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1、主要内容 第一节动态测试基本概念动态测试动态测试数据分类第二节随机过程及其特征量随机过程基本概念随机过程的特征量第三节随机过程特征量的实际估计平稳随机过程及其特征量各态历经随机过程及其特征量 非平稳过程的随机函数,第七章 动态测试数据处理基本方法,按被测物理量是否随时间变化而变化 前面几章介绍了静态测量一个物理量时所得测量结果的分析及其数据处理方法。动态测试数据中，包含大量有关被测物理量及所用测量器具以及外界环境加入的干扰等方面的信息，正确分析和处理动态测试数据，就能得到很多反映客观事物规律的有用信息。,一、测试技术,被测量静止不变，仪器的输入量为常量,测量误差基本相互独立,被测量随时间或空间
2、的变化而变化，仪器的输入量及测试结果（数据或信号）也随时间变化而变化,测量系统处于动态情况下,测量误差具有相关性,动态测量误差的特点,时空性；随机性；相关性；动态性,表示物理现象或过程的任何数据，都可以分为,二、动态测试数据的分类,能用明确的数学关系式描述，可以准确确定任意瞬时值,不能用明确的数学关系式描述，可以检测出这些数据，也可以得到随时间变化的记录数据，但不能预测未来任何瞬时的精确值，只能用概率统计的特征量来描述,用数据幅值随时间变化的表达式、图形或数据表来表示动态测试数据的特征，横坐标为时间t,反映频率结构（成分、构成），进行频谱分析，研究其频率成分及各频率成分的强度，横坐标为频率f或
3、,确定性数据又可以分为,随时间有规律地重复出现，可展开成傅里叶级数,随时间不能有规律地重复出现，不可展开成傅里叶级数，通过傅里叶变换分析频率结构,单一频率成分，频谱为单一离散谱线,由不同频率的正弦周期数据叠加而成，频率比为有理数，图形为由基波的整数倍波形叠加而成，离散频谱,由不同频率的正弦周期数据叠加而成，频率比不全为有理数，离散频谱,其他数据，不能用离散频谱表示，通过傅里叶变换，其频谱（幅值谱、相位谱）为连续频谱，频率范围为无限,确定性数据：能够用明确的数学关系式表达,周期数据,正弦周期数据,复杂周期数据,非周期数据,准周期数据,0,（不全为有理数）,瞬态数据,0,随机性数据又可以分为,统计
4、特征量不随时间变化,统计特征量随时间变化,凡是不能预测的噪声就统称为随机噪声(噪声)。随机信号和噪声统称为随机过程。,动态测试数据的分类,确定性数据,动态测试数据,随机过程数据,周期数据,非周期数据,非平稳过程,平稳过程,正弦周期,复杂周期,准周期,各态历经,瞬态数据,非各态历经,三、几个基本概念,1.随机变量,2.随机函数,重复测量一个不变的物理量，因被测量、测量仪器或测量条件的随机因素，造成所测得的一系列测量结果包含随机误差（偶然误差），其中每次测量结果都是取得一个随机的，但是唯一的测量值，因而对应于某个具体瞬时的测量结果是一个随机变量。,由于被测对象、测量仪器和测量条件中的随机误差，因而
5、被测过程和一段时间的测量结果都是一个随机但是连续变化的函数，称为随机函数。,被测量,随机因素,随机函数：若对于自变量的每一个给定值，该 函数都是一个随机变量。,设有n台性能完全相同的通信机，工作条件也都相同。用n部记录仪同时记录各部通信机的输出噪声波形。测试结果为：即使n足够的大，找不到两个完全相同的波形。通信机输出的噪声随时间的变化是不可预知的，是一个随机过程。这里的一次记录(图中的一个波形)就是一个实现，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。在任一时刻上观察到的值是不确定的，是一个随机变量。存在一个由全部可能实现构成的总体，就是依赖于时间参数t的随机过程
6、。,设随机试验X的可能结果为x(t)，试验的样本空间S为,xi(t)为第i个样本函数(称之为实现)，每次试验之后,x(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此x(t)为随机函数。当t代表时间量时，称此x(t)为随机过程。当t代表空间量时，称x(t)为随机场。,设x(t)表示一个随机过程（随机函数，t表示时间，是某段连续时间内的值），则在任意一个时刻t1上x(t1)是一个随机变量。（瞬时值）,（1）视x(t)为一个样本集合，则其为一组时间函数 xi(t)的集合，（2）将x(t)视为一个样本(或实现)，则其为一个具体的时间函数，如x(t)x3(t)（3）若tt1时，则x(t)意味着一组随机变量的集合
