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1、第9章 动态电路的时域分析,9.1 换路定律与初始值 9.2 一阶电路的响应 9.3 一阶电路的三要素法 9.4 一阶电路的阶跃函数与阶跃响应 9.5 二阶动态电路的分析 习题9,9.1 换路定律与初始值,引起过渡过程的电路变化叫换路。为了表示简化起见，通常认为换路是在瞬间完成的，若把换路瞬间作为计时起点，即t0，那么换路前的终了时刻记为t=0-，换路后的初始时刻记为t=0+，换路经历的时间为00。,9.1.1 换路定律 1.具有电容元件的电路 对于线性电容元件，在任意时刻t，设q、uC和iC分别为电容上的电荷、电压和电流，且电流由电容的正极板指向负极板，电压与电流是关联方向。由 得,（9-1
2、）,由 得,（9-2）,令t0=0-，t=0+，代入式（9-1）和式（9-2）得,（9-3）（9-4）,如果在换路瞬间，即0到0瞬间，电流iC(t)为有限值，则式（9-3）和式（9-4）中积分项，此时电容上的电荷和电压不发生跃变，即,q(0+)=q(0-)（9-5）uC(0+)=uC(0-)（9-6）,由此得出结论：在换路后的一瞬间，如果流入电容的电流保持为有限值，则电容上的电荷和电压应当保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变。这就是具有电容元件的换路定律。对于一个换路前不带电荷（或电压）的电容来说，在换路的一瞬间，uC(0+)=uC(0-)=0，电容相当于短路；而对于一个换路前携带电荷（或电压）
3、的电容来说，在换路的一瞬间，uC(0+)=uC(0-)=U0，电容的电压不变,相当于电压源。,2.具有电感元件的电路 对于线性电感元件，在任意时刻t，设、uL和iL分别为电感上的磁链、电压和电流,且电压和电流与磁链的参考方向满足右手螺旋定则。由 得,（9-7）,即,由 得,（9-8）,同样令t0=0-，t=0+，代入式（9-7）和式（9-8）得,（9-9）,（9-10）,如果在换路瞬间，即00的瞬间，电压uL为有限值，则式（9-9）和式（9-10）中积分项，此时电感上磁链和电流不发生跃变，即,(0+)=(0-)（9-11）iL(0+)=iL(0-)（9-12）,由此得出结论：在换路后的一瞬间，
4、如果电感两端的电压保持为有限值，则电感中的磁链和电流应当保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变。这就是具有电感元件的换路定律。,9.1.2 初始值的计算 分析动态电路的过渡过程的方法之一是根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述电路的方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解，从而得到电路的所求变量（电压或电流）。此方法称为经典法，它是一种在时间域中进行的分析方法。用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。若在t=0时换路，则初始值就是指电路中的所求变量（电压或电流）在t=0+时刻的值。,1.初始值的计算步骤（1）根据KCL、KVL和VCR等电路定理及元
5、件约束关系计算换路前一瞬间的uC(0-)和iL(0-)。（2）应用换路定律计算独立的初始值uC(0+)和iL(0+)。（3）再根据KCL、KVL和VCR等电路定理及元件约束关系计算换路后一瞬间的非独立初始值。,2.应用举例 例9.1 如图9.1（a）所示的电路处于稳态，当t0时，开关S断开，求开关断开后的初始值i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)及uL(0+)。,图 9.1 例9.1图,例9.2 如图9.2所示的电路，已知Us10 V，R16，R24，L2 mH，求当开关S闭合后,t=0+时各支路电流及电感电压的初始值（开关S闭合前电路处于稳态）。,图9.2 例9.2图,例9.3 试计算图
