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1、14.Legendre 函数的性质,2010.6.3,一.Legendre方程的引出,球形域上三维静电场问题中,外电势满足 Laplace,例：,方程。,分析：,即,求其分离变量解。,求解时常将其写成球坐标形式：,设解为,后两项与 r 无关,于是有,为方便,常把 l 写成 l(l+1).,于是(1)化为欧拉方程：,其通解为,上式可化为,(3)并自然周期条件可得,方程(4)整理为,称之为 Legendre 方程。,其中,该方程 添加自然边界条件,则(5)变为,此方程称为关联 Legendre 方程。,则F 亦然,m=0。,此时(6)成为,构成本征值问题,为,其本征值和本征函数,这样在轴对称假设下
2、得到问题的级数解,进一步的求解须知 Legendre 多项式的性质。,后面的讨论中，我们只考虑轴对称问题。,二.Legendre多项式的性质,1.Legendre多项式的为微分表示,令,则,因此,即,因此,多项式,2.Legendre多项式的为积分表示,据复变函数中高阶导数公式,可得,L 是围绕 z=x 的任一正向闭曲线。,特别地,取半径为,的圆周为L,则,由此得,其中,化简得,此式称为Legendre 多项式的 Laplace 积分。,由积分表达式可得,3.Legendre多项式的母函数,若一个函数按某一自变量作幂级数展开时,其系数是,例如若,Legendre 多项式,则称该函数为Legen
3、dre 多项式的,母函数。,就称 f(x,t)为Legendre 多项式的母函数。,考虑复变函数,将其展开为,则有,L 是区域|t|1 内任一正向闭曲线。,作变换,L1 是 L 在上述变换下的象,是含点u=x 的闭曲线。,则,根据高阶导数公式,得,因此,母函数。,即 w(x,t)为Legendre 多项式的,Legendre 多项式满足如下递推公式：,4.Legendre多项式的递推公式,1.,2.,3.,4.,由,两边对 t 求偏,导数得,整理即得 1.,偏导数得,于是,因为,故,即 2 成立。,两式相减得,即,此即 3。,由 2,3 可得 4。,一.Legendre多项式的正交归一性,Le
4、gendre 方程为,写成 Sturm-Liouviller 方程形式为,其特征值,和对应的特征函数分别为,和,因此自然有,两边积分得,利用正交性得,即,而,因此,称之为Legendre 多项式的,模方,记作,即,定理.,设 f(x)是-1,1 上的分段光滑的实值函数,且,二.按 Legendre多项式作广义傅里叶展开,多项式展开为无穷级数,其中,极限的平均值。,在,例 1.,(-1,1),内将,按,展开为F-L 级数。,解：,设,所以,即,又,因此,计算,例 2.,解：,因,故,由正交性知,而,计算,例 3.,解：,其中,计算,例 4.,解：,利用公式,得,由,可得结果。,半径为a 的球面上，电势分布为 f(q),求球内,例 5.,电势分布。,解：,球内电势分布满足,由上节讨论知问题的级数解为,于是,代入即得解。,
