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1、第三章 量子力学初步,玻尔理论的困难，迫使新一代物理学家努力寻找更完整、更准确、应用面更为广泛的原子理论。一门描述原子的崭新理论量子力学在1924-1928年诞生了！,本章将简要介绍：一些不同于经典物理的一些新思想、新概念及简单应用。介绍只能“言犹未尽”。,3.1 波粒二象性及实验验证,1。经典物理中的波和粒子,波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式。,在经典物理中，无法同时用波和粒子这两个概念去描述同一现象。,粒子可视为质点，具有完全的定域性，其位置、动量可精确测定。,波具有空间扩展性，其特征量为波长和频率，也可精确测定。,波长测定的一个方法：“拍频法”,已知v1，测定 即可测定v2
2、，但至少观察到一个拍，至少需要时间：,在该段时间波行路程：,要无限精确地测准波长，就必须在无限扩展的空间中进行观察。如果波被禁闭呢？,2.光的波粒二象性,1923年，康普顿散射，再一次体现了光在传播中显示波动性，在能量转移时显示粒子性的二象性特征。,3.德布罗意波粒二象性假设,“整个世纪以来，在辐射理论上，比起关注波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子的图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？”,1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，麦克斯韦，光是一种电磁波 1905年，爱因斯坦，光量子,-
3、光的波粒二象性,法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 1987),德布罗意指出任何物体都伴随以波，不可能将物体的运动和波的传播分拆开来。这种波称德布罗意物质波。德布罗意还给出了动量的为P的粒子所伴随波的波长 与P 的关系式，,另外自由粒子的能量和所伴随的波的频率之间的关系为,。著名的德布罗意关系式。（1924年）,例 在一束电子中，电子的动能为，求此电子的德布罗意波长？,解,此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.,1）关于实验方法和观察条件：,利用波的干涉和衍射等特征,仪器特征线度（障碍物和孔、缝的尺度）,静质量愈小，波长愈大，容易满足条件。,晶
4、体原子间距,4.德布罗意假设的实验验证,1924年de Broglie提出用晶体作光栅观察电子束衍射,2）戴维孙革末实验（1927年）,干涉相长条件,Ni单晶,电子束,检测器,散射强度,电子的物质波经各晶体原子散射后发生干涉,理论值,3）汤姆孙实验（1927年）,多晶金属箔,电子束,衍射图样,与X光多晶衍射图样相同,1961年Jnsson实验观察到电子的多缝干涉,中子、质子、原子和分子的波动性相继被验证,X射线,单电子双缝实验现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝,屏上出现的电子说明电子的粒子性,70000,随电子数目增多,在屏上逐渐形成了衍射图样,说明“一个电子”就具有的波动性,例：m=0.
5、01kg v=300m/s 的子弹,h 太小了使得宏观物体的波长小得难以测量宏观物体只表现出粒子性,波粒二象性是普遍的结论:宏观粒子也具有波动性,m 大 0,或说 h 0,量子物理过渡到经典物理,L.de Broglie(1892-1987),C.Davisson(1881-1958),G.P.Thomson(1892-1975),3.2 不确定度关系,电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出),大部分电子落在中央明纹,x方向上，粒子坐标的不确定度为,又,粒子动量的不确定度为,电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：,考虑更高衍射级次,狭缝对电
6、子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。,如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。,海森堡（Heisenberg）在1927年从理论上得到：,第1个式子说明:粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置 和相应的动量(坐标-动量的不确定度关系）,第2个式子说明:粒子在客观上不能同时在确定的时间具有相应确定的能量（时间-能量的不确定度关系）,1901-1976，量子力学创立者之一，1932年诺贝尔物理学奖,例1 设
