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1、2010.6.17,09-10年第二学期数学物理方程 复习大纲,第一章 定解问题,1.会写出简单的定解问题,定解问题,（1）三类泛定方程,一维波动方程,一维热传导方程,二维laplace方程,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,不含初始条件，只含边界条件条件,A、波动方程的初始条件,（2）三类方程的初始条件,第一类，,直接给出物理量在边界上的分布：,其中 n 为边界的法线方向。,第二类，,给出物理量的梯度在边界上的分布：,第三类，,给出物理量及其边界上法线方向导数的,线性关系,（3）三类边界条件,(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向
2、力的作用。,A、波动方程的边界条件,(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。,或,B、热传导方程的边界条件,(1)给定温度在边界上的值,S给定区域v 的边界,(2)绝热状态,(3)热交换状态,牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。,交换系数；周围介质的温度,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,2.能认出不同维数，不同坐标系（直角坐标，极坐标，柱坐标，球坐标）中各类方程,定解问题,二维极坐标系圆盘外laplace问题,二维直角坐标系矩形域laplace问
3、题,二维极坐标系下圆形薄膜振动问题,三维柱坐标系下laplace问题,二维极坐标系下圆盘热传导问题,轴对称,3.会利用叠加原理,三维球坐标系下laplace问题,第二章 分离变量法,处理的是两个自变量的函数（弦振动，杆上热传导，二维Laplace方程）的定解问题,1.会用分离变量法求解定解问题,分离变量,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件直接用驻波法,非齐次方程，齐次定解条件固有函数法,应用分离变量法求解定解问题的步骤,分离变量,用分离变量法求解定解问题包括以下几个基本步骤：,1.将偏微问题通过分离变量化为常微问题,
4、2.确定特征值和特征函数,3.求解其它常微分方程，进而得到满足边值条,4.令级数解满足初始条件，以确定其它参数，,件的偏微分方程的级数解。,最终得到定解问题的解。,第三章 二阶常微级数解法，本征值问题,1.用幂级数解法解方程,2.会求解本征值问题（本征值，本征函数）,3.会写出常微分方程的解,第四，五章 Bessel函数，Legendre多项式,1.Bessel函数，Legendre多项式性质的证明（递推性，正交性，模方）,特殊函数,(2).,(3).,(1)Bessel函数，Legender多项式初等性质：,(2)Bessel函数满足如下递推公式：,1.,2.,3.,4.,5.,6.,(3)
5、Legendre 多项式满足如下递推公式：,1.,2.,3.,4.,(4)Bessel函数，Legendre 多项式模方正交性,(5)含Bessel函数，Legendre 多项式积分注意,2.会将不同方程在不同坐标系下分离成常微分方程,二维极坐标系圆盘外laplace问题,二维极坐标系下圆形薄膜振动问题,三维柱坐标系下laplace问题,二维极坐标系下圆盘热传导问题,三维球坐标系下laplace问题,4.会用分离变量法求解圆盘上的热传导，圆膜振动，柱面的稳定场等定解问题（采用极坐标系，柱坐标系求解）,5.会用分离变量法求解球坐标系下Laplace方程,注：球坐标系下轴对称问题可直接写通解,特殊函数,3.将非标准方程通过简单变换化为标准型(化标准Bessel，化为Legender),第六章 行波法，积分变换法,1.用行波法解无界波动方程,注：用一维DAlember公式求解,2.积分变换的定义及性质（Fourier，Laplace）,3.会用积分变换解定解问题前两步（变换到常微，求像函数），及求简单的原像（常数，三角函数）。,
