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1、第 一 节自由电子气的能量状态,1 金属中自由电子的运动方程和解,2 波矢空间和能态密度,3 自由电子气的费米能量,本节主要内容：,1 金属中自由电子的运动方程和解,(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；,1 自由电子气的能量状态,1.模型(索末菲),自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的、遵从泡利原理的电子气。,(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；,(3)价电子速度服从费米狄拉克分布。,为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度是无限的。粒子势能为,2.薛定谔方程及其解,每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：,E-电子的能量,-
2、电子的波函数(是电子位矢 的函数),常用边界条件,驻波边界条件,周期性边界条件,波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。,波矢，,为电子的德布罗意波长。,电子的动量：,电子的速度：,由正交归一化条件：,由周期性边界条件：,(其中 为整数),2 波矢空间和能态密度,1.波矢空间,以波矢 的三个分量 为坐标轴的空间称为波矢空间或 空间。,金属中自由电子波矢：,(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：,(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):,2.能态密度,(1)定义:,(2)计算:,波矢密度,
3、两个等能面间的波矢状态数,两等能面间的电子状态数,能态密度,两等能面间的波矢状态数：,考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，,能态密度:,例1：求金属自由电子气的能态密度,金属中自由电子的能量,法1.,法2.,金属中自由电子的能量,其中,在半径为k的球体积内电子的状态数为：,自由电子气的能态密度：,法3.,其中,3 自由电子气的费米能量,在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是,1.费米能量,EF-费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。,2.图象,随着T的增加，f(E)发生变化的
4、能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在EF附近kBT范围内。,3.费米面,E=EF的等能面称为费米面。,在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。,T0时，费米球面的半径kF比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF约kBT范围的能级上的电子被激发到EF之上约kBT范围的能级。,4.求EF的表达式,分两种情况讨论：,EE+dE间的电子状态数：,EE+dE间的电子数：,系统总的电子数：,(1)在T=0K时，上式变成：,将自由电子密度N(E)=CE1/2代入得：,其中,令n=N/V，代表系统的价电子浓度，则有,自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算,金属中一般
5、n1028m-3，电子质量m=910-31kg，,几个电子伏。,由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。,(分步积分得来),(2),则上式化简为,因此一方面，,另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：,函数的特点具有类似于函数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才有显著的值，且是EEF的偶函数。,只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到,很显然，I0等于，由于 为(E-EF)的偶函数，因此I1=0。,令(E-EF)/kBT=，则,得：,得:,由于系统的电子数,利用kBTEF，最后得,第二节 玻尔兹曼方程,本节主要内容：,1 玻尔兹曼方程的
6、微分积分方程,2 弛豫时间近似,金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输运现象。,电流密度：,为金属的电导率。,中的电子数：,取单位体积VC=1,中的电子对电流密度的贡献为：,玻尔兹曼方程,不同状态电子的分布函数不同，是在外场下的非平衡分布函数。,如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？,玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的方程。,由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。,1 玻尔兹曼方程的微分积分方程,电子