6、9.3（a）所示电路中各支路电流及动态元件电压的初始值，设换路前电路处于稳态。,图 9.3 例9.3图,【思考与练习题】1.总结一下，电感和电容在直流稳态、交流稳态及动态电路中的工作状态。2.什么叫独立初始值，什么叫非独立初始值，为什么说电容上端电压和电感上的电流是独立初始值。3.在图9.4所示电路中，试求开关S断开后的uC(0+)、iC(0+)及uL(0+)和iL(0+)（已知S断开前电路处于稳态）。,图 9.4 题3图,4.在图9.5所示电路中，已知电感线圈的内阻 R2，电压表的内阻为2.5 k，电源电压Us4 V，其串联电阻R018。试求开关S断开瞬间电压表两端的电压（换路前电路处于稳态
7、）,并说明，这样做电压表是否安全？要想安全断电，应怎样处理。,图9.5 题4图,9.2 一阶电路的响应,若一个电路中的独立电源不作用（电压源短路，电流源开路），而最终可以化简成为一个RC回路或RL回路，对于这样的电路，电压和电流的关系满足一阶微分方程，我们把这样的电路叫一阶动态电路，简称一阶电路。对于一阶电路，回路上的响应又可分为零输入响应、零状态响应和全响应。这些响应都遵循固定的规律，这一节我们将一一介绍。,9.2.1 一阶电路的零输入响应 在换路后，若电源对动态元件所在回路输入为零，则动态元件所在回路的响应叫零输入响应。1.RC串联电路的零输入响应 如图9.6所示的电路在换路前处于稳态，在
8、t0时，开关S由1点置于2点,这时电容C储存电场能量，电阻R与电容C构成串联电路。电阻R吸收电能，即电容C通过电阻R放电，回路中的响应属于零输入响应。,图9.6 RC零输入响应,换路后，根据KVL可得 uC-Ri=0 而i=-C duC/dt代入上述方程得,这是一个一阶常系数齐次微分方程。令此方程的通解为uC=Aept，代入上式得(RCp+1)Aept=0 相应的特征方程为 RCp+1=0 其特征方程的根为,代入uC=Aept得,由如图9.6所示的电路可得uC(0-)=U0，由于电容上电压不能跃变，电压uC的初始值uC(0+)=uC(0-)=U0,代入uC=Ae-(1/RC)t中得,即,这样，
9、求得满足初始值的微分方程的解为,（9-13）,这就是电容在零输入电路中的电压表达式。电路中的电流,即,电阻上的电压,由uC、uR和i的表达式可以看出，它们都按照同样的指数规律衰减,其衰减的快慢取决于指数中的1/RC的大小。若电阻R的单位为，电容C的单位为F，则RC的单位为s。而式RC只与电路结构和电路参数有关，一旦电路确定下来，RC就为一个常数。令=RC，称为RC串联电路的时间常数。,引入后，电容电压uC和电流i可以分别表示为,时间常数反映了一阶电路过渡过程的进展速度，因此，它是一阶电路的一个非常重要的参数。当t0时，uC=U0e0=U0;当t=时，uC=U0e-1=0.368U0。表9-1列
10、出了t取不同值时，电容电压uC的值。,表9-1 电容电压与时间关系表,在理论上，需要经过无限长的时间，电容的电压uC才衰减到零，电容放电结束。但从表9-1可以看出，当t=3或t=5时，电容的电压已经衰减到原来电压的5%或0.7%,因此在工程上一般认为换路后，经过35的时间就可以认为过渡过程基本结束了。图9.7给出了uC和i随时间变化的曲线。,图 9.7 uC和i随时间变化的衰减曲线,图9.8 的几何意义,时间常数也可以从uC或i的衰减曲线上用几何法求得。如图9.8所示,A为曲线上任意一点，AC为过A点的切线。由图可知,对于时间常数=RC，理论计算时可以扩展。其中电容C可扩展到多个电容串、并联的
