信号与线性系统第一章.ppt

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1、2023年9月5日,1,信号与线性系统分析,吴欢皖西学院信息工程学院,2023年9月5日,2,本门课程选用教材：,信号与线性系统分析（第四版）吴大正 高等教育出版社主要参考书：1 郑君里、应启珩、杨为理.信号与系统（上、下）.北京：高等教育出版社，2000 2 管致中、夏恭恪、孟桥.信号与线性系统（上、下）（第四版）.北京：高等教育出版社，20043 Alan.V.Oppenheim著，刘树棠译.信号与系统.西安:西安交通大学出版社,1998,2023年9月5日,3,课程教学安排：考试课程，64学时，4学分成绩组成：期末考试70%，平时成绩30%（出勤、课堂回答问题、作业）实验：20学时，1学

2、分 实验50%，实验报告50%,2023年9月5日,4,课堂要求,1、不许迟到、早退2、上课不许说话3、点名3次未来者，取消考试资格4、作业禁止抄袭5、期末考试后，禁止各种形式求情6、禁止换班听课7、课后复习、预习,2023年9月5日,5,课程特点,1、专业基础课 非常重要2、数学应用多3、基本概念、基本分析方法 重要,2023年9月5日,6,学习目的,1、掌握基本概念、分析方法2、培养逻辑分析能力,2023年9月5日,7,三个重要问题,1、基本信号及其响应2、信号的分解3、LTI系统分析方法,第一章 信号与系统,主要介绍信号与系统的概念以及它们的分类方法，并讨论线性时不变（Linear Ti

3、me-Invariant,缩写为LTI）系统的特性，简明扼要地介绍了LTI系统的描述方法和分析方法。深入地研究了在LTI系统分析中占有十分重要地位的阶跃函数、冲激函数及其特性。,1.1 绪言,思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念联系在一起？一、信号的概念1.消息（message）：人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。消息：反映知识状态的改变,2023年9月5日,10,2.信息（information）：它是信息论中的一个术语。通常把消息中有意义的内容称为信息。3、信号（signal）信号是信息的载体。通过信号传递信息。光信号、电信号、声音信号,二、系统的概念 信号的产生、传

4、输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。一般认为系统是指由若干个相互关联、相互作用的事物，按照一定的规律组合而成的具有某种特定功能的整体。,如:通信系统、电力系统、机械系统、生产管理系统、交通运输网络、太阳系等。,系统的属性不同、规模不同、复杂程度不同。,信号与系统的概念紧密相连的。,系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。,2023年9月5日,13,1.2 信号的描述和分类,一、信号的描述 信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论

5、电信号-简称“信号”。,2023年9月5日,14,电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流 描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数（2）信号的图形表示波形,确定信号：是指能够用确定性的图形曲线或解析式 来准确描述，对于给定某一时刻，有确定的函数值。,随机信号：不能用确定的时间函数来描述，只知道 它在某一时刻取某一函数值的概率。,1、确定信号和随机信号,本书仅讨论确定信号。,如马路上的噪声，其强度因时因地而异，无法准确预测，因此它是随机信号。研究随机信号要用概率统计的观点和方法。,二、信号的分类,这是根据信号自变量为连续/离散的特点进行区分。,2、连续信号和离散信号,1、连续信号：在连续时间范

6、围 内有定义的信号，称为连续时间信号，简称连续信号。函数值为连续是常称为模拟信号。允许有有限个间断点。,2、离散信号 仅在一些离散时刻才有定义的信号-离散时间信号。取值为规定数值时常称为数字信号。,“离散”仅指定义域，只在 有定义。,则离散信号只在均匀离散时刻 有定义,表示为 简记为:,相邻离散点的间隔。可以相等也可不等。通常取等间隔，,2023年9月5日,18,本书只讨论 为常数的情况.,这样的离散信号也常称为序列。序列 的数学表示式可写成闭合形式，亦可分别列出。,例1、,为简化表达方法，此序列也可写作：,例2、,例3、单位阶跃序列,可见，对连续信号和离散信号的区分主要看信号的定义域。对于值

7、域可连续亦可离散。二者均为连续为模拟信号。二者均为离散为数字信号。,自然界中的实际信号可能是连续信号，也可能是离散信号。,例如，语音信号，连续测量的温度曲线都是连续信号。而银行发布利率，按年度统计的人口数量或国民生产总值都是离散信号。数字计算机处理的是离散时间信号，当处理对象为连续信号时需要经采样将它转换为离散时间信号。,周期信号：每隔一定时间T（或整数N）按相同规律 重复变化的信号。,三、周期信号和非周期信号,对于连续时间信号，满足：,对于离散时间信号，满足：,满足以上关系式的最小的T（或N）值,称为该信号的周期。,不具有周期性的信号，称为非周期性信号。,非周期性信号:,例：求下列函数的周期

