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1、1,力学竞赛辅导,江汉大学机电建工学院,力学教研室,材料力学(二),2,实验应变分析专题,一.电阻应变计法的基本原理,转换原理及电阻应变片:,导体在一定的应变范围内,其电阻改变与导体的线应变成正比.,材料的灵敏系数:,电阻应变片:,电阻应变片的基本参数是:灵敏度系数 K、电阻值 R、标距 l、宽度 a.,当测量某一点的应变,应选择尽可能小的的应变片:当需要测不均匀材料(如混凝土)的应变时,则应选用足够大的应变片,以得到平均应变值.,3,应变电桥,(惠斯顿电桥):,当UBD=0 称“电桥平衡”.,又,此时有:,若上述的4个电阻为应变片,则受力前,电桥时平衡的,而输出电压UBD=0.若受力后各个电
2、阻应变片的电阻分别改变了Ri,则经过计算及分析可得:,UBD:输出电压,4,若上述4个应变片的电阻值均等于R.则有:,按上述原理制成的仪器,称为电阻应变仪.,在确定好应变读数值r 与电桥输出电压值UBD的对应关系后可有,5,全桥电路与 半桥电路:,上述桥路中4个电阻都是应变片,这样的电路为全桥测量电路.如果上述电路中R1、R2 是应变片,而R3、R4 是应变仪内的“标准电阻”.(标准电阻阻值是不变化的),这样的电路为半桥测量电路.,:温度补偿片与温度补偿电路,实测时,应变片是粘贴在受力构件上的,如果温度发生了变化,因应变片的线胀系数与构件一般不同,且应变片的电阻值也会因温度变化而改变,所以测得
3、的应变值含有温度变化的影响,不能真实反映因构件受力而引起的应变值,故务必要消除温度变化带来的影响.,半桥电路中,标准电阻R3=R4=R,但R3=R4=0.经过计算分析可得:,应变仪上读数有:,6,1.单臂测量与温度补偿电路,图示为半桥测量电路,应变片R1 上因受力和温度影响变形,其应变值为,应变片R2是与R1 相同的应变片,粘贴在同样材料,但不受力的试件上,因温度影响而变形,其应变值为,应变仪上读数有:,由半桥测量电路,7,2.半桥温度自动补偿电路,图示为半桥测量电路,参数相同的应变片R1 与R2 如图互相垂直粘贴在同一 单向应力状态的构件上.,应变片R1同前,其应变值为,应变片R2因材料的泊
4、松效应及温度,应变值为,应变仪上读数有:,由半桥测量电路,这种电路,使得测量的灵敏度略有提高.,8,3.全桥测量偏心拉伸电路,如果只测量由于轴向拉伸引起的应变可采用如图示的连接.,由,由拉压胡克定律,如果只测量由于偏心引起的弯曲应变可将图示中R3与R2在桥臂中的接线对换.,由,9,例1.一圆轴直径为d,为测定材料的剪切模量G,在直径两端的表面上各贴有与轴成450 的电阻应变片两片,如图所示.试问:如何选用这些应变片(可用全部或部分应变片,但不另备补偿块.请写明加载、接线方式及计算公式.,(1)全桥测量电路,由应变转换公式,又,10,(2)半桥测量电路,这里可知,全桥的测量精度比半桥大一倍.,1
5、1,例2.在受轴向拉伸和扭转组合的圆截面轴上,试用应变仪分别测出拉伸主应变和扭转主应变,并计算轴上危险点的主应力.要求:(1)用图表示应变片粘贴的部位和方向(片数自定);(2)画出电桥线路图;(3)写出应变仪读数与所测应变的关系;(4)用测得的仪器上的读数表达轴上危险点的主应力的大小和方向.,解:,a.测拉伸(用半桥且不要补偿块),由,12,(b)测扭转主应力,前面一例已做出,如果是全桥线路:,如果是半桥线路:,13,(4)用测得的仪器上的读数表达轴上危险点的主应力的大小和方向.,对于拉伸,对于扭转,由应变转换公式,14,例3.图示所示传感器,AB和CD为铜片,其厚度为h,宽为b,长为l,材料