11、等效电容。电阻R可以看成是电路中所有电源都不作用，从电容C两端等效的等效电阻。,例9.4 试求图9.9所示电路的时间常数。已知C1=C2=C3=300 F，R1400，R2600，R3260。,图 9.9 例9.4图,解 换路后等效电路,若电路中电源不作用，图9.9（a）可等效成图9.9（b），从C两端等效的等效电阻,时间常数=RC=50020010-6=0.1 s,在RC串联零输入整个过渡过程中，电容储存的电场能量将全部被电阻消耗，直到电容的端电压为零。这时电容的储能为零，电路上电流为零，电阻不再耗能，电路进入新的稳定状态，即,图9.10 例9.5图,例9.5 图9.10所示电路中，U010
12、 V，C10 F，R110 k，R2R320 k，在t0时,开关S闭合。试求（1）放电时的最大电流；（2）时间常数；（3）uC(t)。,解（1）根据换路定律得 uC(0+)=uC(0-)=U0=10 V 当t=0+时,电容端电压最大，故放电电流也最大，从电容两端等效的等效电阻,(2）=RC=201031010-6=0.2 s（3）,2.RL串联电路的零输入响应 如图9.11所示电路，开关S闭合时电路处于稳态，电感上的电流iL(0-)=U0/R0，设I0=iL(0-)。在t0时，开关S打开，电阻R与电感L组成串联回路，且电源输入为零，因此，电路的响应属于RL串联电路的零输入响应。当t0时，uR+
13、uL=0 将uR=-RiL，uL=-L diL/dt，代入上式得,图9.11 RL零输入响应,这是一个一阶常系数齐次微分方程。令iL=Aept，代入上式得特征方程 LpAept+RAept=0即 Lp+R=0 其特征根为p=-R/L，将其代入iL=Aept中得,根据iL(0+)=iL(0-)=I0，代入上式得,故,（9-14）,由此得电阻电压,电感电压,与RC电路类似，令=L/R，若电感L的单位为H，电阻R的单位为，则的单位为s。它是一个只与电路结构和电路参数有关的物理量，因此，我们把叫做RL串联电路的时间常数。代入上述各式得,有关RL串联电路的物理意义与RC串联电路的完全相同，这里不再赘述。
14、图9.12给出了iL、uR和uL随时间变化的曲线。,图9.12 RL电路的零输入响应曲线,9.2.2 一阶电路的零状态响应 动态元件初始储能为零，叫零初始状态。电路在零初始状态下，由外加激励引起的响应叫零状态响应。1.RC串联电路的零状态响应 如图9.13所示的电路中，在t0时，uC(0-)=0，即电容C处于零初始状态;在t=0时，开关S闭合，这时回路的响应属于零状态响应。电容电压uC由无到有，属于充电过程。,图9.13 RC电路的零状态响应,根据KVL有 uR+uC=Us 而uR=Ri，i=C duC/dt代入上式得,对图9.13所示的电路来说，当电路的过渡过程结束时，电容上的电压为Us，此
15、为非齐次方程的特解，即 uC=Us 而非齐次方程对应的齐次方程，其通解为,其中,=RC。这样，方程的全解为,电路的初始条件是换路前uC(0-)=0。根据换路定律，电容电压的初始值为 uC(0+)=uC(0-)=0 将其代入全解中得,即 Us+A=0 A=-Us将A=-Us代入全解中得,（9-15）,图9.14 RC零状态响应的组成,图9.15 i,uR随时间变化的曲线,电路中的电流,电阻上的电压,电流i、电阻上的电压uR随时间变化的曲线如图9.15所示。由图中曲线可以看出，i和uR按指数规律衰减，其衰减的快慢仍取决于时间常数。表9-2给出了在不同时刻，RC串联电路的零状态响应。,表9-2 RC
