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1、第4.3节 齐次线性方程 组解的结构,线性代数,主要内容,一、齐次线性方程组非零解的存在性,二、齐次线性方程组解的性质,三、基础解系及其求法,四、思考与练习,一、齐次线性方程组非零解的存在性,定理1.,AX=0有非零解的充要条件是系数矩阵A的秩r(A)n,推论1.,AX=0只有零解的充要条件是r(A)=n,推论2.,方程个数m小于未知量个数n时,AX=0必有非零解;,当m=n时,AX=0有非零解的充要条件是|A|=0.,推论3.,当m=n时,AX=0只有零解的充要条件是|A|0.,二、齐次线性方程组解的性质,定理4.3:,证:,基础解系的定义,三、基础解系及其求法,即,(*)式称为方程组的通解
2、公式,定理4.4:,依次得,从而求得原方程组的n-r个解,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,注:,解空间的基不是唯一的任意n-r(A)个线性无 关的解都是基础解系,2 若 是 的基础解系，则其通解为,例1 求下列齐次方程组的通解。,解：,初等行变换,行最简形矩阵对应的方程组为,法1：先求通解，再求基础解系,即,是自由未知量。,令,则,即,为任意常数。,法2：先求基础解系，再求通解。,由,则通解为,为任意常数）,解：,初等行变换,所以只有零解。,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行标准形，有,例3,证:,思考题:,四、思考与练习,解:,课堂练习：,答案：,1、D；2、D；3、k1,1,.,1T,
