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1、3.2 波导场方程及导模本征解,模式分析的基本过程,数学模型园柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析,数学模型,阶跃折射率分布光纤(SIOF)是一种理想的数学模型,即认为光纤是一种无限大直园柱系统,芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸,折射率为n2；光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。,光纤是一种介质光波导，具有如下特点：无传导电流；无自由电荷；线性各向同性。,一、波导场方程,麦克斯韦方程,电场、磁场变量分离,场的波动方程,时间、空间变量分离,亥姆赫兹方程,（将直角坐标变换为圆柱坐标）,代表场的任意一分量，到底是哪一分量？能方便求出场的其他分量!,纵横分离
2、,波导场方程及导模本征解,场矢量：波导场方程：,将场做变量分离：,代入上式，得：,角向为周期函数：,本征解的选择,纵向场分量满足：l 阶贝塞尔方程贝塞尔方程的解：第一类和第二类贝塞尔函数：Jl,Yl 第一类和第二类变态汉克尔函数：Il,Kl,贝塞尔方程的标准形式为：,纤 芯,包 层,场解的选取,依据：导模场分布特点:在空间各点均为有限值;在芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式;导模场在无限远处趋于零。贝塞尔函数形式:Jl呈振荡形式,Kl则为衰减形式。本征解选取:在纤芯中选取贝赛尔函数Jl,在包层中选取变态汉克尔函数Kl.,本征解的确定,纵向分量：A,B,C,D为待定常数，由边界条件确定 横向分
3、量：由纵横关系式求得,纵横关系式,3.3 本征值方程,P27三处更正,本征值方程的物理意义,又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与相联系,因此它实际是关于的一个超越方程。当n1、n2、a和0给定时,对于不同的l值,可求得相应的值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本征值方程可以有多个不同的解lm(l=0,1,2,3.m=1,2,3.),每一个lm都对应于一个导模。,3.4 模式分析,光纤中的模式可以分为以下几种：TE模：Ez=0，只有HzTM模：Hz=0，只有EzEH模：电场占优势，Hz相位超前EzHE模：磁场占优势，Ez相位超前Hz,A=0 or B=0 故 l=0,l
4、0，椭圆偏振波,相互正交的线偏振波,齐次方程,3.4.1 光纤中的模式及其分类,本征值方程表达形式,形式1：,形式2:,设：,对TE模：,使齐次方程得到不全为零的根，有：,对TM模：,使齐次方程得到不全为零的根，有：,TM模的本征值方程：,TE模的本征值方程：,本征值方程,混杂模的本征值方程：,令,可得：,令“”EH模，令“”HE模，,EH模的本征值方程：,HE模的本征值方程：,贝塞尔函数递推公式(I),3.4.2 模式本征值,贝塞尔函数递推公式(II),P28-29更正,模式的本征值可由U或W求得在一般情况下由本征值方程求本征值很复杂,只能利用计算机进行数值计算。两种情形可很容易地确定本征值
5、:导模处于临近截止导模处于远离截止,TE0m模式（l=0）,J0=(1/2)(J-1J1)=J1,K0=(1/2)(K-1K1)=K1,远离截止条件：,临近截止条件：,P29更正,特别注意：远离截止条件为 但不包括U=0这个根，因为,因为：,TM0m模式（l=0）,临近截止条件：,J0=(1/2)(J-1J1)=J1,K0=(1/2)(K-1K1)=K1,P30更正,远离截止条件：,简并态,由前分析知，TEom模与TMom在临近截止与远离截止时具有相同的本征值，即两种模式处于简并态;在截止与远离截止之间其本征值并不相同，称为简并击破。TE和TM模成对出现，成对消失！TEom的本征值方程 TMo
6、m的本征值方程,HE m模式,本征值方程利用贝塞尔函数关系式将上式化为：,，W0：,HE1m模式（l=1）,本征值方程利用贝塞尔函数关系式将上式化为：临近截止条件：远离截止条件为：,U=0满足临近截止条件，也是本征值,HElm模式（l 1）,本征值方程利用贝塞尔函数关系式将上式化为：临近截止条件：注意：,P31更正,将以上两种情况合并，对于HElm模式（l 0）临近截止条件：远离截止条件：,远离截止条件:,EHlm模式（l 0）,本征值方程利用贝塞尔函数关系式将上式化为：同理，可得临近截止条件：远离截止条件：,P32更正,模式本征值:小结,模式的截止与远离截止:临近截止:W=0,场在包层中不衰
7、减远离截止:W,场在包层中不存在截止与远离截止条件:模式临近截止远离截止TE0m(TM0m)J0(U0mc)0 J1(U0m)0HElm Jl-2(Ulmc)0 Jl-1(Ulm)0EHlm Jl(Ulmc)0 Jl+1(Ulm)0*除了HE1m模式以外,U不能为零模式本征值:UlmcUUlm,低阶模式截止与远离截止时的本征值,色散曲线结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数与光纤归一化频率V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,本征值方程又叫色散方程。,3.4.3 色散曲线与单模条件,色散曲线分析,图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线
8、与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数。给定V值,V=Vc,则Vc越大导模数越多;反之亦然；当Vc2.405时,在光纤中只存在HE11模,其它导模均截止,为单模传输。,光纤单模工作条件,单模条件:(仅适用于SIOF）单模光纤尺寸:单模光纤截止波长:单模光纤截止频率:仅当c或ffc时方可在光纤中实现单模传输.这时,在光纤中传输的是HE11模,称为基模或主模。紧邻HE11模的高阶模是TE01、TM01模和HE21模,其截止值均为Vc2.405。,Notice：HE11模式是光纤中唯一不能截止的模式，因为VC=0才会截止，而这种情况下对应a=0或n1=n2，这都是实际不可能的。,作 业,说明光波导数值孔径的物理意义子午光线的主要特征是什么?光线时延差影响光通信的什么性能？在什么条件下才可以唯一确定光波导中的模式？在纤芯和包层中选取的贝赛尔函数分别具有什么数学特征？写出SIOF中TE01、TE02、TE03在临近截止和远离截止时的本征值。光纤纤芯变粗时，允许存在的模式数目如何变化？,