16、串联电路的零状态响应,由表9-2可以看出，当t时，uC=Us，uR=0，i=0,电路进入稳定状态。但在工程上仍认为，当t=3或t=5时，电路的过渡过程结束。RC电路接通直流电压源的过程也就是电源通过电阻对电容充电的过程。在充电过程中，电源供给的能量一部分转换成电场能量储存于电容中，一部分被电阻转变为热能消耗，电阻消耗的电能为,例9.6 在图9.16（a）所示的电路中，U9 V，R16 k，R23 k，C1000 pF，uC(0-)=0。试求t0时的电压uC。,图 9.16 例9.6图,解 应用戴维南定理，可将换路后的电路化简为图9.16（b）。其等效电阻,等效电源电压,2.RL串联电路的零状态
17、响应 如图9.17所示的电路中，在开关S打开时，电感上的电流iL=0，因此电感处于零状态，开关S闭合后,回路上的响应属于零状态响应。换路后，根据KVL得 uR+uL=Us 而uR=RiL，uL=L diL/dt，代入上式得,则它的通解可写为,图9.17,根据初始条件iL(0+)=iL(0-)=0，代入上式得,故,（9-16）,电路中各段电压分别为,RL零状态响应随时间变化的曲线如图9.18所示。,图9.18 RL零状态响应曲线,9.2.3 一阶电路的全响应 当一个非零初始状态的电路受到外接激励时，电路的响应为全响应。对于线性电路，全响应是零输入响应与零状态响应的和。如图9.19所示的电路中，已
18、知uC(0-)=U0，在t0 时，开关S闭合，这个电路的响应属于全响应。根据KVL，得 uR+uL=Us,图9.19 RC串联的全响应,而uR=Ri，i=C duC/dt代入上式得,令,其中,uC 是方程的特解。由图9.19可知uC=Us；uC是原方程对应的齐次方程的通解。令,则,代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0,得,故,（9-17）,由此可以看出 全响应强制分量自由分量零输入响应零状态响应 全响应的其他各量分别为,全响应的电流i可以看成是强制分量（此电路为零）和自由分量的叠加,或看成是零输入响应和零状态响应的叠加。,uR也可以按上述方法叠加。也就是说，一阶电路的全响应都可以分解为
19、强制分量和自由分量,或分解为零输入响应和零状态响应的叠加。uR、uC和i随时间变化的曲线如图9.20所示。,图 9.20 RC串联的全响应(a)UsU0电容充电；(b)UsU0电容放电；(c)Us=U0电容稳态,例9.7 如图9.21（a）所示的电路中，已知 Us20 V，R1R21 k，C2 F。当开关S打开时电路处于稳态，在t0时，开关S闭合。试求开关S闭合后，uC和iC的表达式，并画出其曲线图。,图 9.21 例9.7图,图 9.22 例9.7的uC,iC曲线,【思考与练习题】1.已知图9.23所示的电路在换路前处于稳态，试判断换路后各电路的响应属于零输入响应、零状态响应还是全响应？,图
20、 9.23 题1图,2.试写出上述四个电路的电容C上的电压表达式。3.若图9.23各图中的电容C分别用电感L代替，试重新判断各电路在换路后的响应类型，并写出电感上的电流表达式。,9.3 一阶电路的三要素法,通过上一节的学习，可以看出，若电路中只有一个存储元件，这时根据KVL列出的方程为一阶微分方程。我们把这样的电路叫做一阶电路。分析一阶电路的过渡过程，就是求微分方程的特解（稳态分量）和对应齐次微分方程的通解（暂态分量）的过程。稳态分量是电路在换路后达到新的稳态时的解；暂态分量的形式通常为Ae-t/，常数A由电路的初始条件来确定，时间常数由电路的结构和参数来计算。,图9.24 RC串联电路,一阶
21、电路的过渡过程通常是电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且是按照指数规律逐渐趋向新的稳态值。指数曲线弯曲程度与反映趋向新稳态值的速率与时间常数密切相关。这样，我们找出一种方法，只要知道换路后的稳态值、初始值和时间常数这三个要素就能直接写出一阶电路过渡过程的解，这就是一阶电路的三要素法。,我们还是以RC串联电路为例，如图9.24所示，设uC(0-)=U0，开关S在t0时闭合。由上一节推导知,上式中的Us为电路在换路后进入稳态时的电容电压，记为uC()。U0为电路在换路前电容两端的电压，根据uC(0+)=uC(0-)=U0，可记为uC(0+)，即为电容电压的初始值。这样，电容电压就可以表示为,也就
