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1、第二章,光纤光学基本方程,光波导的模式,2,?,光,单模,多模,电磁分离 波动方程 wave equation,纵横分离 波导场方程,时空分离 亥姆霍兹方程 Helmholtz equation,分析思路,光波导：约束光波传输的媒介导波光：受到约束的光波,亥姆霍兹方程,光线理论,波动理论,模式,一、 波动方程,波动方程推导,最简单的波动方程,电矢量与磁矢量分离,理想介质各向同性介质：无自由电荷介质： f=0， Jf=0非时变介质：,物质方程,边界条件,麦氏方程,一、 波动方程,波动方程推导,最简单的波动方程,电矢量与磁矢量分离,物质方程,边界条件,麦氏方程,波动方程的标量形式,直角坐标系中，电
2、磁场的每个分量都成立，也就是说，电磁场向量的每个分量都满足标量波动方程。,一、 波动方程,波动方程推导,最简单的波动方程,电矢量与磁矢量分离,物质方程,边界条件,麦氏方程,波动方程的标量形式,式中 代表E和H的各分量。在圆柱坐标中只有Ez和Hz分量才满足上述波动方程，横向电磁场分量不满足。,三、亥姆霍兹方程,Maxwell方程,Helmholtz方程,空间时间分离,（频域Maxwell方程）,三、亥姆霍兹方程,亥姆霍兹方程的标量形式,基本方程,直角坐标系,圆柱坐标系,左图表示 t = 0 时刻，电场及磁场随空间的变化情况。,自由介质中的单色均匀平面波,若取Z轴方向为传播方向，则,横场和纵场,称
3、为纵向传播常数，其实就是波矢在Z方向的分量kz。,纵向振荡因子,自由介质中的单色均匀平面波,横场和纵场,对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此称为横电磁波，或称为TEM波。以后将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的非TEM波。,T Transverse,导电介质中的平面波,衰减因子,矩形波导,圆波导,电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存在，在横向以“驻波”的形式存在。,1-2 波导方程,一、波导方程,横纵坐标分离,略去,t-垂直于z方向的横向(Transverse),模式场,亥姆霍兹方程,一、波导方程,（纵向）传播常数，表示光场沿纵向的波动性。 e(x,y)和h(x,y)表示光场
4、（E,H）沿波导横截面的分布，称为模式场,（横向）传播常数,直角坐标系,圆柱坐标系,直角坐标系,二、模式,波导场方程是一个典型的本征方程，其本征值为或。当给定波导的边界条件时，求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”，它相应于某一本征值并满足全部边界条件。每一个模式对应于电磁场的一种稳定存在形式，用电力线或磁力线将此形式描绘出来便是一种特定图案。波导中总的光场分布则是这些模式的线性组合：,模式图形,模式的特征：模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。一给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励起波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。模式
5、的场矢量e(x，y)和h(x，y)具有六个场分量：ex、ey、ez和hx、hy、hz(或er、e、ez和hr、h、hz)。只有这六个场分量全部求出方可认为模式的场分布唯一确定。,将两式代入麦氏方程的两个旋度方程中：,并利用以下关系,三、模式场的分量形式,式中：,推导,纵横关系式,类似地，对于圆柱坐标，可得：,返回框图,纵横关系式,1-3 模式及其基本性质,模式场分布、纵向传播常数（本征值）、横向传播常数、模式截止条件等,求解问题,求解方法（波动光学方法）,由波导场方程求取Ez和Hz （模式场的纵向分量）由纵横关系式求取横向场分量由边界条件获得本征值方程由本征值方程求取本征值,1-3 模式及其基
6、本性质,（以平板波导为例）,More than 3 layersn1 n2 n3Width (in y)dd mn=n1-n2, 0.001-0.01=n/n1 n/n2 相对折射率差0.1-1,If n2= n3, 对称波导（Symmetrical waveguide） n2n3, 非对称波导（Asymmetrical waveguide）,Ez= 0， Hz= 0 的波，称为横电磁波，简记为 TEM波 Ez 0， Hz= 0 的波 ，称为横磁波，EyHx0，仅有Ex，Ez和Hy三个场分量。简称为 TM 波或 E 波Ez= 0， Hz 0 的波，称为横电波，ExHy0，仅有Ey，Hx和Hz三
7、个场分量；简称为 TE 波或 H 波。,波导中可存在的波型,1-3 模式及其基本性质,平面波的反射与折射（a）TE波 （b）TM波代表进纸面，代表出纸面，角标i、r、t分别代表入射、反射和折射,1-3 模式及其基本性质,（以平板波导为例）,1-3 模式及其基本性质,（以平板波导为例）,电磁场沿z方向传输，z 方向波导的几何形状不变。在 y 方向波导是无限延伸的，同时由于对称性，场分量在 y 方向没有变化，即：,从物理量随着指标变化来看，平板波导只与X、Z两个指标有关。又可称平板波导为二维波导。,波导方程：,直角坐标系,一、波动光学方法（电磁场分析）,波导方程：,直角坐标系,TE 波,ez =
8、0， hz 0 的波 ，称为横磁波，hyex0，仅有hx，hz和ey三个场分量。,纵横关系式,在三层介质中分量解分别写出分量波动方程为：,波导层：,衬底层：,覆盖层：,令：,对称波导：,d,解得：,其中，,对于导模，在波导内应呈振荡形式的解。,对于导模，在介质外场分量应迅速衰减。,纵向场解基本形式,导模条件,波导内呈振荡形式解，应有,介质板外场分量应迅速衰减，应有,对于导模,导模条件为：,波导内呈振荡形式解，应有,横向场解基本形式,传播常数的确定（本征值方程）,或,纵向传播常数,证明,横向传播常数,横向传播常数,横向传播常数,图解法求解特征方程,UtanU,-UcotU,模式截止,截止条件：,
