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1、误差理论与测量平差,Surveying&Adjustment,本课程先修课程,测量学基础高等数学概率论与数理统计线性代数,误差理论与测量平差,教学方式,讲授时理论与实例相结合;上机学习平差软件并解算习题;课程设计。,误差理论与测量平差,1 概述2 观测误差及其分类3 偶然误差的规律性4 衡量精度的指标5 方差传播律及其应用6 权与定权的常用方法7 协因数和协因数传播律8 由真误差计算中误差及其实际应用9 系统误差与偶然误差的联合传播,误差理论与测量平差,1 概 述,测量平差的基本任务:处理一系列带有偶然误差的观测值，求出观测值或未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值
2、等），并评定测量成果的精度。解决这两个问题的基础，是要研究观测误差的理论，简称误差理论。本章主要介绍：偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法等。,误差理论与测量平差,2 观测误差及其分类,观测值与其理论真值之间的差值，称为观测误差。,误差理论与测量平差,例如：1、对三角形三个内角进行观测后发现三个内角和不等于180；2、对A、B两点间距离进行重复观测时，每次观测值总是不相等。那么这些误差是因为什么原因引起的？,引起误差的主要来源,测量仪器：测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观测值的精密度受到了一定的限制。观测
3、者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数方面都会产生误差。同时观测者的工作态度和技术水平也直接影响观测成果。外界条件：观测时所处的自然条件，如温度、湿度、压强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观测结果直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对观测结果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差是必然的。这些误差怎么分类呢？（根据观测误差的性质）,误差理论与测量平差,根据观测误差的性质，可将观测误差分为：,系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简
4、言之，符合函数规律的误差称为系统误差（举例）。偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差（举例）。粗差：由于观测者工作态度和技术水平造成的错误,误差理论与测量平差,系统误差举例,测距仪的乘常数误差所引起的距离误差与所测距离的长度成正比地增加，距离愈长，误差也愈大；测距仪的加常数误差所引起的距离误差为一常数，与距离的长度无关；这是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的系统误差；测角时因大气折光的影响而产
5、生的角度误差等等，,误差理论与测量平差,偶然误差举例,经纬仪测角时照准误差可能是由于照准部旋转不正确、脚架或觇标的晃动与扭转、风力风向的变化、目标的背影等等偶然因素影响而产生的小误差。,误差理论与测量平差,3 偶然误差的规律性,任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。从下面两个例子中我们再详细研
6、究一下偶然误差,然后总结出偶然误差的规律性。,误差理论与测量平差,表1-1 某测区358个真误差分布情况,表1-2 另一测区421个真误差分布情况,偶然误差的规律性,在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。偶然误差的数学期望为零，即：换句话说，偶然误差的理论平均值为零。,误差理论与测量平差,偶然误差分布直方图,误差理论与测量平差,4 衡量精度的指标,评定测量成果的精度是测量平差的主要任务之一。精度就是指误差分布的密集或离散的程度。从直方图来看，精度高，则误差分
7、布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上，即有误差分布曲线较高而陡峭和误差分布曲线较低而平缓两种情形。,误差理论与测量平差,衡量精度的指标,在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如图分别表示在偶然误差和系统误差影响下的精度。,误差理论与测量平差,衡量精度的指标-方差和中误差,用 表示误差分布的方差，误差的概率密度函数为：由方差的定义：由于在此主要包括偶然误差部分，所以有：就是中误差：,误差理论与测量平差,衡量精度的指标-平均误差,在一
8、定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。设以 表示平均误差，则有：如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平均误差为即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。,误差理论与测量平差,衡量精度的指标-或然误差,或然误差的定义是：误差出现在 之间概率等于1/2，即 将的概率密度代入上式，并作变量代换，令 则得：由概率积分表查得，当概率为1/2时，积分限为0.6745，即得 上式是或然误差与中误差的理论关系。不同的也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差也可以作为衡量精度的指标。,误差理论与测量平差,衡量精度的指标-极限误差,在大量同精度观测的一组误差中，误
9、差落在 和 的概率分别为：68.3%、95.5%和99.7%。上式反映了中误差与真误差间的概率关系。绝对值大于中误差的偶然误差，其出现的概率为31.7%；而绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5%；特别是绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3%，这已经是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。,误差理论与测量平差,衡量精度的指标-相对误差,对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为
