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1、、函数定义域、值域求法总结 作者： 日期：函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。一般地，若已知 f(x)的定义域为a,b，求函数fg(x)的定义域时，由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。因此fg(x)的定义域即为满足条件ag(x)b的x的取值范围。 一般地，若已知 fg(x)的定义域为a,b，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当axb 时，g(x)的取值范围。 定义域是X的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法
2、则的影响，所以它们的范围相同。一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx中xk+/2；y=cotx中xk等等。( 6 )中x二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法（10）不等式法 （11）平方法等等这些解题
3、思想与方法贯穿了高中数学的始终。三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域： ； ； 解：x-2=0，即x=2时，分式无意义，而时，分式有意义，这个函数的定义域是.3x+20，即x-时，根式无意义，而，即时，根式才有意义，这个函数的定义域是|.当，即且时，根式和分式 同时有意义，这个函数的定义域是|且另解：要使函数有意义，必须： 例2 求下列函数的定义域： 解：要使函数有意义，必须： 即： 函数的定义域为： 要使函数有意义，必须： 定义域为： x|要使函数有意义，必须： 函数的定义域为：要使函数有意义，必须： 定义域为： 要使函数有意义，必须： 即 x 定义域为：例3 若函数的定义域是
4、R，求实数a 的取值范围 解：定义域是R,例4 若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：函数的定义域为：例5 已知f(x)的定义域为1，1，求f(2x1)的定义域。分析：法则f要求自变量在1，1内取值，则法则作用在2x1上必也要求2x1在 1，1内取值，即12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：f(x)的定义域为1，1，12x11，解之0x1，f(2x1)的
5、定义域为0，1。例6已知已知f(x)的定义域为1，1，求f(x2)的定义域。答案：1x21 x211x1 练习：设的定义域是-3，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须： 得： 0 函数的定域义为：例7已知f(2x1)的定义域为0，1，求f(x)的定义域因为2x1是R上的单调递增函数，因此由2x1， x0,1求得的值域1，1是f(x)的定义域。已知f(3x1)的定义域为1，2），求f(2x+1)的定义域。）（提示：定义域是自变量x的取值范围）练习：已知f(x2)的定义域为1，1，求f(x)的定义域若的定义域是，则函数的定义域是（）已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（）B 2、求值域问题利用
6、常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0，=，当x0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.若a,b,则a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y=3+(23x)的值域解：由算术平方根的性质，知(23x)0， 故3+(23x)3。 函数的值域为.2、
7、求函数 的值域解： 对称轴 例3 求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4-x的值域。(答案：y|y3)法二：换元法(下题讲)例4 求函数 的值域 解：（换元法）设，则 点
8、评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4例5 （选）求函数 的值域解：（平方法）函数定义域为： 例6 （选不要求）求函数的值域解：（三角换元法） 设 小结：（1）若题目中含有，则可设 （2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设其中-10134-4xy 例7 求 的值域解法一：（图象法）可化为 如图， 观察得值域解法二：（零点法）画数轴 利用可得。-103解
9、法三：（选）（不等式法） 同样可得值域练习：的值域呢？ （）（三种方法均可）例8 求函数 的值域解：（换元法）设 ，则 原函数可化为10xy 例9求函数 的值域解：（换元法）令，则 由指数函数的单调性知，原函数的值域为 例10 求函数 的值域解：（图象法）如图，值域为 例11 求函数 的值域解法一：（逆求法）解法二：（分离常数法）由 ，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例12 求函数 的值域011解法一：（逆求法） 小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定
10、的范围，可采用逆求法。解法二：（换元法）设 ，则 01练习：y=；（y(-1，1)）.例13 函数 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（换元法）设 ，则 解法三：（判别式法）原函数可化为 1） 时 不成立2） 时，综合1）、2）值域解法四：（三角换元法）设，则 原函数的值域为10例14 求函数的值域5解法一：（判别式法）化为1）时，不成立2）时，得综合1）、2）值域解法二：（复合函数法）令，则 所以，值域例15 函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为 解法二：（不等式法）1）当时，2） 时，综合1）2）知，原函数值域为例16 (选) 求函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为 解法二：（不
11、等式法）原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为例17 （选） 求函数的值域解：（换元法）令 ，则原函数可化为。小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。 练习：1 、；解：x0，y11.另外，此题利用基本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)2 、0y5.3 、求函数的值域； 解：令0,则,原式可化为,u0，y，函数的值域是（-，.解：令 t=4x-0 得 0x4 在此区间内 (4
12、x-)=4 ，(4x-) =0函数的值域是 y| 0y24、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图 5、求函数的值域解：设 则 t0 x=1-代入得 t0 y46、（选）求函数的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 当 y1时 xR =(y+5)+4(y-1)6(y+1)0由此得 (5y+1)0检验 （有一个根时需验证）时 （代入求根）2 定义域 x| x2且 x3 再检验 y=1 代入求得 x=2 y1综上所述，函数的值域为 y| y1且 y方法二：把已知函数化为函数 (x2) 由此可得 y1， x=2时即 函数的值域为 y| y1且 y