22、是说，电容电压是由初始值、新稳态值和时间常数决定的。,同理，可以推导出一阶电路的响应，它们的形式和电容电压的表示形式完全相同。若用f(t)表示电路的响应，f(0+)表示该量的初始值，f()表示该量的新稳态值，表示电路的时间常数，则三要素表示法的通式为,当f()=0时，上式f(t)=f(0+)e-t/，此为零输入响应。当f(0+)=0时，上式f(t)=f()-f()e-t/,此为零状态响应。,例9.8 在图9.25所示的电路中，Us10 V，Is2 A，R2，L4 H。试求S闭合后电路中的电流iL。,图9.25 例9.8图,例9.9 如图9.26所示的电路中，当t0时，开关S置于位置1；当t=2
23、 ms时，开关S又置于位置2。求两个时间区间内的电流i(t)，并画出i(t)的曲线。,图9.26 例9.9图,图9.27 例9.9的i(t)曲线,例9.10 如图9.28（a）所示的电路中，t0时开关S闭合，已知uC(0+)=-2 V，Is=1 A，R1=1，R2=2，C=F，求电容电压uC。,图 9.28 例9.10图,例9.11 如图9.29（a）所示的电路为RL电路在正弦激励下的零状态响应情况，t0时开关S闭合，正弦电压源满足us=Um sin(t+u)，u的取值由t0时电源电压的值决定，称为接入初相。求电路中的电流i。,图 9.29 例9.11图,【思考与练习题】1.试用三要素法写出图
24、9.30所示电压曲线的表达式uC。,图 9.30 题1图,2.已知全响应。试在同一坐标平面下分别作出其稳态分量、暂态分量、零输入响应、零状态响应和全响应曲线。,9.4 一阶电路的阶跃函数与阶跃响应,9.4.1 单位阶跃函数 单位阶跃函数是一种奇异函数(见图9.31),其数学表达式为,它在（0-,0+）时域内发生了单位阶跃。,图9.31 单位阶跃函数,单位阶跃函数可以用来描述1 V或1 A的直流电源在t=0时接入电路的情况，如图9.32所示。对于图9.32(a)来说，若开关S在t=0时闭合到“2”，则一端口电路N的端口电压可写为 u(t)=(t)对于图9.32(b)来说，若开关S在t=0时闭合到
25、“2”，则一端口电路N的端口电流可写为 i(t)=(t),图 9.32 单位阶跃电压与电流,如果在t=0时接入电路的直流电源幅值为A，则电路受到的激励可表示为A(t)，其波形如图9.33(a)所示，称为阶跃函数。如果单位直流电源接入的瞬间为t0，则可写为,称其为适时阶跃函数，其波形如图9.33(b)所示。,图 9.33 阶跃函数和适时阶跃函数,利用阶跃函数和适时阶跃函数可以方便地表示某些信号。图9.34(a)的矩形脉冲信号可看作是图9.34(b)和图9.34(c)所示的两个阶跃信号之和，即 f(t)=(t)-(t-t0)图9.35(a)的矩形信号可看作是图9.35(b)、(c)和(d)所示的三
26、个阶跃信号之和，即 f(t)=(t)-2(t-1)+(t-2),图9.34 矩形脉冲信号,利用单位阶跃函数还可“起始”任意一个f(t)。设f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数，如图9.36(a)所示，若想使其在t0时为零，则可乘以(t),写为f(t)(t)，波形如图9.36(b)所示。若要使其在tt0时为零，则可乘以(t-t0)，写为f(t)(t-t0)，波形如图9.36(c)所示。,图 9.35 矩形信号,图 9.36 单位阶跃函数对任意信号f(t)的起始作用,9.4.2 阶跃响应 当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用s(t)表示。由于单位阶跃