9、模式截止,UtanU,-UcotU,模式的阶数,m越大，越大，b越小。,m=0，1，2，分别对应着TE0，TE1，TE2模式，m称为TE模的阶数。,模式数量,向下取整,UtanU,-UcotU,归一化频率,波导中传输模式的数目与V 有关， V 是介质平板波导的结构参量，它与波导的 n1、n2 、 d 及真空中的波长有关。,归一化频率,归一化频率,若 V 2，则波导中存在许多传输模式。因此若若设计一个多模介质板波导，应按下式选择介质平板的半宽度：,波导数值孔径,若波导的V / 2，则图中的圆只能与UtanU曲线的第1个分支相交，这时波导中只存在一个TE模，即 TE0模。,一对称介质平板波导，d=
10、1m, n1=2.234, n2=2.214，00.6328m，求：(1)波导中存在哪些TE模?(2)当光波长增加到多少时，波导中只有TE0模存在?,返回基本方程框图,如果从z方向来观察波导横截面，那么就只能看到光波沿着x方向的上下运动，以下就从此观点出发来导出平板波导中的导模条件。,2、平板波导的几何光学分析,设一光波从薄膜下界面出发向上行进到薄膜上界面，在上界面全反射后返回到下界面，并在下界面再次遭到全反射，此时会与原先从下界面出发的光波叠加在一起，若要发生相互加强，则两列波的相位差应为2的整数倍。这个维持导模的条件称为横向共振条件。,平板波导的模式本征方程,d,A,B,C,D,波前,n1
11、,n2,n3,13,12,全反射相移,该方程的又称为色散方程。对于给定波导参数，可求出，当m取值不同时，值也不同。称为m阶导模的模角。只能取一系列分立值。由可以确定传播常数。,平板波导不同模式的传输路径比较,m=0,m=1,m=2,程函方程：表示光波相位变化与介质折射率分布的关系光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传播路径上有方向变化。光线方程：光线向折射率大的方向弯曲。相位梯度方向与波矢量k方向一致，其模等于该点邻近单位距离内的相移。(弧度/米）,返回基本方程框图,2-4 程函方程和射线方程,推导,切线方向上的单位光程沿路径变化率,折射率梯度,二、 波动方程,两边取旋度：,均匀介
12、质（ ）或变化缓慢的介质（ ）,最简单的波动方程,非均匀介质,返回波动方程,称为传播常数，表征相位变化的快慢,在物理学中，k常称为波矢量，或者称为波数。它指向波的传播方向。,对于各向同性介质，k的方向与能流方向一致。,红色线条代表电力线,蓝色线条代表磁力线,TE10模式场的三维图形,圆波导(光纤)中的空间模式,返回模式的概念,得各个分量的方程：,用ez和ez表示ex的表达式：,式中：,类似可以得到用ez和hz表示ey，hx，hy的表达式：,返回,基本的波导方程式可化为：,返回,本征值方程（特征方程）的导出,上面求出的场分量应满足电磁场的边界条件，即当 xd 时，横向场分量应保持连续。,当xd
13、时，应有ey1=ey2，hz1=hz2，由这两个关系式可得到,当x-d 时，也应有ey1=ey2，hz1=ez2，由这两个关系式可得到：,组成线性齐次方程组，要使A，B有非零解，须令其系数行列式为零：,由上式得TE模的特征方程式：,或,返回,光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。平面波在任意方向传输的波函数：相位因子对非均匀介质，相位既与位置有关，又与传播路径上的折射率有关，用光程函数表示波函数略去时间因子相位梯度 ：表示光线传播过程中相位的变化率由麦克斯韦方程推导程函方程:,2.4-1 程函方程,由：等式左边：与等式左边相等：,由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：三个矢量正交，相位梯
14、度与波面法线方向一致。条件：将（2.4-1a）代入（2.4-1b） ，利用矢量恒等式,电场矢量振幅不能处处为零，因而必然有：或者：式（2.4-2a）称为程函方程；相位梯度 方向与光波传播方向一致，其模等于介质折射率；程函方程给出波面变化规律：在均匀介质中，光波传输方向不变；在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变。,（2.4-2a）,（2.4-2b）,2.4-2 光线方程（射线方程）,r ：光线传播路径S上某点的矢径dr/ds:传播路径切线方向上单位矢量,根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向与相位梯度方向一致，大小等于：由程函方程,因此,相位梯度等于路径切线方向上的单位光程,上式对路径 S 求
15、导,光线方程是矢量方程，表示光线向折射率大的方向弯曲。,等式右边：,（2.4-4),故对 S 求导式为：,切线方向上的单位光程沿路径变化率,折射率梯度,光线方程,例1：光线在均匀媒质中的传播,光线方程：因 n = 常数改写成：其解为矢量直线方程： a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进，并通过r=b点。物理意义： 表示光线路径的曲率变化量。 表示光线路径为直线。,光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程：,光线方程：,设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则：dn /d =0, dn /dz =0,例2：光线在圆柱体中的传播,由上三式得光线轨迹（路径与z 的关系）：,只要光纤折射率分布和入射点确定，就可计算光线轨迹。,为入射点，,为入射点方向余弦，,n0 为入射点折射率。,设,（ 2.4-6 ）,古斯-汉欣位移 在介质面上位相跃变可等效反射光线的位置，如图：,d位移十分微小当l550nm，d=6nm-10nm这是难以观察到的。而穿透深度在10微米左右，当n2介质层比它小时，有部分光将透射出去，这现象称为光学隧道效应。,虚反射面,侧面位移,反射面,d,穿透深度,
