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1、函数定义域值域求法总结预习资料函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： 分母不为零 偶次根式的被开方数非负。 对数中的真数部分大于0。 指数、对数的底数大于0，且不等于1 y=tanx中xk+/2；y=cotx中xk等等。 ( 6 )x0中x0 二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法： 直接法 图象法 函数单调性法 配方法 换元法 反函数法 分离常数法 判别式法 复合函数法 不等式法 平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： 11
2、； f(x)=3x+2； f(x)=x+1+ x-22-x1解：x-2=0，即x=2时，分式无意义， x-21而x2时，分式有意义，这个函数的定义域是x|x2. x-223x+20，即x-时，根式3x+2无意义， 32而3x+20，即x-时，根式3x+2才有意义， 32这个函数的定义域是x|x-. 3 f(x)=当x+10且2-x0，即x-1且x2时，根式x+1和分式这个函数的定义域是x|x-1且x2 1 同时有意义， 2-xx+10另解：要使函数有意义，必须： 2-x0例2 求下列函数的定义域： f(x)=x-1 x2x2-3x-4x+1-24-x-1 f(x)=2 1 f(x)=11+11
3、+1x f(x)=(x+1)0x-xy=x-2+3+313x+7解：要使函数有意义，必须：4-x1 即： -3x3 函数f(x)=24-x2-1的定义域为： -3,3 x2-3x-40x4或x-1要使函数有意义，必须： x-3且x1x+1-20 x-3或-3x-1或x4 定义域为： x|x-3或-3x-1或x4 x01要使函数有意义，必须： 1+0 x1+1011+x1 函数的定义域为：x|xR且x0,-1,- 2x0x-1 x-12x+10x-1要使函数有意义，必须： x-x0x0 定义域为：x|x-1或-1x0 x-2+30xR7 要使函数有意义，必须： x-3x+703777即 x- 定
4、义域为：x|x- 333例3 若函数y=ax2-ax+21的定义域是R，求实数a 的取值范围 a解：定义域是R,ax-ax+10恒成立， aa01等价于00时，值域为y|y；当a0，y=x+121)+22， =(x-xxy=-(-x+当x0时，则当x=-时，其最小值ymin=2a4a2b(4ac-b). 当a0时，则当x=-时，其最大值ymax=2a4a若定义域为x a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. 若x0a,b,则f(x0)是函数的最小值时或最大值时， 再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大值. 若x0a,b,则a,b是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),
5、f(b)的大小即可决定函数的最大值. 注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大值； 当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 练习：1、求函数y=3+(23x)的值域 解：由算术平方根的性质，知(23x)0， 故3+(23x)3。 函数的值域为 3,+) . 2、求函数y=x-2x+5,x0,5 的值域 2解： Q对称轴 x=10,5 x=1时,ymin=4x=5时,ymax=20 值域为4,20例3 求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。 解：法一：设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+
6、g(x)= 4x1-3x 5 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为y|y4/3。 小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3) 法二：换元法(下题讲) 例4 求函数y=x+21-x 的值域 解：设1-x=t，则y=-t2+2t+1(t0) Q对称轴t=10,+)，且开口向下 当t=1时，ymax=2值域为(-,2 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最
7、值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=x-1 x的值域。求函数y=x-3+5-x 的值域 解：函数定义域为：x3,5 y2=(x-3)+(5-x)+2-x2+8x-15由x3,5,得-x2+8x-150,1y2,42原函数值域为2,2-1x1 设x=cosqq0,p 例6 求函数y=x+1-x2的值域 解： Qy=cosq+sinq=cosq+sinq=2sin(q+)-1,24 原函数的值域为-1,2p小结：若题目中含有a1，则可设 a=sinq,-p2q2p2(或设a=cosq,0qp) 2若题目中含有a+b=1则a=cos
