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1、1,第五章 高斯-克吕格投影（Gauss-Krger Projection）,蒲英霞南京大学地理与海洋科学学院2011年11月3日,2,高斯-克吕格投影的基本原理和公式通用横轴墨卡托（UTM）投影,3,5-1 高斯-克吕格投影的基本原理和公式,名称由来,德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。,投影性质,等角横切椭圆柱投影,4,概念,假想用一个椭圆柱套在地球椭球体外面，并与某一子午线相切，椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道面上，再按高斯-克吕格投影所规定的条件，将中央经线东、西各一定的经差范围内的经纬
2、线交点投影到椭圆柱面上，并将此椭圆柱面展为平面，即得本投影。,图5-1 高斯-克吕格投影示意图,5,投影条件,1.中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴；,2.投影具有等角性质；,3.中央经线投影后保持长度不变。,6,高斯-克吕格投影的基本公式,（5-1）,7,根据第一个条件，投影函数具有对称性，即在数学上具有奇偶性。,8,根据上述条件，将投影函数展开为的幂级数：,（5-3）,（5-2）,其中a0、a1、a2、a3，.是待定系数，分别是纬度 的函数。,9,根据第二个条件，必须满足下列等角条件：,等角投影条件为：,即,将E、G的偏导数形式代入，得,10,由经纬线投影后仍保持正交得
3、F=0，即,经变换后，可以得：,代入前式，有：,11,化简得：,同理可得：,考虑到H=（EG-F2）=(x/)(y/)-(y/)(x/)是一个面积元素，恒为正，在上面两式的开方中，只有当第一个式子取负号，第二个式子取正号时，才恒成立。所以等角条件还可以表示为：,12,前面（5-3）式,（5-4）,中的偏导数分别为：,13,将这些偏导数代入等角条件（），则有：,（5-5）,要使上式成立，须有：,（5-6）,14,若概括为一般形式，则有：,其中，k=0，1，2，。,因此，高斯-克吕格投影公式的最后确定，在于求出各系数a i(i=0,1,2,n)的形式。,15,根据第三个条件，中央经线保持长度不变，
4、有：,有了a0之后，其他系数可以逐个求出，分别如下：,16,17,高斯克吕格投影的直角坐标公式：,将以上求得的各个系数ai（i=0,1,2,n）代入前面的方程，加以整理，有：,18,球面高斯克吕格投影的直角坐标公式：,将球体半径R代入前面的椭球面高斯-克吕格投影的直角坐标方程，有：,19,经纬线形状：,本投影通常是按一定的经差分带投影，每带的经差一般不大（6或3）。,20,图5-2 高斯-克吕格投影全球经纬格网,21,当=0时，x=0，y 随的变化而变化，即赤道投影为直线且为y 轴。,当=0时，y=0，即中央经线投影也是直线，且为x轴；由x=s知，其长度与实地相等；两轴的交点即为坐标原点。,当
5、 为常数时，增加，x 增大，y 减小。经线是凹向中央经线的曲线，收敛于两极。,当 为常数时，增加，x 增大，y 增大。纬线是凸向赤道的曲线。,22,长度比公式,将（5-4）式求得的偏导数,23,代入长度比公式，并加以整理，有：,将上式开方，并按以下公式展开,24,长度变形特征：,25,当=0时，=1，证明了本投影的第一个条件，即中央经线投影后无长度变形。,在同一条纬线上，长度变形随经差 的增大而增大；在同一条经线上，长度变形随纬度的减小而增大，在赤道上长度变形为最大。,在上式中，和cos 都是偶次方且各项均为正号，故长度变形恒为正，除中央经线外，其他任何线段都变大了。,由于cos 为小于1的值
6、，其2次方和4次方更小，所以长度变形的大小，主要取决于。,26,子午线收敛角,x轴的正向与过已知点所引经线切线间的夹角。,27,由于对 取导数比较复杂（参见公式5-4），以下利用等角条件加以变换，得：,28,或利用下式,将x、y对的偏导数代入，仅限于三次项，则有：,按1/(1+x)展开：=1-x+x2-x3+x4-x5+,29,将a1、a2、值代入上式，有,因为 角甚小，按反正切函数的级数展开:,30,（5-9）,最后整理得：,31,在同一条经线（中央经线除外）上，纬度愈高，角愈大，在赤道上=0；,随经差和纬度的增加而增大；,在同一条纬线上，愈大，角愈大，在中央经线上=0；,上式为奇函数，所以
7、 角有正有负，其符号与同带经差 的符号相一致。,子午线收敛角 的变化规律：,32,投影带的划分,12.5万150万地形图 采用经差6分带；11万比例尺地形图 采用经差3分带。,33,图5-4 高斯-克吕格投影分带的两种划分方法,34,6分带从0子午线起，由西向东每6为一带，将全球划分为60带，带号用 1、2、360表示。凡是6的整倍数的经线即为分界子午线。,6分带（=3）,东半球各投影带中央经线的位置，可用下式计算(式中n为投影带带号)：L0=(6n-3)西半球各投影带中央经线的位置，可用下式计算(式中n为投影带带号)：L0=(6n-3)-360,35,它是在6分带的基础上划分的，从130开始
