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1、二、采样信号的傅氏变换 1.时域采样,2.频域采样,2-1 引言,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。,二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域 分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。,1.线性,例2-7已知,求其z变换。,解：,2.序列的移位,如果则有：,例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,3.Z域尺度变换(
2、乘以指数序列),如果,，则,证明：,如果,，则,证明：,5.共轭序列,如果,，则,证明：,6.翻褶序列,如果,，则,证明：,证明：,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。,9.有限项累加特性,证明：,10.序列的卷积和(时域卷积定理),证明：,例2-9,解：,其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）,例2-10,解：,12.帕塞瓦定理(parseval),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）,如果,则有:,*几点
3、说明：,一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号，为其理想抽样信号，则,序列x(n)的z变换为，考虑到,显然，当 时，序列x(n)的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。,2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于 所以有：,因此，;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对应。,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内；,0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外。,(1).r与的关系,=0，S平面的实轴，=0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平
4、行实轴的直线，=0T,Z:始于 原点的射线；S:宽 的水平条带，整个z平面.,jImZ,ReZ,(2).与的关系（=T）,二.Z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，且。,所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。,三.序列的傅氏变换,1.正变换:,2.反变换:,一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(
5、-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。,2.共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。同样有：,根据定义，则,这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。,二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,三、序列的傅氏变换可表为共轭
6、对称分量 与共轭反对称分量之和,其中，,四、两个基本性质,证明：,证明：,五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系,1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部,证明：,2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部,证明：,六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系,1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部,证明：,2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部 再乘以j。,证明：,七、序列为实序列的情况,8.实序列也有如下性质：,线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应,H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。,一.系统函数:,自从基2快速算法出现以来，人们仍在不断寻求更快的算法。基4FFT算法就比最初的基2FFT算法更快。从理论上讲，用较大的基数还可以进一步减少运算次数，但要以程序（或硬件）变得更为复杂为代价。甚至得不偿失。1984年，法国的杜梅尔(P.Dohamel)和霍尔曼(H.Hollmann)将基2分解和基4分解糅合在一起，提出了分裂基FFT算法。其运算量比前几种算法都有所减少，运算流图却与基2FFT很接近，运算程序也很短。它是目前一种实用的高效新算法。,分裂基FFT算法,
