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1、,学案2 函数的定义域与值域,考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,会求一些简单函数的定义域和值域.,返回目录,凡是涉及到函数问题时,均要考虑函数的定义域,因此求定义域是必考内容,可独立考查,也可渗透到大题中;对值域的考查主要与求变量的取值范围融合在一起,常和方程与不等式、最值问题及应用性问题等结合起来.,考 向 预 测,返回目录,1.定义：在函数y=f(x),xA中，自变量x的取值范围A叫做函数的；对应的函数值的集合f(x)|xA叫做函数的.2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实 数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M(m);(2)存在x0I,使得f(x0
2、)=M(m).那么,我们称M(m)是函数y=f(x)的.,最大(小)值,定义域,值域,返回目录,考点1 求函数的定义域,求下列函数的定义域:(1)2010年高考广东卷函数f(x)=lg(x-2)的定义域是；(2)(3)y=+lg(cosx);(4)已知函数f(x)的定义域是(0,1,求函数g(x)=f(x+a)f(x-a)(其中|a|)的定义域.,返回目录,【分析】求函数定义域,应使函数的解析式有意义,其主要依据是:分式函数，分母不等于零;偶次根式函数，被开方式0;一次函数、二次函数的定义域为R.x0中的底数x0;y=ax，定义域为R;y=logax，定义域为x|x0.,返回目录,4x+30
3、x 4x+31 x 5x-40 x 函数的定义域为,【解析】(1)由由x-20得x2,函数的定义域为(2,+).,(2)由,得,25-x20 cosx0-5x5-+2kx2k+(kZ).函数的定义域为,返回目录,(3)由,得,0-a.(a,1+a(-a,1-a=(-a,1+a;当0a.函数g(x)的定义域为(-a,1-a(a,1+a=(a,1-a.,返回目录,(4)由已知,得,即,返回目录,（1）当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.
4、（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.（4）对于(4)题要注意:对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的;函数g(x)中的自变量是x,所以求g(x)的定义域应求g(x)中的x的范围.,返回目录,若函数f(2x)的定义域是-1,1，求函数f(log2x)的定义域.,【解析】y=f(2x)的定义域是-1,1,2x2.y=f(x)的定义域是.由 log2x2得 x4.y=f(log2x）的定义域是,4.,返回目录,考点2 求函数的值域,求下列函数的值域:(1)(2)
5、y=x-;(3)y=x+;(4)y=;(5)y=x+.,【分析】上述各题在求解之前,先观察其特点,选择最优解法.,返回目录,【解析】(1)解法一:,1+x21,0 2,-1y=-11,即y(-1,1.解法二:由y=,得x2=.x20,0,解得-1y1.y(-1,1.,(2)解法一:设=t(t0),得x=,y=-t=-(t+1)2+1(t0),y.解法二：1-2x0,x,定义域为.函数y=x,y=-在 上均为单调递增,y,y.,返回目录,返回目录,(3)解法一:当x0时,y=x+2=4,当且仅当x=2时,取等号;当x0时,=-4,当且仅当x=-2时,取等号.综上,所求函数的值域为(-,-44,+
6、).,解法二:先证此函数的单调性.任取x1,x2且x1x2.f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=,当x1x2-2或2x1x2时,f(x)递增;当-2x0或0 x2时,f(x)递减.故当x=-2时,f(x)极大=f(-2)=-4;当x=2时,f(x)极小=f(2)=4.所求函数的值域为(-,-44,+).,返回目录,(4)解法一:利用函数的有界性.将原函数化为sinx+ycosx=2y,即 令cos=且sin=,sin(x+)=,平方得3y21,-y.原函数的值域为.,返回目录,解法二:数形结合法或图象法.原函数式可化为y=,此式可以看作点(2,0)和(cosx,-sinx)连线的斜率,
7、而点(cosx,-sinx)的轨迹方程为x2+y2=1,如图所示,在坐标系中作出圆x2+y2=1和点(2,0).,返回目录,返回目录,由图可看出,当过(2,0)的直线与圆相切时,斜率分别取得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系,可设直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,解得k=,斜率的范围是.即函数y=的值域,返回目录,(5)函数的定义域为-1,1.当x-1,1时,f(x)=由f(x)=0,得-x=0,解得x=,x=-(舍去),f()=,又f(-1)=-1,f(1)=1,f(x)max=f()=,f(x)min=f(-1)=-1.值域为-1,.,求函数值域(或最值)的常用方法:(1