27、函数作用于电路时，相当于单位直流电源接入电路，因此求阶跃响应就是求单位直流电源（1 A或1 V）接入电路时的零状态响应，即有(t)s(t)根据线性电路的性质，若激励扩大a倍，则响应也要扩大a倍，即有 a(t)as(t),若电路激励延时了t0时间接入，那么，其零状态响应也延时t0时间，即有(t-t0)s(t-t0),图9.37 例9.12图,例9.12 如图9.37所示的电路中，开关S置在位置1时，电路已达到稳定状态。t=0时，开关由位置1置于位置2，在t=RC时，又由位置2置于位置1。求t0时的电容电压uC(t)。解 此题可用两种方法求解。方法一：将电路的工作过程分段求解。在0t区间为RC电路
28、的零状态响应，则有 uC(0+)=uC(0-)=0,其中，=RC。,在t区间为RC电路的零输入响应，则有,方法二：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应。根据开关的动作，电路的激励us(t)可以用图9.38(a)所示的矩形脉冲表示，按图9.38(b)可写为 us(t)=Us(t)-Us(t-)RC电路的单位阶跃响应为,故,当0t时，(t)=1,(t-)=0,代入上式得,当t时，(t)=1,(t-)=1,代入得,图 9.38 矩形脉冲信号,图 9.39 题3图,【思考与练习题】1.什么是单位阶跃函数、阶跃函数和延时阶跃函数？2.若线性电路施加单位阶跃函数(t)的激励时，其响应为s(t),那么，若在同一个
29、电路t0时刻施加激励A时，其响应是多少？3.如图9.39(a)所示，其激励is的波形如图9.39(b)所示。求t0时的电感电流iL。,9.5 二阶动态电路的分析,当电路包含两个独立的动态元件时，描述电路的方程是二阶线性常系数微分方程。这时，给定的初始条件有两个，它们都是由储能元件的初始值决定的。这一节我们将着重讨论典型的二阶电路RLC串联电路的零输入响应。,图9.40 RLC放电电路,如图9.40所示，已知电容上原有电压为U0，电感上原有电流为I0，在t=0时，开关S由1置于2点，此电路的放电过程就是二阶电路的零输入响应。根据KVL可得-uC+uR+uL=0 由于，故,（9-19）,把它们代入
30、上式得,（9-19）,式（9-19）是以uC为未知量的RLC串联电路放电过程的微分方程。这是一个线性常系数二阶齐次微分方程。求解这类方程时，仍然先设uC=Aept，然后再确定其中的p和A。,将uC=Aept代入式（9-19），得特征方程 LCp2+RCp+1=0解出特征根为,根号前有两个符号，所以p有两个值。为了兼顾这两个值，电压uC可写成,（9-20）,其中,由上式可见，特征根p1、p2仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始值无关。,由于uC(0+)=uC(0-)=U0,代入式（9-20）得 A1+A2=U0 又由于，i(0+)=i(0-)=I0，因此有,代入式（9-20）得,与上式联立解得
31、A1、A2。若U00,I0=0，即已充电电容C通过R、L放电情况。这时，可解得,将A1、A2代入式（9-20），就可求得RLC串联电路的零输入响应的表达式。,1.,非振荡放电过程 当(R/2L)2-1/LC0，即 时，特征根p1、p2是两个不等的负实数，电容上的电压为,（9-21）,电流为,因为p1p2=1/LC，代入上式得,电感电压为,（9-22）,（9-23）,图9.41给出了uC,uL,i随时间t变化的曲线。从图中可以看出，uC0,i0,表明电容在整个过程中一直释放储存的电能。我们把电容的这种放电过程称为非振荡放电，也称为过阻尼放电。电流i从零增大，达到最大值时再减小，最后，当t时，i0