7、电子与 的子弹均沿x方向运动，精确度为，求测定x坐标所能达到的最大准确度。,电子：子弹：,例 2 原子的线度约为 10-10 m，求原子中电子速度的不确定量。,原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系,氢原子中电子速率约为 106 m/s。因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。,3.3 波函数及其物理意义,实物粒子的德布罗意波用波函数表示：,1.波函数,2.玻恩（M.Born）统计解释,光子在某处出现的几率和该处光振幅的平方成正比,关于光的干涉极大的解释,波动说：干涉极大的地方，光的强度有极大值，而强度与振幅的平方成正比。,粒子说：光强与来到该处的光子数成
8、正比。,光子数 N I E02,I大，光子出现几率大I小，光子出现几率小,波函数的玻恩（M.Born）统计解释：,表示t时刻，（x，y，z）处单位体积内发现粒子的几率。称为几率密度。,经典波函数:,可测，有直接物理意义(2)和 c 不同,(1)不可测，无直接物理意义，|2才可测，且有物理意义；(2)和 c 描述相同的概率分布(c是常数)。,物质波波函数：,比较,电子的状态用波函数 描述,只开上缝时 电子有一定的几率通过上缝,其状态用1 描述,只开下缝时 电子有一定的几率通过下缝,其状态用2描述,用电子双缝衍射实验说明几率波的含义,双缝齐开时,电子可通过上缝 也可通过下缝,通过上 下缝各有一定的
9、几 率,总几率振幅,总几率密度,干涉项,出现干涉,3、波函数需要满足的条件,1).波函数的单值、有限性、连续,以上要求称为波函数的标准化条件,因为，粒子的几率在任何地方 只能有一个值；不可能无限大；不可能在某处发生突变。,根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的几率必须为单值、有限、连续的,2).波函数的归一性,若,归一化因子,M.Born(1882-1970),de Broglie波的存在虽然已被证实，但还缺少一个描述它存在于时空中的波动方程.1926年,E.Schrdinger创立波动力学，其核心就是今天众所周知的薛定谔方程，它在量子力学中的地位和作用相当于牛顿力学中的牛顿方程
10、，它描述了量子系统状态的演化规律。,3.4 薛定谔方程,一般形式的薛定谔方程:,E.Schrdinger(1887-1961),1933年与狄拉克分享诺奖,如果势场不显含时间t,即V=V(r),则可分离变量:,则可得定态薛定谔方程,波函数具有形式（定态波函数）:,一般说来该方程不是对任意的E(能量)值才有解，只对一系列特定、分立值才有解，故这些特定的E值可以用整数n编序成En，表明能量是量子化的。可见能量量子化自然蕴含在薛定谔方程中。,U,x,无限深势阱（potential well）,例1 一维无限深势阱中运动粒子的能量和波函数,在势阱内:受力为零,自由运动,势能为零在势阱外:势能为无穷大,
11、在势阱内(0 xd),定态薛定谔方程(能量本征方程)可以写,m是粒子质量,E0,令,方程化为,它类似于谐振方程,其一般解是,式中A和B为待定常数。在势阱外(x0,xa)由于势壁无限高，从物理上考虑，粒子是不会出现在该区域内的。按照波函数的标准条件(连续性条件)，阱壁上和阱外的波函数应为零。,表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。,根据波函数的标准条件，波函数应连续，,波函数的归一化：,能量是量子化的,最低能量不为零,n 趋于无穷时 能量趋于连续,一维无限深方势阱中粒子的波函数和几率密度,o,a,a,o,例2、隧道效应及势垒贯穿,势垒,0 a,U0,区 U(x)=0 x a,区 U(x