8、)基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解.(2)配方法对于形如:y=ax2+bx+c(a0)或F(x)=af2(x)+bf(x)+c(a0)类型的函数的值域问题,均可用配方法求解.(3)换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数,形如y=的函数,令f(x)=t,形如:y=ax+b(a,b,c,d均为常数,ac0)的函数,令=t;形如含 的结构的函数,可利用三角代换,令x=acos,0,或令x=asin,.,返回目录,返回目录,(4)不等式法利用基本不等式:a+b2,用此法求函数值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”.如:a+b2 求某些函数值域(或最值)时应满
9、足三个条件:a0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号条件a=b.三个条件缺一不可.(5)函数的单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集上)的单调性求出函数的值域,例如:f(x)=ax+(a0,b0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性.(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如:可联想两点(x1,y1)与(x2,y2)连线的斜率.,(7)函数的有界性法形如y=,可用y表示出sinx.再根据-1sinx1,解关于x的不等式,可求y的值的范围.(8)导数法设y=f(x)的导数为f(x),由f(x)=0可求得极值点坐标,若函数定义域为a,b,
10、则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.,返回目录,返回目录,求下列函数的最值与值域:(1)y=4-;(2)y=;(3)y=,【解析】(1)由3+2x-x20得函数定义域为-1,3,又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t0,4,0,2,从而,当x=1时,ymin=2;当x=-1或x=3时,ymax=4.故值域为2,4.(2)其中 0,y=的值域是(-,2)(2,+).,返回目录,返回目录,(3)将函数变形为 y=可视为动点M(x,0)与定点A(0,1),B(2,-2)距离之和,连结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.ymin=|AB|=可求得x=时,ym
11、in=.显然无最大值,故值域为,+).,考点3 关于定义域、值域及参数问题,函数f(x)=.(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的定义域为-2,1,求实数a 的值.,【分析】(1)定义域为R,即不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+60恒成立.(2)定义域为-2,1,即(1-a2)x2+3(1-a)x+60的解集为-2,1.,返回目录,返回目录,【解析】(1)若1-a2=0,即a=1.()当a=1时,f(x)=,定义域为R,符合;()当a=-1时,f(x)=,定义域不为R,不合题意.若1-a20,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数,f(x
12、)的定义域为R,g(x)0对xR恒成立,1-a20=9(1-a)2-24(1-a2)0-1a1(a-1)(11a+5)0综合得a的取值范围是.,a1.,返回目录,(2)命题等价于不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+60的解集为-2,1,显然1-a20,1-a21 x1+x2=x1x2=a1 a2-3a+2=0 a2=4,解得a=2.,本题要注意分类讨论,要分1-a2=0和1-a20两种情况.分类一定要做到不重不漏.,返回目录,返回目录,已知函数f(x)=ax-2-1(a0，且a1).（1）求函数f(x)的定义域、值域;（2）若当x(-,1时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.,【解析】
13、（1）由4-ax0，得ax4.当a1时，f(x)的定义域为(-,loga4;当0a1时，f(x)的定义域为loga4,+).令t=，则t0,2).y=4-t2-2t-1=4-(t+1)2.当t0,2)时，y=4-(t+1)2是减函数.函数的值域是(-5,3.,返回目录,返回目录,(2)x(-,1，由(1)知a1且loga41,1a4.当a1时，f(x)=axlna+=axlna(),又a1,lna0,f(x)0,f(x)是关于x的增函数.当x(-,1时,f(x)f(1)=a-2-1.f(x)0恒成立，只要a-2-10.解之得1a3.,返回目录,求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法.,祝同学们学习上天天有进步！,
