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1、前言,这部分知识在一元函数微积分的基础上扩充到多元函数微积分，说是多元，实际上也只是针对二元函数进行研究。有了前面的基础，这部分内容是可以自学的，但还是有些难度的。不过我们从历年的试卷中不难发现，试题的形式和难度还是比较固定的，一般来说会出现三种题型：一是考查对多元函数求偏导；二是考查考查对抽象复合函数求偏导；三是考查二重积分的计算。这三种题型归根结底还是对一元函数求导或求积分，因此，同学们在学习这部分知识的时候更多地要注重解题和实际应用，对于一些概念和定理的理解可以暂时地回避，也就是说，首先要记住一些结论和公式，找到解题的规律！,1 多元函数微分学,一、多元函数的概念,人们在实践中，还会遇到
2、许多依赖与两个或两个以上自变量的函数，称这种函数为多元函数。,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,例如：,1.二元函数的定义,空间解析几何、级数及微分方程,2.二元函数的定义域,一元函数的定义域是数轴上的区间，对于二元函数，它的定义域是平面上的点集，我们把它叫做区域，一般来说，区域就是平面上一条或几条光滑曲线所围成平面图形.,围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域,二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围.,例1 求函数 的定义域,解：,该函数定义域应满足,即,所以定义域为,如图，这样的区域俗称
3、圆域,如图，这样的区域俗称矩形域,例2 求函数 的定义域,解：,该函数定义域应满足,即,所以定义域为,如图，这样的区域俗称环域,3.二元函数的图像,由空间解析几何知识可知，对于二元函数 的图形，一般地，它表示一曲面.,4.二元函数的极限与连续性,极限,注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试 一般不单独出题，即使出现，也只有两种题型，一种是“直接带入”，一种是变量代换。,例3 求极限,直接代入 得,解：,令，则原极限变成,例4 求极限,解：,这里就不能直接带入,否则会产生不定式,连续性,注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念,二、偏导数与全微分,1.偏导数的定义,注：符号“
4、”的读法有很多种，因为它像一个圆，有时候读作“round”，音译过来就是“若母达”；又因为偏导数的英文是“partial derivative”，所以又读作“帕修”；我们这里可以简单地读作“偏”，比如“偏x”、“偏y”。,2.偏导数的求法,解：,例1 求 在点 处的偏导数,把 看作常量，得,把 看作常量，得,代入 得,注：一个二元函数的偏导数如果不特别说明是关于哪个变量的偏导数，应该有两个；如果是三元函数，同样可以把前面偏导数的定义加以推广，如函数，它有三个偏导数，分别是：,通过上题，我们还可以发现这样一个规律，就是如果一个函数中的自变量是对称的（即调换它们的位置原函数不发生改变），那么相对于
5、各个变量的偏导数也具有对称性。这样一来，我们只需要求出其中的一个变量的偏导数，另一个变量的偏导数只需要把上一个变量的偏导数中的变量互换位置即可。,例如：,解：,例2 设，求证：,把 看作常量，得,由对称性可知,因此原命题成立,3.高阶偏导数,解：,例3 设，求它的四个二阶偏导数,注：在后面的抽象复合函数求偏导的问题中，我们会利用到 这个结论，前提是“连续”，一般题目中会直接给出。,4.全微分,回顾一元函数的微分：,对于二元函数也有类似“微分”的概念，只是叫法有所不同,称为函数 在点 处的全微分,若,则称 可微,若,则称 可微,在一元函数中，可导与可微是等价的，并且有：,可导（可微）一定连续，连
6、续不一定可导（可微）,在二元函数中，没有“可导”的概念，但是有偏导数的概念，下面我们给出在二元函数中偏导数，可微，连续之间的关系：,注：由上面的关系可以看出，在二元函数中，偏导数和可微 并不是等价的，而且偏导数存在也推不出连续，这些 都与一元函数不同。,例4 设，则,解：,例5 设，求,解：,这里我们利用“直接取自然对法”（也可以两边取）,先变形,三、多元函数的求导法则,1.多元复合函数的求导法则,基本公式,设,则,例如：,令,即,则,公式的推广（联线相乘，分线相加）,前面的基本公式以及例题中的函数，用树状图表示就是：,注：上述这些公式不管是简单还是复杂，都是可以通过第一个 基本公式的思想推出