7、分布函数f是波矢、空间坐标 和时间t的函数。,温度梯度,变化,f变化,变化,f变化,在外电场 和磁场 中，电子的运动规律是,以波矢 坐标 为变量组成的空间称为相空间。,在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。,1.相空间,描述t时刻电子在晶体内 处波矢为 的概率。,电子分布函数的变化表示为,碰撞引起的分布函数的变化,2.分布函数的变化,漂移作用引起的分布函数的变化,漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移,+速度引起的电子位置的漂移,碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因，电子不断发生从 态的跃迁，电子态的这种变化常称为散射。,只考虑相同自旋态之间的跃迁。,(只考虑自旋相同的跃迁)
8、,如果系统处于稳定状态，则，即,它是一个微分-积分方程。由于难于求出此方程的解，因此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。,2 弛豫时间近似,式中 是平衡时的费米狄拉克分布函数，是一个参量，称为弛豫时间，是k的函数。,电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡分布,表示分布函数对平衡的偏离,1.无外场，无温度梯度,总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受到遏制，被限制在一定程度而达到稳定分布。,2.外场和温度梯度存在,玻尔兹曼方程为：,第 三 节 弛豫时间的统计理论,本节主要内容：,1(k)表达式,2(k)的物理意义,弛豫时间的统计
9、理论,以晶格各向同性以及弹性的电子散射为例说明：,(1)究竟在什么情况下可以用(k)来描述碰撞项？,(2)(k)由什么决定？,对于各向同性的弹性散射，能量 与 的方向无关，只是 k的函数，k空间的等能面是一些围绕原点的同心球面。,即：,1(k)表达式,所以对于弹性散射的情况，即E=E，有,2.当有外场存在和温度梯度时，一般来说，f偏离平衡态不太大，这时,对于各向同性弹性散射，取,又,所以,对于等能面是球面的弹性散射，只依赖于的模以及 之间的夹角，即,若金属处于恒定温度下，只施加外电场，玻尔兹曼方程,化为：,又,将上面式子比较得,此时沿电场方向，电子散射前后的动量比是：,一个波矢为k=kx的电子
10、，经过弹性散射到达 的状态，如图所示,只有外电场的情况下，弛豫时间的统计表达式：,如果在上式中忽略掉(1-cos)因子，积分将表示在 状态的电子被散射的总的概率，因而，上式说明弛豫时间就是电子的自由碰撞时间。,式中(1-cos)因子的作用可作如下分析：,2(k)的物理意义,若散射是小角度的，即k与k接近，角很小，(1-cos)值也很小，因此在积分中的贡献很小；相反若散射角很大，如，即k在散射中几乎是反向的，这时的(1-cos)值最大，因此这样的散射在积分中的贡献也很大。,太赫兹调制效应（基于石墨烯）,太赫兹波的石墨烯透射率,石墨烯中电导率,石墨烯电子迁移率,散射机制,分布函数,（Boltzma
11、nn 方程描述）,实例：理论与计算基础,结构模型,分布函数,散射机制,理论与计算基础,散射机制,分布函数,非弹性散射：声子散射弹 性 散 射：杂质散射 线边缘粗糙度散射,声学声子散射光学声子散射杂质散射线边缘粗糙度散射,载流子迁移率和电场之间的关系图,载流子迁移率和环境温度之间的关系图,不同外加电场下，K空间中分布函数和非平衡分布函数图,不同环境温度下，K空间中分布函数和非平衡分布函数图,电子浓度对迁移率的影响,杂质散射对迁移率的影响,线边缘粗糙度散射对迁移率的影响,第二节 电子气热容量,本节主要内容:,1 电子气的摩尔热容量,2 电子气摩尔热容量的讨论,EE+dE间的电子数：,EE+dE间电
12、子的能量:,电子的总能量：,每个电子的平均能量：,1.每个电子的平均能量,2 电子气热容量,1 电子气的摩尔热容量,2.每个电子对热容量的贡献,-电子气的费米温度，约为104-105K。,3.电子气的摩尔热容量为,N0为每摩尔的原子数,Z为每个原子的价电子数，电子热容系数。,N0kB=R，R=8.31441J/molK为气体常量。,1.在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为J/mol k2而电子比热的量级为mJ/mol k2。,电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢?,电子热容量可以直接提供费米面附近能态密度的信息。,这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米面附近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。所以电子的热容量很小。,2 电子气摩尔热容量的讨论,2.电子气能态密度,很多金属的基本性质主要取决于能量在EF附近的电子，从k空间看，也就是在费米面F附近的电子，因此研究费米面附近的状况具有重要意义。根据以上的分析知道电子的热容量可以直接提供对费米面附近能态密度的了解。,电子气和晶格振动对摩尔热容贡献之比为：,3.低温时金属比热,在温度甚低时，两者的大小变得可以相比，晶体的摩尔热容量可以表示为：,