10、1。对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来表示。例如，经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过，它就是相对极限误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。,误差理论与测量平差,5 方差传播律及其应用,协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。在实际工作中，某些量的大小往往是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的,误差理论与测量平差,协方差与相关,协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是：式中：和 分别是X和Y的真误差。设是观测值的真误差，是观测值的真误差，而协方差则是这两种真误差
11、所有可能取值的乘积的理论平均值，即实用上总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为,误差理论与测量平差,协方差与相关,当X和Y相互独立时：当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着相互独立。只有当和服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。,误差理论与测量平差,协方差与相关,如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间互不影响，或者说，它们的误差是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测
12、量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，对于正态随机变量而言，“不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。,误差理论与测量平差,协方差与相关,在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。,误差理论与测量平差,协方差与相关,
13、通过变换将随机变量标准化，则两个标准化变量乘积的数学期望就是一个无量纲的数，称之为相关系数：由于 和 为正，所以 的正负取决于 的正负。大于零称为正相关，小于零称为负相关，等于零称为不相关。可以证明 的绝对值不大于1。,误差理论与测量平差,协方差与协方差阵,假定有 个不同精度的相关观测值，它们的数学期望和方差分别为 和，它们两两之间的协方差为,用矩阵表示为:式中 为观测值向量，简称为观测值；为的数学期望；为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。,误差理论与测量平差,协方差与协方差阵,设有观测值向量 和，它们的数学期望分别为 和。令：；则 的方差阵为：式中 和 分别为X和Y的协方差阵，是X
14、关于Y的互协方差阵。,误差理论与测量平差,观测值线性函数的方差,设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即 式中 为 的方差，为 和 的协方差，又设有 的线性函数为：令：则：,误差理论与测量平差,观测值线性函数的方差,对上式两边取数学期望：Z的方差为：即：,误差理论与测量平差,观测值线性函数的方差,当向量 中的各分量两两独立时，它们之间的协方差=0，此时上式为：线性函数的协方差传播律叙述为：设有函数：则：,误差理论与测量平差,多个观测值线性函数的协方差阵,设有观测值向量 和，的数学期望和协方差阵分别为 和，的数学期望和协方差阵分别为 和，关于 的互协方差阵为。,误差理论与测量平差,多个观测值
15、线性函数的协方差阵,若有 的 个线性函数：若令：则：,误差理论与测量 平差,多个观测值线性函数的协方差阵,即 设另有 的 个线性函数,误差理论与测量平差,多个观测值线性函数的协方差阵,令即：根据互协方差阵的定义：,误差理论与测量平差,多个观测值线性函数的协方差阵,误差理论与测量平差,协方差传播律,设有观测值向量 和 的线性函数：的方差阵，的方差阵，关于 的互协方差阵为（），、为常系数阵。则有如下方差和协方差计算公式：这就是协方差传播律的实用计算公式，其它计算公式均可由此导出。,误差理论与测量平差,单个非线性函数,设有观测值 的非线性函数：或表示为 已知 的协方差阵，求 的方差。假定观测值 有近
16、似值：将函数式 按台劳级数在点 处展开为：,误差理论与测量平差,单个非线性函数,式中 是函数对各个变量所取的偏导数，并以 近似值代入所算得的数值，它们都是常数，当 与 非常接近时，上式中二次以上各项很微小，可以略去，将上式写为：令：得：这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然后用线性函数的协方差传播律计算协方差。,误差理论与测量平差,单个非线性函数,如果令：则上式可写为 上式是非线性函数式的全微分。根据协方差传播律：为求非线性函数的方差，对它求全微分就可以了。,误差理论与测量平差,多个非线性函数,如果有 的 个非线性函数 将 个函数求全微分得,误差理论与测量平差,多个非线性函数,若记 则有：
17、根据协方差传播律得 的协方差阵：因此，对于非线性函数，首先将其线性化，然后用线性函数的协方差传播律计算。线性化方法可用泰勒级数展开或求全微分。,误差理论与测量平差,应用协方差传播律的具体步骤,1.按要求写出函数式，如：2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：3.写成矩阵形式：或 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。,误差理论与测量平差,6 权与定权的常用方法,误差理论与测量平差,一、权的定义设有一组观测值(il，2，n)，它们的方差为(i=1，2，n)，如选定任一常数，则定义为观测值 的权。权与方差成反比。,说明：1、权的大小随 而变化，但权之间的比值不会变；2、选定的 即对应一组权；