7、。,随机过程或随机函数x(t)包含以下内容：,的意义：,3.随机过程理论,研究随机性表现为一个过程的随机现象的学科，它是研究动态测量过程及其测量结果的理论依据，广泛应用于近代物理学、无线电、自动控制、空间技术等学科中。几何量、机械量测量过去都是以静态测量为主，随着生产过程的自动化，它们的动态测量日益增加。,四、随机过程的特征量,随机变量的特征量,随机过程的特征量,概率分布函数；算术平均值；标准差。均表现为确定的数（为瞬时值）,概率密度函数；均值、方差和均方值；自相关函数；谱密度函数。均表现为一个函数,1.概率密度函数,描述某一时刻随机数据落在给定区间内的概率概率密度函数,说明：反映了在 振幅这
8、个位置单位振幅内的 概率，即概率随振幅的变化率。振幅不同，落在单位振幅内的概率不同。,2.均值、方差和均方值,均值：或称平均值、数学期望方差：或用标准差均方值：研究随机函数谱密度，反映随机函数的强度均方值既反映随机过程的中心趋势，也反映随机过程的分散度。,随机函数的中心趋势,每个现实相对于均值函数变动的分散程度,3.自相关函数,均值和方差表征随机过程在各个孤立时刻的统计特性，它们是非随机的时间函数，它们不能反映随机过程不同时刻之间的关系。因此用相关函数或自相关函数来反映随机过程不同时刻之间的关系。二元非随机函数(因为随机函数在每一个确定时刻（瞬时）的值都是确定的)在区间(t,t+)的自相关函数
9、定义为 与 的乘积的平均值（数学期望）标准自相关函数：,反映随机过程不同时刻之间的相关程度,自相关函数的性质：,（1）0时，自相关函数方差由于方差可以用自相关函数来表示，故随机函数的基本特征量仅为均值与自相关函数。（2）自相关函数是对称的（3）在随机函数上加上一个非随机函数（确定数或t的函数）时，其均值（数学期望）也要加上同样的非随机函数，而其自相关函数不变。（4）在随机函数上乘以非随机因子f(t)时，其均值也应乘上同一因子，而其自相关函数应乘上特别地：当f(t)常数C时，,非随机函数,随机函数,非随机函数,4.谱密度函数反映随机数据的频率分布情况,频谱分析：研究随机过程的频率分布情况，分析其
10、由哪些频率成分组成，不同频率的分量各占多大比重。与确定性数据或函数不同，其振幅和相位也是随机的，不能据此作出确定的频谱图，而均方值 可用来表示随机函数的强度，故随机过程的频谱不用频率f上的振幅来描述，而是用频率f 到(f+f)频率范围内的均方值 来描述。f 具有一定宽度时，在f 范围内的均方值可能是变动的，取f 范围内的平均均方值，即单位频率范围的平均均方值 来描述频率f 到(f+f)范围内随机过程强度。,当随机过程长度趋于+，f 趋于零时，写成积分形式有因此 描述了随机过程的强度沿f轴的分布密度，称其为随机过程的频谱密度或谱密度，亦称功率谱密度或功率谱。,说明：,（1）反映了随机过程强度在各
11、个频率变化的快慢。（2）（3）（4）的特性,0,是非负实偶函数,傅立叶变换,谱密度的性质：,（1）为非负的实偶函数，无论f为正或负，均为正实数，即非负的实偶函数，故其极限也是非负的实偶函数。（2）谱密度函数（频域分析）与自相关函数（时域分析）互为傅里叶变换。维纳辛钦公式由傅里叶变换的奇偶虚实性，自相关函数为偶函数，故上式只有实数值部分。详见教材P172表7-1。,白噪声：,白噪声为由各种频率的噪声合成的随机噪声过程。,五、随机过程特征量和实际估计,由于随机误差的存在及测量测试有限，因而对一随机过程作一系列动态测试后，不可能求得随机过程特征量的真值，只能通过有限个样本作出估计。,随机过程,平稳随
12、机过程：工程实际中大多是该类随机过程，采用总体平均法（几何平均法）求特征量的估计。,各态历经随机过程：采用时间平均法求特征量的估计值。,1.平稳随机过程及其特征量：,平稳随机过程：在工作过程任一段时间测量，所得特征量基本保持不变，即其特征量不随时间t的推移而变化的随机过程。,所有特征量与t无关,0,0,0,随机过程是平稳的三个条件：,（1）（常数），可通过中心化随机函数将均值不为常数的随机过程变换为满足均值为常数的条件，故为非本质条件。（2）注意：均值为常数，但过程分散度随时间推移而明显变化时，亦不属于平稳的过程。（3）自相关函数不随t的位置推移而变化，即与t无关，只依赖于自变量t与(t+)之