32、。由图可以看出，当ttm时，电感释放能量，磁场逐渐衰减，直到为零。其中，电流达到最大值的时刻tm可由di/dt=0决定。,图9.41 非振荡放电过程中uC,uL,i的曲线,tm点正是电感电压过零点。,例9.13 如图9.42所示的电路中，已知Us=10 V，C=1 F,R=4 k,L=1 H，开关S原来闭合在触点1处，在t=0时，开关S由触点1接至触点2处。求（1）uC,uR,i和uL；（2）imax。,图9.42 例9.13图,2.，振荡放电过程 当(R/2L)2-1/LC0，即 时，特征根p1、p2是一对共轭复数。若令,则,于是有,p1=-+j,p2=-j,令，即,则,=0 cos,=0
33、sin p1=-0e-j,p2=-0ej,这样,根据式（9-22）得电路电流,根据式（9-23）得电感电压,图9.43 欠阻尼振荡中uC,i,uL的波形图,在理想情况下，如果电路中没有电阻，即R=0，则衰减常数及振荡角频率分别为,例9.14 在由L=40 H,C=250 pF,R=6 三个元件组成的串联回路中，试求其振荡放电时的振荡角频率和衰减系数。,3.，临界情况 当(R/2L)2-1/LC=0，即 时，特征根p1=p2=-R/2L=-。在此情况下电容电压的通解为 uC(t)=(A1+A2t)e-t 电流为,将初始条件uC(0+)=U0,i(0+)=0,代入得 A1=U0 A2=A1=U0于
34、是得 uC(t)=U0(1+t)e-t,由以上两式可以看出，uC的变化是从U0开始保持正值，逐渐衰减到零；I是从零开始保持正值，最后为零。由di/dt=0可以求得I达到极值的时间,例9.15 在图9.40所示的电路中，已知R=2 k，L=0.5 H,C=0.5 F,uC(0-)=2 V,iL(0-)=0。求uC,i的零输入响应。,【思考与练习题】1.二阶动态电路有什么特点？2.什么是非振荡放电、振荡放电、临界放电状态？3.振荡衰减系数如何计算？振荡放电的快慢与衰减系数有何关系？,习 题 9,9.1 电路如图9.44所示，在t0时，开关S位于“1”，已处于稳态，当t=0时，开关S由“1”闭合到“
35、2”，求初始值iL(0+),uL(0+)。,图 9.44 题9.1图,9.2 图9.45所示电路原处于稳态，t=0时，开关S断开，求iC(0+),uC(0+)。9.3 图9.46所示电路在t0时处于稳态，当t=0时，开关S闭合。求iC(0+),uC(0+)及iL(0+),uL(0+)的值。,图 9.45 题9.2图,图9.46 题9.3图,9.4 如图9.47所示，已知Us=100 V,R1=10,R2=20,R3=20,S闭合前电路处于稳态，当t=0时，开关S闭合。求i2(0+),i3(0+)。9.5 如图9.48所示，开关S原是断开的，电路处于稳态，当t=0时，开关S闭合。求初始值uC(0
36、+),iL(0+),iC(0+),iR(0+)。,图 9.47 题9.4图,图9.48 题9.5图,图 9.49 题9.6图,9.6 求如图9.49所示的电路在换路后的时间常数。9.7 一个高压电容器原先已充电，其电压为10 kV，从电路中断开后，经过15 min它的电压降为3.2 kV，问（1）再过15 min电压降为多少？（2）如果电容C=15 F，那么它的绝缘电阻是多少？（3）需经多少时间，可使电压降至30 V以下？（4）如果以一根电阻为0.2 的导线将电容接地放电，最大放电电流是多少？若认为在5时间内放电完毕，那么放电的平均功率是多少？,9.8 一个具有磁场储能的电感经电阻释放储能，已
