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1、第五讲：动态线性系统的 Kalman滤波（Kalman Filtering of Dynamic Linear System）,一、背景,二、Kalman滤波原理,三、Kalman滤波算法的特性与改进,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,一、背景Kalman滤波理论的发展,滤波是指从混合在一起的诸多信号中提取出所需信号的过程。,滤波估计的发展经历了三个阶段：,第一阶段：20世纪40年代前，最小二乘（LS）估计，从概率 密度出发讨论估计问题。,第二阶段：1940年，N.Wiener提出在频域中设计统计最优滤 波器的方法 Wiener滤波，采用频域设计法，对 随机过程的估计。,Wiener滤
2、波的不足：a.运算复杂，解析求解困难，不能给出最佳滤波解的直接计算方法；b.必须保存所用的全部数据，要求存储空间大；c.是一个单输入单输出滤波器，仅适用于一维平稳随机过程信号滤波。,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,一、背景Kalman滤波理论的发展,滤波估计的发展经历了三个阶段：,第三阶段：1960年，R.E.Kalman提出时域内直接设计最优滤波器的新方法 Kalman滤波。Kalman滤波是一种时域滤波法，采用状态空间方法描述系统，算法采用递推形式，数据存储量小，不仅可以处理平稳随机过程，也可处理多维和非平稳随机过程。,Kalman滤波与Wiener滤波的相同点：（1）估计准则相
3、同；（2）基本原理相同；（3）都是对随机过程的估计。,一、背景Kalman滤波理论的应用,Kalman滤波理论在测绘和导航中的应用,航空导航与测绘,卫星定轨与测绘,陆地车辆导航与测绘,舰船导航与测绘,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,一、背景Kalman滤波理论的应用,阿波罗登月计划和C5A飞机导航系统的设计。惯性导航、制导系统的设计；全球定位系统的设计；目标跟踪处理与辨识；通信与信号处理；随机最优控制问题、故障诊断；组合导航系统的设计；多传感器信息融合系统的设计与估计；,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,1、Kalman滤波数学模型,二、Kalman滤波原理,雷达跟踪问题：,
4、设k时刻，雷达与飞行器的距离,而T秒后的k1时刻，雷达与飞行器的距离,R 为平均距离。,则有,称为距离预测方程,若飞行器的径向运动速度为,对于加速度，也有如下加速度方程,称为速度预测方程,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,1、Kalman滤波数学模型,二、Kalman滤波原理,即设：,定义信号X（k），包含距离分量和径向速度分量,则有：,矩阵形式,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,并令：,1、Kalman滤波数学模型,二、Kalman滤波原理,矩阵形式,（1）式称为系统状态方程，X为信号，W为噪声向量,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,1、Kalman滤波数学模型,二、
5、Kalman滤波原理,写成矩阵形式,为了估计信号，观测了n个含有噪声的观测值，其观测方程为,（2）,（2）式称为观测方程，或测量模型,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,1、Kalman滤波数学模型,二、Kalman滤波原理,动态线性系统的模型方程,系统状态方程,观测方程,动态线性系统的Kalman滤波的实质，就是利用观测值，根据状态方程和观测方程求定j时刻状态向量 的最佳估值,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,1、Kalman滤波数学模型,二、Kalman滤波原理,从k-1时刻到k时刻的状态转移矩阵 系数矩阵 系统误差向量（也称为模型噪声）观测误差向量（也称为观测噪声）,Wk与
6、Wk-1，ek与 ek-1，Wk与ek均不相关,即为高斯白噪声。,常用模型方程：,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,2、Kalman滤波解,二、Kalman滤波原理,设：,为状态预报向量，作为虚拟观测值，,协方差阵为,误差方程为,Kalman滤波的目标函数：,（1）,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,2、Kalman滤波解,二、Kalman滤波原理,（1）参数平差法,Kalman滤波解,求导：,法方程：,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,2、Kalman滤波解,二、Kalman滤波原理,（2）条件平差法,目标函数：,条件方程：,求极值,（2）,第五讲 动态线性系统的 K
7、alman滤波,2、Kalman滤波解,二、Kalman滤波原理,（2）条件平差法,因为：,所以：,将 和,代入条件方程：,法方程：,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,2、Kalman滤波解,二、Kalman滤波原理,（2）条件平差法,设：,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,2、Kalman滤波解,二、Kalman滤波原理,（2）条件平差法,Kalman滤波解的通用式,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,2、Kalman滤波解,二、Kalman滤波原理,说明：,时间更新：仅使用与系统动态特性有关的信息,观测更新：正确、合理地利用观测信息,在一个滤波周期内，Kalman滤波
8、具有两个明显的信息更新过程：时间更新过程和观测更新过程。,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,2、Kalman滤波解,二、Kalman滤波原理,或者,可看成：系统预测过程和观测修正过程。,预测（prediction）,修正（Correction）：,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,3、Kalman滤波计算步骤,二、Kalman滤波原理,（1）计算状态向量的预报值及其协方差阵,（2）求预测残差向量：,（3）计算滤波增益阵 及,（4）求Kalman滤波解,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,三、Kalman滤波算法的特性与改进,1Kalman滤波算法的特性,1）Kalman滤
9、波模型具有广泛适应性。不仅适用于平稳序列滤波，而且特别适用于非平稳序列以及高斯马尔可夫序列滤波。,3)滤波增益矩阵与观测无关，可预先离线算出，从而可以减少在线实时计算工作量。,2）Kalman滤波的计算过程是一个不断“预测修正”的过程，求解时不需存储大量数据，非常适于实时处理，计算机编程实现。但计算量较大。,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,三、Kalman滤波算法的特性与改进,1Kalman滤波算法的特性,4）模型噪声方差 具有调节模型偏差的作用。它在一定程度上反映了滤波模型的精度，或者状态转移矩阵的好坏，直接影响状态估计值 的精度。,5）Kalman滤波在一定条件下具有稳定性,所得
10、滤波估计是最优线性无偏估计。,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,2、经典Kalman滤波算法对系统的要求：（1）系统为随机线性系统；（2）数学模型精确，即没有模型误差；（3）系统中的模型噪声和观测噪声均为已知的高斯白噪声序列；（4）噪声的方差准确已知，即要有可靠的先验信息。,三、Kalman滤波算法的特性与改进,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,3、经典Kalman滤波可以改进之处：,改进函数模型，如附加模型参数；附加模型误差协方差矩阵；重新估计观测协方差矩阵抗差滤波；重新估计动力模型协方差矩阵Sage滤波；方差分量估计；改进观测协方差矩阵和动力模型协方差矩阵的比例；自适应调节权矩阵；动力模型的自适应调节（难！）。,三、Kalman滤波算法的特性与改进,第五讲 动态线性系统的 Kalman滤波,