12、)=0 x 0,区 U(x)=U0 0 x a,E,经典：粒子动能 E U0时，粒子不能越过势垒区而 到达区。或者说，在、区域发现粒子的 几率为零。粒子动能 E U0时，粒子全部进入区域。,0 a,E,隧道效应,波穿过势垒后,将以平面波的形式继续前进(),量子力学结果：,讨论,(1)E U0,R0,即粒子总能量大于势垒高度，入射粒子也并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。,(2)E U0,T0,即粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 隧道效应，它是粒子波动性的表现。,透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化，随着势垒的加宽、加高，透射系
13、数减小。,510-10m,0.024,210-10m,0.51,质子,310-38,穿透系数会非常的小，,势垒宽度、高度达到一定程度时，,此时量子概念过渡到经典物理范围,隧道效应的应用：量子力学隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极管、超导Josophson结、衰变现象.某些质子转移反应也与隧道效应有关.,(1)原子核的 衰变核内粒子在核力作用下，处于很低负势阱中的某一能级上。在核外核力为零(短程力)，仅受库仑静电斥力作用，在核边界上形成很高的势垒。,理论及实验证明 粒子通过隧道效应出来的,（2.）扫描隧道显微镜（STM）（Scanning Tunneling Microscopy
14、）,1986年荣获诺贝尔奖的扫描隧穿显微镜利用了隧道效应。电子利用隧穿本领从探针越过势垒到达待测材料表面，形成隧道电流，记录这种电流可以获得表面状态的信息,隧道电流I与样品和针尖间的距离d关系敏感,A常量，U样品与针尖间的微小电压，样品表面平均势垒高度,隧道扫描显微镜,1993年5月IBM的科学家M.Crommie 等在液氮温度用电子束将单层的Fe原子 蒸发到Cu(111)表面，然后用STM针尖 将48个铁原子排成圆圈，铁原子间距：9.5 圆圈平均半径：71.3 圆圈由分立的铁原子组成而不连续，却能围住圈内处于铜表面的电子，故称作量子围栏(quantum corral),势函数,m 振子质量，
15、固有频率，x 位移,薛定谔方程：,n=0,1,2,例3 一维谐振子,解为：,能量量子化,普朗克量子化假设 En=nhv E0=0,量子力学结果 En=(n+1/2)hv E0=hv/2,零点能,室温下分子热运动动能kT E kT宏观振子的能量相应的 n1025 E10-33J 能量取连续值！对应原理,能量间隔：,线性谐振子波函数,线性谐振子位置几率密度,1.氢原子的定态薛定谔方程,氢原子中电子的电势能,U和方向无关，为中心力场U(r),3.5 氢原子的量子力学处理,球坐标的定态薛定谔方程,2.能量量子化,采用分离变量的方法可解得原子的能量为,主量子数主量子数 n和能量有关 n=1，2，3，,设
16、波函数形式为,3.角动量量子化,原子中电子的轨道角动量大小为,4.角动量的空间量子化,解方程得出电子的轨道角动量在Z方向的分量是,磁量子数ml 决定轨道角动量在Z方向投影,对同一个 l 角动量Z方向分量可能有 2l+1个不同值,角量子数l决定电子的轨道角动量 的大小,l=2,对 z 轴旋转对称,例：,Lz,0,角动量大小为,Z方向分量有5种取值,磁量子数有5种取值,即角动量在z 轴上仅能取分立的5种取值,本征波函数,电子在（n,l,ml）态下在空间()处出现的概率密度是,5.电子的概率分布,角向波函数,主量子数 n=1，2，3，,角量子数,磁量子数,径向概率密度：,（1）径向分布,在 r 的球
17、壳内找到电子的概率,（2）角分布,角向几率密度：,角向几率与角无关，即几率函数为绕z轴旋转对称。,几率分布图：,S态电子:(),P态电子（）：,d态电子（l=2）：,f态电子（l=3）：,按量子力学计算的结果，原子中的电子并不是沿着一定轨道运动，而是按一定的几率分布在原子核周围而被发现，人们形象地将这个几率分布叫做“几率云”。有时还将电子电荷在原子内的几率分布 称为“电子云”。因此只要给出氢原子定态波函数 的具体形式，就可计算在此状态下的几率云密度。,6.量子力学与波尔理论对氢原子处理的分析比较,1）理论出发点不同,波尔理论从实验上得到的原子的线状光谱和原子的稳定性出发,量子力学则从实物粒子的波粒二象性出发,这些实验事实都反映了微观体系的性质，但物质的二象性更反映微观体系的本质,2）处理问题的方式不同,波尔理论虽然由实验事实看出了微观规律与宏观规律有区别，但仍采用了经典理论，而为了同实验事实一致才机械地加入了量子化条件。,量子力学采用解动力学方程的方法，用波函数描述体系的状态。,3）一些结果有区别,波尔理论：,量子力学：,轨道描述，,几率大小，,