8、、,解：,例：求 的周期。,解：,一般对于离散的正弦或余弦序列:,例：求 的周期。,解：,例1.2-1:判别下列各序列是否为周期性的，如果是周期性的，确定其周期。,解：,所以是周期序列，周期,所以是周期序列，周期,例1.2-1:判别下列各序列是否为周期性的，如果是周期性的，确定其周期。,解：,所以不是周期序列。,2023年9月5日,27,补充例4：,判别下列信号是周期序列还是非周期序列，若是周期序列，试确定其周期。,解：,非周期,是非周期序列。,三、实信号和复信号,实信号：函数（或序列）值均为实数的信号为实信号，如，正、余弦信号，单边实指数信号等。,复信号：函数（或序列）值为复数的信号为复信号

9、，最常用的是复指数信号。,连续时间的复指数信号,二者均为实信号，是幅度随时间变化的正、余弦信号。,表征振荡的角频率；,实指数信号。,直流信号。,S的实部 表征信号幅 度随时间变化的状况:,可见，复指数信号概括了许多常用信号。它的重要特性之一是：微分或积分后仍为复指数信号。,想-想：复指数信号 是不是周期信号？,对于离散时间的复指数信号,为幅度随时间变化的正、余弦序列。,四、能量信号和功率信号,为了知道信号能量或功率特性，有时要讨论信号在单位电阻上的能量或功率。,在区间 的平均功率为,信号能量,信号功率,若信号的能量有界（即，这时），称其为能量信号；若信号的功率有界（即，这时），称其为功率信号；

10、,一般而言：1.仅在有限区间不为零的信号应是能量信号。如单个矩形脉冲等。这些信号，平均功率P=0，只能从能量的角度去考虑。,2.周期信号、阶跃信号等是功率信号，它们的能量为无限。只能从功率的角度去考虑。,对离散信号有时也要讨论能量，序列 的能量定义为,序列 的功率定义为,3.一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但有少数信号既不是能量信号也不是功率信号。如。,1.3 信号的基本运算,主要内容：一、加法和乘法 二、反转和平移 三、尺度变换,在信号传输与处理过程中往往需要进行信号的运算,如信号的加法、乘法、反转、平移和尺度变换等。,一、加法和乘法,与 的和是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“

11、和信号”，即,与 的积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，即,例如:,收音机的调幅信号是信号相乘的一个实例。,解：,二、反转和平移,反转：将信号 f(t)或 f(k)中的 t 或 k 换成 t 或-k,几何意义是将 f()以纵坐标为轴反转。,平移（亦称移位）：若t0 0，k00，则：,是将原信号 沿正 t 轴平移时间t0；,是将原信号 沿负 t 轴平移时间t0；,是将原信号 沿正 k 轴平移k0个单位；,是将原信号 沿负 k 轴平移 k0个单位；,连续信号的平移:,离散序列的平移：,例如在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间，利用该延迟时间 可计算出目标与雷达

12、之间的距离。这里雷达接收到的信号就是延时信号。,如果 是已录制声音的磁带，则 表示将此磁带倒转播放产生的信号。,推荐解法：先画f(t t0)或f(k k0),再反转；,例、已知f(t)的波形如下，试画出f(t+2)的波形。,已知，如何画 f(t t0)及 f(k k0)？,另外：已知f(t)的波形如下，试画出f(t+2)的波形。也可以先画出 但接下来应右移2个单位。,一般而言，对于最后的结果自己可以找两个特殊点进行验证。例如刚才的例题，我们可以进行验证。,将f(t)的自变量乘以一个不为零的常数 a,所得的信号 f(at)称为 f(t)的尺度变换信号。,三、尺度变换（横坐标展缩）,f(at)是将

13、原信号以原点为基准沿横轴压缩到原来的1/a；,f(at)是将原信号以原点为基准沿横轴扩展至1/a倍;,f(at)是将原信号反转并压缩或扩展至原来的;,连续信号的尺度变换,离散信号通常不作展缩运算，这是因为f(ak)仅在ak为整数时才有定义，而当a1或a1,且a1/m(m为整数）时，它常常丢失原信号f(k)的部分信息。,例如：,信号(式中a0)的波形可以通过对信号 的平移、反转（若a0)和尺度变换获得。,例1.3-2 已知 的波形，画出 的波形。,信号(式中a0)的波形可以通过对信号 的平移、反转（若a0)和尺度变换获得。,已知，如何画 f(a t+b)?,一般而言：先平移，再反转和尺度变换。,

