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1、1、什么是不定方程？顾名思义即方程的解不定.一般地有,第二章 不定方程,定义：不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，或未知数受到某种限制(如整数，正整数等）的方程和方程组。,2、主要研究问题a.不定方程有解的条件b.有解的情况下，解的个数c.有解的情况下，如何解,3、本章学习内容(1）二元一次不定方程（2）多元一次不定方程（3）勾股数组（4)费马大定理简介(5)几类特殊的不定方程,1 二元一次不定方程定义：形如 其中()a,b,c为整数的方程称为二元一次不定方程。,例：2X+3Y=5 5U+6V=21,定理：有解的充要条件是(a,b)|c证：设方程有解 则有因为（a,b)|a,(a,b)|b
2、,因而(a,b)|c反之，设(a,b)|c,则 由最大公因数的性质存在s,t 使得as+bt=(a,b)令 即为方程的解,3、二元一次不定方程有解的情况下解的结构定理：设 是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成 其中,证：把 代入不定方程成立，所以是方程的解。又设 是不定方程的任一解，又因为 是一特解则有,即有 有因为令 即得到了方程的解。,方程有解情况下不定方程的解法（1）观察法：当a,b的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解，然后用 得到其所有解。,2、公式法：当a,b的绝对值较小时，可用公式 得到特解然后用公式写出一切解。为a,b作辗转相除时不完全商(见书),3、整数分
3、离法：当a,b中系数不同时，用绝对值较小的系数后的变量表示另一个变量，通过变量替换得到一个新的不定方程。如此反复，直到一个参数的系数为1.从而得到不定方程的解。4、化为同余方程（同余方程中再讲）注:方法(1)(3)(4)用得较多,(2)不太实用.,例1：求解不定方程解：因为（9，21）=3，3|144所以有解；化简得 考虑,有解 所以原方程的特解为，所以方程的解为,注：解的表达式是不惟一的,例2、用整数分离法解解：因为（107，37）=1，所以有解；故 故,2 多元一次不定方程2.1定义：形如的不定方程多元一次不定方程。,2.2 定理 有解的充要条件是,证：必要性，若不定方程有解,则有由。,充
4、分性：用数学归纳法(n=2）时已证假设对n-1时条件是充分的，令则方程 有解，设解为 又 有解，设为,这样 就是方程的解。,注：从证明过程也提供了方程的解法。,则 等价于方程组,设,先解最后一个方程的解，得 然后把其代入倒数第二个方程求得一切解，如此向上重复进行，求 得所有方程的解。,例1：求不定方程 的整数解.解 因为（25，13）=1，（1，7）=1|4，所以方程有解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t,t+7z=4.先求t+7z=4的解为t=4-7u，z=u。因为25*(-1)+13*2=1，所以25x+13y=1的特解为=-1，=2故25x+13y=t的解为x=
5、-t-13v，y=2t+25v所以 的解为x=-4+7u-13v，y=8-16u+25v，z=u.u，v为整数。,3 勾股数 定义：一般地称x2+y2=z2的正整数解为勾股数例（3，4，5），（5，12，13）（8，15,17）为勾股数 x2+y2=z2 方程解的分析（1）若x，y，z是方程解，则dx，dy，dz也是 方程解（2）由（1）只要考虑（x，y，z）=1的解即可，而实际上只 要（x，y）=1即可，假设（x，y）=d，则d|x，d|y，则有d|z,（3）由（2）可设（x，y）=1，则x，y为 一奇一偶。若x，y都为奇数，则z为偶数，则方程左边为4K+2，右边为4K，矛盾。所以x，y为一
6、奇一偶。由上分析，我们对（x,y）作了一些限制，而这些限制并不影响其一般性。即可假设在 x0，y0，z0，（x，y）=1，2x的条件下给出x2+y2=z2的通解公式。,定理：在条件x0，y0，z0，（x，y）=1，2x的条件下 x2+y2=z2的通解公式为 x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，ab0,(a,b)=1，a,b一奇一偶。,为了证明定理的结论，先给出下面引理。,引理：设 u0，v0，（u,v）=1，则不定方程 uv=w2 的解为 u=a2，v=b2，w=ab 其中a0，b0，（a,b）=1。,证：设u，v，w是方程的解，令 不含平方数，又（u，v）=1，不能被 整除.故 所
