在 S 的一个子集中”。因此，概率空间为(,F,P)=(S,F,P)。,3.预期效用的积分形式,设 p 是D(S)上的偏好关系。由于 S D(S)，因此 p 给出了S 上的偏好关系：(x,yS)(x p y)(x p y)，其中 x 和 y分别表示退化的风险行为 x 和 y 的分布函数。定义(可测偏好)风险选择集合D(S)上的偏好关系p 叫做是可测的,是指对任何xS,集合 yS:y p x和yS:x p y都是F 的元素。单调性公理 对任何xX(S)及 sS,如果 Px p s=1,即x()p s 对几乎所有的都成立，则x p s；如果 Px s=1,即 x()s 对几乎所有的都成立，则
31、 x s。定理(积分形式)设(,F,P)=(S,F,P)且(sS)(sF)。如果 p 是 D(S)上的可测偏好关系并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理，则存在一个有界可测函数U:S R 满足如下条件：(f,gD(S)(f p g)(S U(t)d f(t)S U(t)d g(t)即 p 具有通常意义上的预期效用函数EU:EU(f)=U(t)d f(t)。预期效用函数存在定理及其积分形式表示定理告诉我们，在风险环境中，人们的随机选择实际上根据预期效用大小进行的，人们的行为准则必然是预期效用最大化。,S,三、主观概率,不肯定性与风险的相似之处在于这两种环境中消费者的选择结果都依赖于一些自然
32、状态，仍用 表示这些自然状态的全体，称为状态空间；二者的区别主要为：风险环境的状态空间 上客观地存在着事件域 F 和概率函数 P:F 0,1，而不肯定环境中的状态空间 上不存在这样的客观概率。因此在不肯定环境中，状态空间 的任何子集 A 都可以叫做事件(只不过不存在 A 发生的客观概率)，用 P 表示 的幂集，即 的一切子集的全体，也即所有事件的集合。在不肯定环境中，由于不确定事件的客观概率不存在，消费者在决策时就要凭经验、感觉和所掌握的信息来对事件发生的可能性作出主观判断，这就形成了所谓的主观概率，它因人而异。实际经济活动中，决策者涉及的概率一般都是主观与客观概率的混合。现在来研究主观概率，
33、我们关心的问题是：关于选择行为的何种公理体系能够用于推断主观概率的存在？即在什么样的公理体系下，消费者的不肯定选择好象是某种概率下的预期效用最大化的结果？1954年，萨维奇构建出了这种公理体系，并在1972年又进行了修正和完善。迄今为止，萨维奇的这个结果仍然处于领先地位。,用 S 表示一切可能的选择结果的集合,即S 为确定性选择集合。于是,不肯定环境可表示为(S;,P)。假定 S 是实数集合 R 的子集。在不肯定环境(S;,P)中,消费者的选择行为可用映射 x:S来表示,其意义是说,当状态 出现时,选择 x()S；但不知道究竟会选择到哪一个结果，并且不知道选择到 S 中的某个结果的概率有多大。
34、这种不肯定行为才是真正的不确定行为。用 X 表示一切可能的不肯定性行为的全体,即 X=S=x:x 是从 到 S 的映射,称为不肯定选择集合。对于 xX，集合 x=x():称为不肯定性行为 x 的结果集合。注意，S 中的每种结果 s 都可看作是一种不肯定性行为xs：()(xs()=s)，即 s 等同于 xs，从而 S X。可以通过任何事件 AP 把任何两种行为 x,yX 复合起来构成行为 zX：当 A 时，z()=x()；当 A 时，z()=y()。这个 z 就叫做行为 x,y 通过事件 A 的复合行为,记作。更一般地,任何有限种行为x1,x2,xnX 都可通过 的分划 A1,A2,AnP 构成
35、复合行为z=(x1|A1,x2|A2,xn|An)：当Ai 时，z()=xi()(i=1,2,n)。,(一)不肯定行为,所谓 A1,A2,AnP 是 的分划,是指 且 A1,An互不相交。,(二)主观概率公理,在不肯定环境中，消费者也是根据个人偏好来选择的，这意味着存在 X 上的一个偏好关系。既然 S X，也就决定了 S 上的偏好关系。对于xX 和 sS，注意 x s与 x()s 的区别。对于 x,yX 及 AP，如果(zX)(x|A,z|A)(y|A,z|A)，则称 x 依事件 A 不优于 y,记作x A y。关系 A 叫做由偏好关系 和事件 A 决定的条件偏好。显然，当 A=时，x A y
36、 对一切 x,yX 成立；而当 A=时，条件偏好 A 与偏好关系 一致。对于 AP，如果 x A y 对一切 x,yX 成立，则称 A 是零事件。显然，空集 是零事件。萨维奇对无常环境中的消费者偏好关系 提出了六条公理：条件独立公理、状态独立公理、定性概率公理、非退化公理、无原子公理、条件单调公理。这六条公理保证了主观概率的存在，从而在无常环境中，消费者的决策好像是根据这个主观概率下的预期效用进行的。这样，对于无常选择行为，我们也可以使用预期效用理论进行研究，即把无常性纳入到预期效用理论的应用范围之内。,c,c,条件独立公理：对任何x,y,a,bX 及 AP，状态独立公理：对任何 x,yS 及