8、，由西向东每3为一带，全球划分120带。这样，凡是6带的分界子午线和中央经线都是3带的中央经线。,3分带（=1.5）,36,确定了投影带后，便可以任一带的中央经线的投影为x轴，赤道的投影为y轴，两轴的交点为坐标原点。这样，x坐标在赤道以北为正，以南为负，y坐标在中央经线以东为正，以西为负。,高斯-克吕格投影坐标规定,我国位于北半球，x坐标都是正的，而y坐标有正有负，为避免使用上的不便，规定将每带的坐标纵轴向西平移500公里。,各带投影完全相同。因此一带内的某一点，在60（或120）个带中都有对应点。为加以区别，在y值加上500公里的基础上，在百公里位数之前加上带号。,37,假设在同一带内，在同
9、一条纬线上有经差绝对值相等的两点A、B，则xA=xB，而y值的数字相等，符号相反。设yA=245 863.7m，则yB=-245 863.7m。按照移轴规定，加上500km后，则：yA=245 863.7m+500 000m=745 863.7m yB=-245 863.7m+500 000m=254 136.3m,38,由于这种分带法，各带投影完全相同，坐标成果各带可以通用。因此一带内的某一点，在60带中都有对应点。为了加以区别，规定在y值上加500公里，在百公里位数之前加上带号。假设上述A、B两点是在18带，那么其通用坐标为：yA通=18 745 863.7m yB通=18 254 136
10、.3m,39,高斯克吕格投影的优点：,等角性质，许多国家用以测制地形图。,适用于多种比例尺，便于编制成套比例尺的地形图。我国1：50万及其以上更大比例尺的地形图，都采用这一投影。,由于投影带经差不大，经纬网同直角坐标网的偏差较小，阅读和使用较方便。,坐标和子午线收敛角数值，只要计算一带，其他带都可以通用，可以大大减少计算工作量。,40,5-2 通用横轴墨卡托（UTM）投影,高斯-克吕格投影又称为横墨卡托投影（Transverse Mercator Projection），简称TM投影，是等角横切椭圆柱投影。,通用横轴墨卡托投影（Universal Transverse Mercator Pro
11、jection），简称UTM投影，是横轴等角割椭圆柱投影。,UTM投影和高斯-克吕格投影之间没有实质性的差别。,41,UTM投影条件：,投影具有等角性质；,中央经线投影为直线，且中央经线上长度比为0.9996；,UTM的应用：,美国编制世界各地军用地图和地球资源卫星象片。,42,43,如果将高斯-克吕格投影的坐标公式（5-7）乘以0.9996，则变成UTM投影的坐标x、y。,通用横墨卡托投影（UTM）的坐标：,44,UTM与高斯-克吕格投影的不同点：,带的划分相同，而带号的起算不同。,高斯-克吕格投影的分带从0起向东每6为一带；UTM投影的分带从180起向东每6为一带。,高斯-克吕格投影的第一
12、带（0 6 E）是UTM投影的第31带；UTM的第一带（180 174W）是高斯-克吕格投影的第31带。,UTM投影每带的南北极投影范围限制在北纬84至南纬80之间。,45,这样在UTM投影中可以使6带的中央经线与带的边缘经线的长度变形的绝对值大致相等。因此，在中央经线与边缘经线之间，可以求得两条无长度变形线，其位置距中央经线东西各180公里，相当于经差140。,根本的差别是中央经线长度比的不同。,高斯-克吕格投影每带中央经线的投影长度比等于1；,UTM投影每带中央经线的投影长度比为0.9996。,46,m,47,高斯-克吕格投影（左）与UTM投影（右）长度比的比较,48,Transverse
13、 Mercator projection for each of 60 different zones,each 6 degrees of longitude wideessentially 60 different projectionsEach zone is a Mercator projection(cylindrical)with the line of contact,called the central meridian,aligned along a line of longitudeTwo origins are established for each zone Both
14、are 500k m west of the central meridianOne for the northern(equator)and southern(10 million m south of equator)hemispheresDistance units are meters,49,50,51,上机实习作业,3.绘制高斯-克吕格投影全球6分带示意图。,0,1、计算=30N，=11430E点的高斯-克吕格投影通用坐标。（x=3322 805.2m,y=20 258 741.7m)2、计算=2N，=2的UTM坐标（ae=6378135,e1=0.081819）。（x=221 132m,y=222 460+500 000m),52,思考题,1、叙述高斯-克吕格投影的三个条件，并根据这些条件试推导该投影的直角坐标公式。2、根据高斯-克吕格投影的直角坐标公式分析投影后经纬线的形状。3、根据高斯-克吕格投影的长度比公式分析其变形特征。4、根据子午线收敛角公式分析其变形规律。5、比较UTM投影和高斯-克吕格投影的异同点。,