7、来，然而在实际解题过程中，我们遇 的多元函数一般来说都是给出了具体的解析式的，即使不 找出其中的 之类的所谓“中间函数”，我们仍旧可以 按照普通求偏导数的方法来求解。在这里，我们只要做到 对“联线相乘，分线相加”的思想理解即可，主要还是记住 基本公式，而在考试中，重点考查的是抽象复合函数求偏 导数的问题。,2.多元抽象复合函数的偏导数,我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中一般给出一些有关函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性、连续或可导等等，这类题可以更加全面地考查学生对基本知识概念的理解和掌握。,前面的一元函数微积分中有很多抽象函数的例子，我们这里不再举例了，下面主要学习求多元抽
8、象复合函数的偏导数。,符号约定：,设,在这种符号的约定下，复合函数的基本公式变形为：,如果在上面一阶偏导数的基础上继续求二阶偏导数，结果中就会出现 这些符号，然后再按照普通的导数四则运算法则就可以了。下面我们用具体的例题来说明上述公式的应用。,这里的 仍然是含有 的复合函数,例1 设,解：,二阶偏导数连续,注：这类题是考试中的重点题型，但并不是难点，关键是细心 对上述公式中的符号约定，还可以推广到中间有两个以上 变量的情况，看下面一个例题,例2 设，求,解：,还有一些题目，在解析式中某一部分是抽象函数，例如：,注：这两题都是书上的例题，需要注意一点的是，对于 求偏导的时候，应该写成，因为这里只
9、有一个中 间变量。,3.隐函数的偏导数,在一元函数微分学中，我们已经学习了由 所确定的隐函数的求导方法（两边同时关于x或y求导）,对方程 两边同时关于x求偏导，得,则,于是，我们又得到了一种求隐函数的导数的方法,我们看教材上的一道例题（P30页，例1）,通过两边关于x求导，可以得到,下面我们用公式 来求解,设,则,所以,相比之下，应用公式解题就比较简单一些,接下来，我们仍然用刚才多元复合函数求偏导的方法来解决由 所确定的隐函数的偏导数公式,对方程 两边同时关于x求偏导，得,则,同理，有,（方程两边同时关于y求偏导）,则,解：,例3 设方程 确定，求,令,则,于是根据隐函数求偏导的公式，有,注：
10、有些时候，题目中要求的是二阶偏导数，那么我们再利用 上面的结果继续下去就可以了,所以，有些这类题目在求二阶偏导数的时候看似只需要关于x或y其中一个一阶偏导数，而实际上在我们继续求二阶偏导数的时候会发现还需要另外一个变量的一阶偏导数,同理，我们还可以用同样的方法继续求,在这里，有两点是需要提醒大家注意的：,由于隐函数自身的特点，我们求出的一阶偏导数中一般会 含有除自变量x，y以外的因变量z，这一点与一元函数中的 隐函数类似，所以当我们继续求二阶偏导数的时候，要把z 看成是x，y的复合函数；,由于中提到的缘故，继续求二阶偏导数的时候变会产生,因此，这个时候就要用到前面关于 的信息,注：最后再补充一
11、点，与一元函数中隐函数求导问题类似的是 也会遇到求具体点的偏导数问题，这个时候我们先用公式 求出偏导数（偏导函数），然后再把具体点的值代入即可,四、多元函数极值及偏导数应用,这部分知识，从历年的试卷（01-09全部）来看，从来没有涉及到，而且也只是要求大家学会对结论的应用（极值问题），因此，这里我们暂时不再叙述。,补充：多元函数求极值学会列表会更加清晰明了,2 多元函数积分学,一、二重积分的概念与性质,1.引例,曲顶柱体的体积,平面薄片的质量,2.二重积分的概念,在二重积分的定义中，对区域D的分割是任意的，如果我们用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，那么除了靠近边界的一些小区域外，其余绝大部分
12、的小区域都是矩形的，小矩形的边长为 和，则 的面积，又在直角坐标系中面积微元 可记作，从而二重积分又可以记作：,由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数 在区域D上的二重积分,平面薄片的质量是它的密度函数 在薄片所占区域D上的二重积分,3.二重积分的几何意义,4.二重积分的性质,与定积分相比，二重积分有非常类似的一些性质,当然本性质也可以推广到两个部分以上的情形,二、二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分,(a),（）,上式也可简记为,化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：,（1）累次积分的下限必须小于上限;,注：此题若选择另一种积分次序较烦琐，读者不妨一试。,注：此题若选择另一种积分次序，会出现“积不出来”的积分。,1.极坐标系下的面积元素,二、利用极坐标系计算二重积分,(a),2.极坐标系下化二重积分为累次积分,(b),