37、 zX 以及任何非零事件 AP，定性概率公理：对任何 A,BP 及 x,y,a,bS，如果 x y 且 a b，则 非退化公理：存在 x,yS 满足 x y。无原子公理：对任何x,y,zX,若 x z,则存在分划 A1,A2,AnP 使得条件单调性公理：对任何x,yX 及 AP,如果(A)(x y()或者(A)(x()y)，则 x A y。,1.公理体系,定义 状态空间上的有限可加概率测度是指具有下述性质的函数P:P 0,1：P()=1且(A,BP)(AB=P(AB)=P(A)+P(B)。有限可加概率测度P:P 0,1叫做无原子是指P 满足如下条件：对任何实数 p0,1及集合 A,BP,AB，
38、都存在集合 CP 使得 A C B 且 P(C)=pP(A)+(1 p)P(B)。,2.萨维奇定理,定理 设不肯定环境为(S;,P)，并且 S R。则对于不肯定性选择集合 X 上的任一偏好关系 来说，下面两种表述等价：,服从独立性公理、保好性公理、定性概率公理、非退化公理、无原子公理和条件单调性公理。存在唯一的有限可加无原子概率测度 P:P 0,1 以及存在一个在仿射变换下唯一的有界函数 u:S R 使得对任何 x,yX，都有,本定理指出了保证主观概率和预期效用函数存在的不肯定经济行为公理体系。不过，这里的概率与通常的概率稍有不同，区别在于这里的概率只具有有限可加性，不具有可数可加性，这是因为
39、在无限状态空间 上，当事件域为 的幂集时，满足可数可加性的概率是不存在的。因此，经典概率论中总是要求事件域只是样本空间的一部分子集所组成的集族，然后才要求概率具有可数可加性。如果仿效经典概率论的做法来研究主观概率，那么我们也能够得到通常意义上的概率，从而就把主观概率问题纳入到了预期效用理论的适用范围之内。,四、两个悖论,以上关于不确定性的理论似乎是完美的且合乎实际，然而我们并不能由此就说该理论是对实际经济行为的确切描述。下面两个关于预期效用和主观概率的悖论，说明了理论与实际的相悖。(一)关于预期效用的悖论(Allais Paradox)有四种彩票 A、B、C、D，其奖励等级、获奖概率分布以及预
40、期收入情况见下表所示。,调查发现，很多人都认为 A B且 D C。这可能是因为，虽然 A与B的预期收入都是100万元，但 A 是确定的，而 B 有一文不得的风险；虽然 C 与 D 的预期收入都是11万元，但购买 D 仅以少1%的可能性就可能比购买 C 多得10万元，因而 D 比 C 好。,(一)关于预期效用的悖论(Allais Paradox),设消费者的预期效用函数为 u。计算预期效用：u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%u(D)=u(110)10%+u(0)90%根据调查结果 A B，应有 u(A)
41、u(B)。由此可知：u(100)11%u(110)10%+u(0)1%在此式两边加上 u(0)89%可得：u(100)11%+u(0)89%u(110)10%+u(0)90%即 u(C)u(D)，这与实际调查结果 D C 相矛盾。可见，预期效用理论有着不切实际的地方和时候。,(二)关于主观概率的悖论(Ellsberg Paradox),袋中有红球、蓝球和绿球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博 A、B、C、D：A：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。B：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元。C：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。D：从袋中摸出一球，若不是篮球
42、，可得1000元。面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。通过调查发现，大多数人基本上都认为 A B 且 C D。作出这种评价的原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高。用 P 表示赌博者的主观概率测度，u 表示在这个概率测度下的预期效用函数。用 F 表示摸出红球这一事件，G 表示摸出蓝球这一事件。则 F 表示摸出的球不是红球，G 表示摸出的球不是蓝球。令 p=P(F)，q=P(G)。则 P(F)=1-p，P(G)=1-q。计算这四种赌博的效用，可得到：,c c,c c,Ellsberg Paradox,从 A B 知：(p-q)u(1000)(p-q)u(0)。从 C D 知：(p-q)u(1000)(p-q)u(0)。这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可能让 A B 和 C D 同时成立。然而，调查得到的事实却是如此。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。对于理论与实际之间的这种相悖，一些经济学家认为是理论不完善，需要建立新的理论来解释不确定性行为。而另一些经济学家则认为出现这些悖论的原因在于人们发生了“视觉错误”。比如，有些时候人们无法判断距离，但这并不意味着要发明一种新的距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。,