6、的弹性模量为E,它们在自由端与刚性杆BD固接.(1)试求截面K K 的轴力和弯矩;(2)如果采用电测法测量截面K K 的轴力和弯矩,试确定贴片与接线的方案(选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式.,解:,(1)由整体平衡及两铜片相同的弯曲变形(不考虑轴向变化),可推得A、C处水平力均等于F/2.,取AB片分析受力,又,(第五届力学竞赛试题),15,整体分析受力,同理可分析DC片得知,16,例3.图示所示传感器,AB和CD为铜片,其厚度为h,宽为b,长为l,材料的弹性模量为E,它们在自由端与刚性杆BD固接.(1)试求截面K K 的轴力和弯矩;(2)如果采用电测法测量截面K K
7、的轴力和弯矩,试确定贴片与接线的方案(选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式.,(2)采用全桥测量电路,a.测弯矩电路,贴片如图,17,a.测弯矩电路,(考虑两侧弯曲应力和拉伸应力符号),b.测轴力电路,18,例4.平均直径为D、壁厚为(D/20)的薄壁圆筒承受均匀内压p,如图示,为测得圆筒的强度和内压p,用全桥接线的方式两次测得应变仪的读数为r1=4.510-4 和r2=2.510-4.圆筒材料的弹性模量E=200GPa,泊松比为=0.25,许用应力=120MPa.试求圆筒的内压,并校核其强度.,解:,由应变仪接线方式可得,求解可得,由胡克定律,19,由于贴片的应变方向为该
8、点的应力主方向,在各向同性材料中,应变主方向与应力主方向同轴.,若按第三强度理论校核,故材料的所测点在该应力状态下满足强度条件,为安全工作状态.,20,例5.平均半径为R的开口薄壁圆环,其开口量为,圆环壁厚t R/10,抗弯刚度为EI.为使开口闭合,将此开口圆环置于试验机上缓慢加压.求:当使用电测法监控开口圆环正好闭合时,试验机所加的压力F,写出相应应变的读数d 与闭合量的关系式.,解:,先求与力F的关系,由对称性,其一半圆环分析,弯矩方程:,21,例5.平均半径为R的开口薄壁圆环,其开口量为,圆环壁厚t R/10,抗弯刚度为EI.为使开口闭合,将此开口圆环置于试验机上缓慢加压.求:当使用电测
9、法监控开口圆环正好闭合时,试验机所加的压力F,写出相应应变的读数d 与闭合量的关系式.,由弯曲变形,这里,由半桥测量电路,A点的弯曲应力极值,同理,(另解),22,轴向拉压,横截面上的应力:,斜截面上的应力与横截面应力关系:,纵向伸长,纵向应变,横向应变,弹性应变能,弹性应变能密度,功能关系,(胡克定律),材料力学中应记忆的概念和公式,23,圆轴扭转,基本公式:,斜截面上的应力与横截面应力关系:,剪切弹性应变能密度,横截面上的应力:,单位长度扭转角,24,抗扭截面系数.,极惯矩,空心圆轴,薄壁圆筒,实心圆轴,25,2.物理方程(胡克定律),3.静力学关系,平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式,1
10、.几何变形,:平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力,以中性轴为界分为拉力区和压力区.中性轴过截面的形心.,26,横截面对z 轴的惯性矩,横截面对y 轴的惯性矩,抗弯截面系数,常用截面的轴惯矩:,矩形截面,27,平移轴定理:截面对某一轴的惯性矩,等于该截面对平行此轴且过质心的轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方.,28,用积分法求弯曲变形,第一次积分,第二次积分,如果EI=常数,由梁的约束条件和连续性条件定积分常数,29,用叠加法求弯曲变形,在小变形的前提下,挠曲线方程是线性微分方程.线性微分方程服从叠加原理,在这里的一个重要应用是:复杂载荷下方程的解是对应的有限简单载荷下解的叠加.就是说,
11、当梁上有若干载荷同时作用时,可分别求出每一个载荷下单独引起的变形,把所得的变形叠加即得最终的结果.,(一).载荷叠加法,(二).逐段刚化求和法,在小变形的前提下,首先分别计算梁上分解的各段的变形在需求位移处引起的位移,然后叠加,即得最后的结果.在逐段分析中,除视所研究的梁段发生变形外,其余各段均视为刚体.,30,(三).用叠加法求梁的转角和挠度,几个常用结构简单载荷下最大挠度和转角值,设梁长为l,EI=常数,31,表现一点应力状态的介质或媒体 单元体,单元体:表现一点应力状态的无限小的闭合多面体.一般取正六面体.,主平面:单元体上无切应力的平面称为主平面.,主应力:主平面上的正应力,称为主应力