14、已知，如何画 f(t)?,一般而言：先反转和尺度变换，最后再平移。,注意：每一步中自变量t换成了什么。,例、已知 的波形，画出 的波形。,0 1.5 2 3 t,1,如何验证？,补充例题1：,已知 波形如图，试画出 的波形。,解：,补充例题2：已知 的波形，试画出 的波形。,左移1个单位,解法一：,解法二：,左移6个单位,已知信号 波形如图，试画出 的波形。,补充例题3：,解：,1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。,一、阶跃函数和冲激函数二、冲激函数的性质 1、与普

15、通函数相乘(取样）2、移位 3、尺度变换 4、奇偶性,一、阶跃函数和冲激函数,我们来讨论这样的一个函数：,(虚线代表n增大时的变化趋势。),宽度趋于0,幅度趋于无穷大,但强度=1,单位阶跃函数,单位冲激函数的定义有两种：,狄拉克给出的定义：单位冲激函数是指除t=0外，其值处处为零，且积分值为1的函数。,根据以上讨论可知：与 之间的关系是：,这样，在引入了冲激函数以后，间断点处的导数也是存在的。,若冲激不是发生在原点，而是在 则记为，,a0时，a(t)表示t=0处强度为a的冲激函数；a0时，a(t)表示t=0处强度为|a|的负冲激函数。,表示何意义？,引入阶跃函数后可简化函数的表示。,例如：门函

16、数,现可表示为：,或,例如：如下图所示的函数：,可表示为：,例如：如下图所示的函数：,可表示为：,例如：如下图所示的序列：,可表示为：,阶跃函数可用来描述在t=0时刻接入的信号源，如：t=0时刻对某一电路接入电源，并且无限持续下去。,冲激函数可用来描述作用时间极短，但取值极大的物理量。如力学中瞬时作用的冲击力，电学中的雷击电闪等。,2023年9月5日,72,2023年9月5日,73,二、冲激函数的广义函数定义,定义：按广义函数理论，冲激函数由下式确定 单位阶跃函数的定义为：,2023年9月5日,74,三、冲激函数的导数和积分,的定义：的定义：,2023年9月5日,75,四、冲激函数的性质,1、

17、及其导数与普通函数的乘积（取样）,设f(t)在t=0处连续，且处处有界，则：,仍为一个冲激函数，但强度为 f(0)。,2023年9月5日,76,例1.4-1：分别化简函数（为常数)与 的乘积。（书上19页）解：,解：,对上式求导，得,常义导数,强度等于2和（-4）的冲激函数。,其波形图见下页：,3、尺度变换,4、奇偶性,取,当n为偶数时，,是t的偶函数,是t的偶函数,考虑：,1.5 系统的描述,主要内容：一、系统的数学模型 二、系统的框图描述,我们分析的系统为连续或离散的动态系统。,系统按响应与激励之间的关系分为：,即时系统：任意时刻的响应仅取决于该时刻的激励，而与它过去的历史无关。如,加法器

18、，数乘器等。,激励与响应均为连续信号的系统，为连续系统。,激励与响应均为离散信号的系统，为离散系统。,系统按响应与激励的信号形式,连续系统,离散系统,一、系统的数学模型：,描述连续系统的数学模型：微分方程；,描述离散系统的数学模型：差分方程；,例：如图所示RLC电路，如果将 看成激励，写出以 为响应的微分方程。,解：,代入（1）,整理得,例：如书上23页图所示的力学系统，质量为M的物体受外力 的作用将产生位移。将外力 看作系统的激励，位移 看作系统的响应。,力学系统：,电路系统：,2023年9月5日,92,例：某人向银行贷款 万元，月息为，他定于每月初还款，设第 月初还款为 万元。若令第 月尚

19、未还清的钱款数为 万元，则有,二、系统的框图表示,在用方框图描述系统时，常用的基本单元有：,积分器,延时器,数乘器,加法器,延迟单元,例1.5-1已知某连续系统的框图，写出系统的微分方程。,解：,（书上25页）,例1.5-2某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。,解：,先设中间变量，再对两个加法器列方程，最后消去中间变量。,（书上26页）,对两个加法器列式：,消去中间变量,用 乘：,用 乘：,又：,例1.5-3、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。,解：,先设中间变量，再对两个加法器输出列方程，最后消去中间变量。,（书上27页）,对两个加法器列式：,消去中间变量：,用 乘以,用 乘以