7、以 u=a2，v=b2，w=ab。a0，b0，（a,b）=1 下面进行定理的证明.,定理的证明：x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，ab0,(a,b)=1，a,b一奇一偶。显然是方程x2+y2=z2的解，满足x0，y0，z0，2x，且设（x，y）=d，则有 由（a，b）=1，有d=1，或d=2,又由y为奇数，所以d=1。,设x，y，z是满足条件的一组解，由2|x，及（x，y）=1知y，z是单数，有 且 因为设 则有d|z，d|y，因而有d|x，所以d=1于是由引理令于是有x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a0,b0,(a,b)=1 由y0,知ab0,又y单，所以a,b一奇
8、一偶。,推论：单位圆上的有理点可写成,证：由 两边同除有，令所以有 即为单位圆的方程而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数的分子正好为x2+y2=z2的x和y分母为z，且正负都可，又可交换即有,例1：勾股数的勾股中至少有一个是3的倍数。证：设N=3m 1，（m为整数），则=3k+1 设 中，若x，y都不是3的倍数，都是3K+1，则其和为3k+2。不可能是平方数，所以 是 不可能的。,4 费尔马大定理和无穷递降法,1、费尔马大定理：不定方程 xn+yn=zn，n3无正整数解。,由于一个大于2的整数n，当n是偶数时，必为4的倍数或为某个奇质数的偶数倍，当n是奇数时，必是一个奇质数p的倍
9、数。因此，实际上只需证明 和（p为奇质数）都没有正整数解就可以了。对 可用无穷递降法证明，而 无正整数解的证明是非常困难的。,2、无穷递降法 的逻辑步骤（1）若一个关于正整数的命题P（n）对若干正整数n是下正确的，则在所有n中一定有最小者。（2）若 正确，则有 使 正确。由（1）（2），则P（n）不能成立。,例2:证明 是无理数证：假设 是有理数，则 有正整数解.设自然数(a,b)所有解中使得a最小一组解.即有 容易知道a是偶数，设a=2a1，代入又得到b为偶数，设则,即 也是方程的解,这里 这与a的最小性矛盾.无理数。,例2:证明 是无理数证：假设 是有理数，则存在自然数a,b使得满足，即
10、容易知道a是偶数，设a=2a1，代入又得到b为偶数，设,则,这里这样可以进一步求得a2，b2且有aba1b1 a2b2但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，无理数。,几个特殊的不定方程的初等解法,1、奇偶分析法例：求不定方程 的正整数解解：因为328为偶数，即左边为偶数，x，y的奇偶性相同，不妨设xy设则有 同理有一奇一偶,则 得解进一步有所发原方程的解为(2,18)和(18,2),2、利用特殊模的余数,例2：证明 无整数解。证：由求根公式得原方程要有整数解则 为完全平方而 所以有 不可能为平方数。所以原方程无整数解。,3、数与式的分解,例3：求 的整数解。解：原方程通过变形得则有从而
11、原方程的解为,4、不等分析法,例4：求 的正整数解。解：因 所以又因为 为偶数，所以 只能为4，16代入得=16，所以原方程的解为（4，3）,5、分离整数部分法,例5：求 的整数解。解：因为x=-1不是方程的解，所以原方程为所以有x+1|2，即x=0，-2，1，-3得原方程的解为(0,4),(-2,0),(1,3),(-3,1).,6、求根公式法,例6：求 的整数解。解：把它看成x的二次方程有由根号里面大于等于0，得y只能1，2，3代入得到方程的解为(2,1),(1,1),(1,2),(3,2),(3,3),(2,3),7、利用韦达定理,例7：求 的正整数解。解：把它看成x的二次方程，设根为则
12、有所以两根同奇偶，且 除4，余数不为0所以两根只能是1，3，5和11，9，7又两根之积减2是平方数。所以 只能是1，11和3，9。所以原方程的解为(1,3),(11,3),(3,5),(9,5).,8、换元法,例8：求 的正整数解。解：由题意有 于是令y=tx，则有 由韦达定理得因为1981=1*1981=7*283，只有 得y=10，从而得原方程解为（70，10）（2830，10）。,8、换元法,例8：求 的正整数解。解：由题意有 于是令y=tx，则有 由韦达定理得因为1981=1*1981=7*283，只有 得y=10，从而得原方程解为（70，10）（2830，10）。,9、其它方法,例9：求 的正整数解。解：原方程为而由勾股定理有或所以方程的解为（3，8），（4，6）,