12、.,一点的应力状态,对于正六面体的单元体,至多有三对主应力.,如果有一对主应力不为零,称此点的应力状态为单向应力状态;如果有两对主应力不为零,称此点的应力状态为平面应力状态;如果三对主应力都不为零,称此点的应力状态为空间应力状态.,平面 应力状态分析,32,任意一点平面应力状态下应力随截面的变化规律,33,由,主应力和主平面,最大最小剪应力值.,1.平面应力状态下的任一点都存在两个互相正交的主平面.主平面上 剪应力为零,正应力分别有极大值或极小值.2.主平面与最大最小剪应力平面相差450角.3.对于空间上的一个点来讲,平面应力状态下的自由面为应力为零的 主平面.所以,一点的主应力总有三个:1、
13、2、3,它们的大小 按其代数量值排序.,34,平面 应力状态分析 图解法(应力圆法),将(I)式改写为:,由于x、y、xy 是已知量,(III)式是以、为变量的圆周方程.,对比,横座标轴为 轴,纵座标轴为 轴.圆心座标为,半径为,35,C,C点横座标:,半径:,36,平面应力下应变状态分析的基本公式,在平面应变状态的分析中,若已知某一点的正应变 和切应变 可得任意方向 的应变公式:,主应变和应变主方向,应变状态分析较应力状态分析复杂一些,这里从略.最基本的结果是:在小变形的范围内,一点应变状态的变换公式与此点应力状态的变换公式是相似的.,若用上述公式求某点最大的伸长应变和所在的方向,必须已知
14、x、y、xy.但是在实际上 x、y 容易测出,而 xy 是很难测得的.所以,在实验中,用仪器直接测定三个方向的正应变,而用上述公式计算出x、y、xy,进而计算出 max 和0.,37,广义胡克定律,运用单向拉压下的胡克定律和泊松效应,和平面纯剪切下的胡克定律,我们可得到复杂应力状态下的广义胡克定律.,在各向同性材料及小变形的条件下,正应力产生正应变,剪应力产生剪应变.,各向同性材料三个常数间的关系式,38,对于平面应力状态,或者表达为,39,在受力点的主平面上只有正应力,则胡克定律用主应力表达为:,平面应力状态下,40,体积应变,为今后使用方便,将其改写成如下形式:,41,无论什么应力状态下,
15、只要最大拉应力达到材料的极限值,材料就会断裂.,将b 除以安全因数可得许用应力,由第一强度理论建立的强度条件是:,无论什么应力状态下,只要最大伸长应变1达到材料允许的极限值,材料就会断裂.,将b 除以安全因数可得许用应力,由第二强度理论建立的强度条件是:,无论在什么应力状态下,只要最大切应力达到材料的屈服极限,材料就会发生破坏.,将s 除以安全因数可得许用应力,由第三强度理论建立的强度条件是:,42,无论是什么应力状态,只要畸变能密度vd 达到一极限值,材料就会屈服而失效.,将s除以安全因数可得许用应力,于是,按第四强度理论得到的材料的强度条件是:,我们可把四个强度理论的强度条件写成如下的统一
16、形式:,r 称为“相当应力”.,显然有:,43,:四个强度理论的一般使用原则:,在单向、双向及一般的三向应力状态下,铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料,通常以断裂的形式破坏,故宜采用第一和第二强度理论.而碳钢、铝、铜等塑性材料,通常以屈服的形式破坏,宜采用第三和第四强度理论.,但是,无论是脆性材料还是塑性材料,在三向拉应力相近的应力状态中,都将以断裂的形式破坏,故宜采用第一强度理论.在三向压应力相近的应力状态中,都将以屈服滑移的形式破坏,故宜采用第三或第四强度理论.,等截面圆轴弯扭组合下第三强度理论判据:,等截面圆轴弯扭组合下第四强度理论判据:,单向拉压与纯剪切组合下第三强度理论判据:,单向拉压与纯剪切组合下第四强度理论判据:,44,冲击应力(动载荷),在冲击过程中机械能 转化为弹性结构的变形能,重要参数:,动荷因数:,如图示,无静力作功的一项,45,