13、差，仅为一个变量的函数。方差可由自相关函数表示，因此条件2是条件3的特殊情况。,0,宽平稳随机函数（广义平稳随机函数）：,当不考虑随机函数的概率密度等其他特征量，仅满足均值为常数和自相关函数仅与有关这两个条件时，这样的随机函数称为宽平稳随机函数或广义平稳随机函数。在工程实际中，很多随机过程都满足平稳的条件，或者可以近似看作是平稳的。如照明电网的电压波动、电阻热电噪声、机床的振动、切削加工表面的表面粗糙度等都是平稳的。,平稳随机过程的特征量：,（1）均值和方差：（2）自相关函数：平稳随机过程的均值为常数，故可用中心化的自相关函数表示式为标准化自相关函数：,结论1：可根据某一时刻的样本值计算该随机
14、过程 的均值、方差。,结论2：可由任意间隔为 的两时刻样本值估计自 相关值。,平稳随机过程自相关函数的主要性质：,（1）0时，取得最大值，且等于其方差（2）平稳随机过程的自相关函数为偶函数因此，仅研究平稳随机过程0的 即可。（3）当均值为零 时，若则其相关函数趋于零（4）x(t)若含有周期成分此时其自相关函数中也含有周期成分，且其周期与过程周期相同，即,由性质3、4知，当,性质：,，最大，（？）只需计算出 的，不必研究 的情况 对，当 时，若 有周期T，则 也有周期T（？）,用来判别平稳随机过程是否含有周期信号,平稳随机过程特征量的实验估计：(总体平均法）,未知随机数据的函数形式时，应先由实验
15、测得随机函数样本集合，再由实验结果求特征量。对N个连续记录（记录长度为T）进行采样，获得数字样本。取等间距的时间间隔t1,t2,tn,得函数值如教材P177表7-2所示，据采样定理确定采样数目n，tk-tk-1=T/n,然后用代数和形式估计特征量（已经数字化，不必用定积分形式），教材P177式7-547-57。t为离散值，这样，就可以从实验结果有限个现实的总体中，按照不同时刻tk求出随机数据各特征量的估计值，这种估计特征量的方法称为总体平均法或称几何平均法。,对平稳过程，为求特征量，需作大量的实验，获得很多个随机过程的现实，然后在各t时刻上求特征量估计值。问题：能否从一个现实求出特征量？许多实
16、际平稳随机过程可以是可以通过一个现实求出特征量的，将这一类平稳随机过程称为各态历经随机过程。,2.各态历经随机过程及其特征量,平稳随机过程在满足一定条件下有一个非常有用的特性，称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。,“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,各态历经随机过程：一
17、个现实代表所有样本集合的特性,0,0,注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,平稳随机过程是否各态历经的判别（检验）：,（1）根据物理知识和实际经验判断；（2）从过程的相关函数观察。具有各态历经性的平稳随机过程的充分条件是：其相关函数当增加时趋于零，即而非各态历经的平稳随机过程的相关函数当增加时趋于某一常数。,各态历经随机过程的特征量计算：时间平均法,任取一个现实x(t)，在0,T区间内计算，有这种对随机过程x(t)的一个样本，在它的整个时间轴上求平均的估计方法称为时间平均法。因而，对各
18、态历经随机过程，是用时间平均代替总体平均来估计其特征量。实际中，常用代数和代替积分式来计算：,P181例7-7,3.非平稳过程的随机函数,实际应用中，常常遇到一些非平稳过程，它们可以比较简单地用平稳随机函数加上某一定的非随机的规律性函数表示，这种随机函数称为可化为平稳过程的随机函数，用函数式表示为：其中：y(t)为非平稳随机函数；x(t)为平稳随机函数；f(t)和g(t)为非随机实函数。随机函数y(t)的均值、方差和自相关函数为：,平稳化,化非平稳过程为平稳过程的方法：,对于一组随机样本的集合，化为平稳过程，寻找g(t)的办法有：（1）作图并凭经验估计把一个现实或几个现实重迭画在一个图上，选取适当的坐标比例，使得曲线图不过密或过疏。然后凭经验画出这些现实的中线，即为g(t)函数曲线。（2）沿t坐标选取若干点ti，计算各现实的均值my(ti)列表，用最小二乘法或其他解析方法拟合该曲线，取得g(t)函数式。本方法适合于g(t)的变化周期长于记录长度T的情况。（3）用低通滤波器滤去高频随机噪声，即得规律性函数g(t)波形。本方法适合于g(t)的变化周期短于记录长度T的情况。实际测量中，为了从动态测量结果中分离随机干扰、短周期被测误差和长周期被测误差，常采用此方法，从高通滤波器中可获得随机测量误差信号。,获得的方法,作图估计最小二乘拟合低通滤波,P183例7-8,