18、3、权是衡量精度的相对指标，为了使权起到相对作用，同一问题只能取一个；4、只有事先给定条件，就可以定权。,误差理论与测量平差,二、单位权中误差 称单位权中误差；权等于1的观测值称单位权观测值。三、常用的定权方法1、水准测量的权,误差理论与测量平差,2、边角定权,误差理论与测量平差,7 协因数和协因数传播律,权是一种比较观测值之间精度高低的指标，同样可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。在此引进协因数和协因数阵的概念解决根据观测值的权来求观测值函数权的问题。,误差理论与测量平差,协因数与协因数阵,设有观测值 和，它们的权分别为 和，它们的方差分别为 和，它们之间的协方差为，单位权方差为。令：或
19、写为：称为 的协因数或权倒数，为 的协因数或权倒数，为 关于 的协因数或相关权倒数。,误差理论与测量平差,协因数与协因数阵,设有观测值向量（或者是观测值函数向量）X和Y，它们的方差阵分别为 和，关于 的互协方差阵为 单位权方差为。令：或写为：称为X的协因数阵，为Y的协因数阵，为X关于Y的互协因数阵。协因数阵中的主对角线元素就是各个的权倒数，它的非主对角线元素是关于的相关权倒数,误差理论与测量平差,协因数与协因数阵,设有独立观测值，其方差为，权为，单位权方差为。的协因数阵为则有,误差理论与测量平差,协因数传播律,这就是协因数传播律的实用计算公式，也称为权逆阵传播律。通常将协方差传播律与协因数传播
20、律合称为广义传播律,误差理论与测量平差,协因数传播律,设有观测值向量 和 的线性函数：的协因数阵，的协因数阵，关于 的互协因数阵为（），、为常系数阵。假设单位权方差为，的方差阵，的方差阵，关于 的互协方差阵为（）。由协方差传播律，并顾及协因数阵与协方差阵的关系式，得,误差理论与测量平差,8 由真误差计算中误差及其实际应用,用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式 由真误差计算中误差的应用 由三角形闭合差求测角方差 由双观测值之差求中误差,误差理论与测量平差,用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式,设有一组同精度独立观测值，它们的数学期望为，真误差为，有观测值的方差为 当n为有限值时得到方
21、差的估值上式是根据一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。现在设 是一组不同精度的独立观测值，的数学期望、方差和权分别为、和，。,误差理论与测量平差,用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式,为了求得单位权方差，需要得到一组精度相同且其权均为1的独立的真误差，作如下变换：根据协因数传播律得：对于一组不同精度独立的真误差，经变换后，得 到一组权为的同精度独立的真误差：。单 位权方差 上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单 位权方差的理论值。由于总是有限的，故只能求 得单位权方差的估值,误差理论与测量平差,由真误差计算中误差的应用,在一般情况下，观测量的真值(或数学期望)是不知道的。但是，
22、在某些情况下，由若干个观测量(例如角度、长度、高差等)所构成的函数，其真值有时是已知的，因而，其真误差也是可以求得的。例如一个平面三角形三内角之和的真值为180，由三内角观测值算得的三角形闭合差就是三内角观测值之和的真误差。1由三角形闭合差求测角方差 2由双观测值之差求中误差,误差理论与测量平差,由三角形闭合差求测角方差,设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为，则三角形闭合差的方差为当三角形个数为有限的情况下，可求得三角形闭合差的方差的估值 运用协方差传播律，并设测角方差均为，得 测角方差为：测角中误差为：,误差理论与测量平差,由双观测值之
23、差求中误差,设对量 分别观测两次，得独立观测值和权分别为其中观测值和是对同一量的两次观测的结果，称为一个观测对。在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对的观测。假定不同的观测对的精度不同；而同一观测对的两个观测值的精度相同，即 和 的权都为。由于观测值带有误差，对同一个量的两个观测值的差数一般是不等于零的。设第 个量的两次观测值的差数 为,误差理论与测量平差,由双观测值之差求中误差,设 的真值是运用协因数传播律可得的权：即：这样就得到了 个真误差和它们的权。得到由双观测值之差求单位权方差的公式 当n 有限时，其估值为各观测值和的方差为：第 对观测值的平均值 的方差为：,误差理论与测量平差
24、,9 系统误差与偶然误差的联合传播,由于种种原因，在观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差。由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不可能得到某些通用的处理方法。对于残余的系统误差对成果的影响，没有严密的计算方法。,误差理论与测量平差,观测值的系统误差与综合误差的方差,设有观测值 观测量的真值为，则的综合误差 可定义为如果综合误差中只含有偶然误差，则：。如果 中除包含偶然误差外，还包含系统误差，则：由于系统误差不是随机变量，所以的数学期望为 可见，也是观测值 的数学期望对于观测值的真值的偏差值。观测值 含的系统误差愈小，愈小，愈准确，
25、有时也称 为 的准确度。,误差理论与测量平差,观测值的系统误差与综合误差的方差,当观测值中既存在偶然误差，又存在残余的系统误差时，常常用观测值的综合误差方差来表征观测值的可靠性。顾及系统误差是非随机量，所以综合误差的方差为 即观测值的综合误差方差等于它的方差与系统误差的平方之和。当系统误差小于等于中误差的三分之一时，即当 时，得 在这种情况下，如果不考虑系统误差的影响，所求得的的减小量不会大于5%。,误差理论与测量平差,系统误差的传播,设有观测值的真值、综合误差和系统误差，则：又设有观测值的线性函数：，则线性函数的综合误差与各个的综合误差之间的关系式为：对上式取数学期望得：所以得：上式就是线形函数的系统误差的传播公式。,误差理论与测量平差,系统误差的传播,对于非线性函数：，可以用它们的微分关系代替它们的误差之间的关系，然后按线性函数的系统误差的传播公式计算：令：则有线性函数：同样有：。,误差理论与测量平差,系统误差与偶然误差的联合传播,当观测值中同时含有偶然误差和残余的系统误差时，还有必要考虑它们对观测值的函数的联合影响问题。这里只讨论独立观测值的情况。设有函数：，观测值的综合误差为：，函数Z的综合误差为：函数Z的综合误差方差为：,误差理论与测量平差,再 见,误差理论与测量平差,