8、q,b=sinq，其中0q2p 若题目中含有1-x2，则可设x=cosq，其中0qp 若题目中含有1+x2，则可设x=tanq，其中-p2q0,y0,r0)，则可设x=rcos2q,y=rsin2q 6 其中q0,p 2y 4 例7 求y=x-3-x+1 的值域 ,x3观察得值域y-4y4 -1 -4 0 1 3 x 解法二：画数轴 利用a-b表示实数a,b在数轴上的距离可得。 -1 x 0 3 解法三： Qx-3-x+1(x-3)-(x+1)=4x-3-x+1=(x+1)-4-x+1x+1-4-x+1=-4 同样可得值域 练习：y=x+x+1的值域呢？ 例8 求函数y=9-3+2(x0,1)
9、 的值域 xxx解：设3=t ，则 1t3 原函数可化为 y=t2-t+2,Q对称轴t= t=1时,ymin11,32=2;t=3时,ymax=8 值域为2,8例9求函数y=13-x2+2x 的值域 t1解：令t=-x+2x=-(x-1)+1，则y=(t1) 322 由指数函数的单调性知，原函数的值域为,+ 例10 求函数 y=2x13y 1 (x0) 的值域 0 x 解：如图，值域为(0,1 例11 求函数y=x-1 的值域 x+27 解法一：解出x,x=1+2yyy1 观察得原函数值域为1-yx+2-33=1-1 ，可得值域yy1 x+2x+2ax+b(c0)，如果在其自然定义域内，值域为
10、小结：已知分式函数y=cx+d解法二：由y=yya，采用部分分式法将原函数化为；如果是条件定义域cadac(adbc)，用复合函数法来求值域。 y=+ccx+db-3x例12 求函数y=x 的值域 3+1解法一：Q3=xy01-y0y1) =1-=1-则y=xxt3+13+11Qt101t0y1 1 0 1 t 原函数的值域为(01) 2x-1练习：y=x；. 2+1x2-1例13 函数y=2 的值域 x+1解法一：Qx=21+y01-y-1y1 2t 原函数的值域为-1,1) 解法二：设x+1=t ，则 222-1y1 t原函数值域即得Qt1022 0 1 t解法三：原函数可化为 (y-1)
11、x+0x+y+1=0 8 1） y=1时 不成立 2） y1时，D00-4(y-1)(y+1)0-1y1 -1y1 综合1）、2）值域y|-1y1 解法四：QxRpp设x=tanqq-,，则 221-tan2qy=-=-cos2qQ2q(-p,p)cos2q(-1,1 1+tan2q 原函数的值域为y|-1y1 例14 求函数y=5的值域 2x2-4x+32解法一：化为2yx-4yx+(3y-5)=0 1）y=0时，不成立 2）y0时，D0得 5 t5 0 1 t (4y)-8y(3y-5)00y5 0y5 综合1）、2）值域y|0y5 2解法二：令2x-4x+3=t，则y=5 tQt=2(x
12、-1)2+11 0y5 所以，值域y|00时，x+2） x-1)的值域 例16 (选) 求函数y=x+1解法一：原式可化为 x2+(2-y)x+2-y=0 QD0(2-y)2-4(2-y)0 Qx-1y-2舍去y2或y-22,+)原函数值域为(x+1)2+11=x+1+2(Qx-1) 解法二：原函数可化为 y=x+1x+1 当且仅当x=0时取等号，故值域为2,+) x2+2x+2(-2x2)的值域 例17 求函数y=x+1解：令x+1=t ，则原函数可化为y=t+1(-1t3)。 tax2+bx+c22小结：已知分式函数y=(a+d0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条2d
13、x+ex+f件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为 y=二次式一次式(或y=)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果一次式二次式a(x0)的单调性去解。 x不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y=x+ 练习： 1 、y=x2+1+9(x0)； x2解：x0，y=x2+112+9=(x-)+11，y11. 2xx1+92+9=11(或利用对勾函数图像法) 2x2另外，此题利用基本不等式解更简捷：y=x+2 、y=0y5. 52x2-4x+33 、求函数的值域 y=x+2-x； y=2-4x-x2 解：令u=2-x0,则x=2-u2, 10 原式可
14、化为y=2-u+u=-(u-)+u0，y21229, 499，函数的值域是，由图象可知，函数的值域是2x-1(x2)y|y3. 解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图 x-1O12-1Ox12-1O12x5、求函数y=2x+41-x的值域 解：设 t=1-x 则 t0 x=1-t 代入得 y=f (t)=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4 t0 y4 2x2-5x+66、求函数y=2的值域 x+x-6方法一：去分母得 (y-1)x+(y+5)x-6y-6=0 当 y1时 xR =(y+5)+4(y-1)6(y+1)0 由此得 (5y+1)0 2221-+515检验 y=- 时 x=-=2 562(-)52 定义域 x| x2且 x3 y-再检验 y=1 代入求得 x=2 y1 11 1 51x2-5x+6综上所述，函数y=2的值域为 y| y1且 y- 5x+x-6方法二：把已知函数化为函数y=(x-2)(x-3)x-36 (x2) =1-(x-2)(x+3)x+3x-3111x2-5x+6 由此可得 y1， x=2时y=-即 y-函数y=2的值域为 y| y1且 y- 555x+x-6 12