37、知经过0.6 s后储能减少为原先的一半，又经过1.2 s后，电流为25 mA。试求电感电流i(t)。9.9 图9.50所示电路为一标准高压电容器的电路模型，电容C=2 F，漏电阻R=10 M。FU为快速熔断器，us=2.3 sin(314t+90)kV，t=0时熔断器烧断。假设安全电压为50 V，问从熔断器断开之时起，经历多少时间后，人手触及电容器两端才是安全的。,图 9.50 题9.9图,9.10 如图9.51所示，开关S位于“1”时，电路处于稳态，当t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，求iL(t),uL(t)。9.11 如图9.52所示，当t=0时，开关S闭合。闭合前电路处于稳态，求t0
38、时的uC(t)，并画出其波形。,图 9.51 题9.10图,图9.52 题9.11图,9.12 在日常测试中，常用万用表R1 k挡检查电容量较大的电容器的质量。方法是测量前，先将被测电容器短路使它放电完毕。测量时，若指针摆动后，再返回万用表无穷大刻度处，则说明电容器是好的；若指针摆动后，返回速度较慢，则说明被测电容器的电容量较大。试根据RC串联充电过程的原理解释上述现象。,9.13 在RC串联电路中，已知R=100,C=10 F,接到Us=10 V的直流电源上，接通电源前电容未充过电，试求（1）iC(t),uC(t);（2）开关闭合后经过1.5 ms时，电容上的电压和电流。9.14 如图9.5
39、3所示，电路处于稳定状态。在t=0时，开关S由a投向b。求uC(t),uR(t)，并画曲线。9.15 如图9.54所示，求开关S打开时电容电压的新稳态值。若开关S原为打开，现闭合，求开关S闭合后电容电压的新稳态值。,图 9.53 题9.14图,图9.54 题9.15图,9.16 如图9.55所示，求开关S闭合后电感电流的新稳态值。9.17 如图9.56所示，换路前电路处于稳态，在t=0时，开关S闭合，求i(t),iL(t)。9.18 如图9.57所示，已知电容事先没有充电，在t=0时，开关S闭合，求 uC(t),i(t)。9.19 求图9.58所示电路(a)和(b)中电流源两端的电压。,图 9
40、.55 题9.16图,图9.56 题9.17图,图 9.57 题9.18图,图 9.58 题9.19图,9.20 如图9.59所示，在t0时，开关S是断开的，电路已处于稳态。在t=0时，开关S闭合，求t0时的电压uC和电流i的零输入响应和零状态响应，并画出其波形。9.21 电路如图9.60所示，在t0时，开关S位于“1”，电路已处于稳态。在t=0时，开关S闭合到“2”，求电压uC和电流i的零输入响应和零状态响应，并画出其波形。,图 9.59 题9.20图,图9.60 题9.21图,9.22 电路如图9.61所示，在t0时,开关S位于“1”，电路已处于稳态。在t=0时，开关S闭合到“2”，求电流
41、iL和电压u的零输入响应和零状态响应，并画出其波形。9.23 电路如图9.62所示，在t0时,开关S位于“1”，电路已处于稳态。在t=0时，开关S闭合到“2”，求t0时的电流iL和电压u。,图 9.61 题9.22图,图9.62 题9.23图,9.24 电路如图9.63所示，在t0时,开关S位于“1”，电路已处于稳态。在t=0时，开关S闭合到“2”，经过2 s后，开关又由“2”闭合到“3”。（1)求t0时的电压uC,并画出波形。（2）求电压uC恰好等于3 V的时刻t的值。,图 9.63 题9.24图,9.25 如图9.64所示，电路在换路前已处于稳态。当将开关S从位置1置于位置2后，试求iL,i。并作出它们的变化曲线。9.26 如图9.65所示，当具有电阻R=1 及电感L=0.2 H的电磁继电器中的电流i=30 A 时，继电器即动作而将电源切断。设负载电阻和线路电阻分别为RL=20,Rl=1，直流电源电压U=220 V，试问当负载被短路后，需要经过多少时间继电器才能将电源切断？,图 9.64 题9.25图,图9.65 题9.26图,9.27 如图9.66(a)所示的电路，输入电压u如图9.66(b)所示，设uC(0-)=0。试求uab，并画出其波形。,图 9.66 题9.27图,