20、,总之，已知框图列写其微分(或差分方程)的一般步骤是：,连续系统，设最右端积分器的输出为；,2.逐个写出加法器输出信号的方程；,3.消去中间变量。,1.选中间变量：,离散系统，设最左端的延迟单元输入为；,例1.5-2某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。,（书上26页）,例1.5-3、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。,（书上26页）,1.6 系统的特性和分析方法,主要内容：一、线性 二、时不变性 三、因果性 四、稳定性 五、LTI系统分析方法概述,对于连续或离散的动态系统，按基本特性可分为线性系统与非线性系统，时变系统与非时变系统，因果系统与非因果系统，稳定系统与非稳定系统等等。

21、本书主要讨论LTI(Linear Time Invariant)系统。,一、线性,设系统的激励与响应之间的关系为:,线性性质包括两个内容：齐次性和可加性。,一个系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的。,设 为任意常数，则对于线性系统应有,这样，动态系统在任意时刻（或）的响应 可以由初始状态 和 区间 或 上的激励 完全的确定。,系统的完全响应可写为:,根据线性性质，线性系统的响应是 和 单独作用所引起的响应之和,即:,零输入响应,零状态响应,分解特性,这样，动态系统是线性系统，应满足：,1、分解特性：,2、零输入线性：当有多个初始状态 时，对所有的初始状态 呈线性。,3、零状态线性：当有

22、多个激励 时，对所有的 呈线性。,总之，一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统，称为线性系统，否则称为非线性系统。,2023年9月5日,112,例一:判断下列系统是否为线性系统,二、时不变性,对一个系统，若激励在时间上有一个任意平移，都导致零状态响应 在时间上有相同的平移，则称该系统为时不变系统，否则称为时变系统。,根据LTI系统的线性和时不变性，可得到LTI系统的微分特性和积分特性：(书上29页）,一个系统既是线性又是时不变的，称线性时不变系统。简记为LTI系统.,利用这两个性质可简化计算。,例1.6-1 某连续系统和离散系统的全响应分别为,式中a,b为常数,为初始状态,在t

23、=0或k=0时接入,激励,。上述系统是否为线性的,时不变的?(书上29页）,解：(1),系统的零输入响应和零状态响应分别为,符合分解特性,、满足零输入线性和零状态线性，,因而该系统是线性的。,令，则，代入上式，相应的积分限改写 为 到，得,由于 是在 时接入的，在 时，故上式可改写为：,故该系统是时不变的。,解：系统的零输入响应和零状态响应分别为：,而且零输入响应满足零输入线性。,但零状态响应不满足可加性，因为一般而言,故该系统是非线性的。,符合分解特性,故该系统是时不变的。,直观判断方法：若f(.)前出现变系数，或有反转，展缩变换，则系统为时变系统。,三、因果性,零状态响应不出现于激励之前的

24、系统（或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值，而与将来时刻的输入值无关），称为因果系统。,例如：,都是因果系统。,想一想：的系统是不是因果系统？,而 的系统:,是非因果的,设,则：,可见在区间,即零状态响应出现于激励之前，因而该系统是非因果的。,四、稳定性,对有界的输入，系统的零状态响应 也是有界的，这称为有界输入有界输出稳定，简称为稳定。,更确切的说，若系统的激励 时，其零状态响应，就称该系统是稳定的，否则称为不稳定的。,它随时间t无限增长，故系统是不稳定的。,五、LTI系统分析方法概述,系统分析就是建立表征系统的数学方程式并求解。,输入输出法侧重于系统的外部特性，适合于单输入单

25、输出系统。,状态变量法侧重于系统的内部特性，适用于多输入多输出系统，特别适合于计算机分析。,时域分析法计算较复杂,但物理概念清楚。,变换域分析法是应用数学的映射理论，将时间变量映射为某个变换域的变量，使系统的动态方程转换为代数方程，从而极大地简化了计算。两种方法各有侧重，在系统分析中都有广泛的应用。,一般来说，实际信号的形式是比较复杂的，若直接分析各种信号在LTI系统中的传输问题常常是困难的。通常采取的行之有效的方法是把一般的复杂信号分解成某些类型的基本信号之和。,系统函数在分析LTI系统中起重要的作用。它不仅是连接响应与激励之间的纽带和桥梁，而且可以用它来研究系统的稳定性。,本章内容小结：1、信号的表示、分类及基本运算;2、冲激函数及阶跃函数，冲激函数的性质;3、系统的描述及系统的性质;,