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1、1,第二节 向量组的正交规范化,一 内积的定义和性质,三 正交向量组,二 向量的长度与夹角,四 应用举例,五 正交矩阵与正交变换,2,一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,3,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,4,、长度的概念,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别,长度为的向量称为单位向量.,5,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、性质,（4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式:,当且仅当与的线性相关时，等号成立.,6,注
2、,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或规范化.,的过程,7,、夹角,设与为维空间的两个非零向量，与的夹,角的余弦为,因此与的夹角为,8,例,解,练习,9,三、正交向量组,1、正交,注,若，则与任何向量都正交.,对于非零向量与，,10,2、正交组,若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,3、规范正交组,由单位向量组成的正交组称为规范正交组.,11,定理,4、性质,正交向量组必为线性无关组.,12,5、正交基,若正交向量组,则称,为向量空间上的一个正交基.,为向量空间上的一个基，,6、规范正交基,若规范正交组,则称,为向量空
3、间上的一个规范正交基.,为向量空间上的一个基，,13,7、施密特（Schmidt）正交化法,设,是向量空间的一个基，要求向量空,间的一个规范正交基，就是要找到一组两两正交的单,位向量,，使,与,等价，,此问题称为把,这组基规范正交化.,14,1）正交化,令,15,就得到的一个规范正交向量组.,的一组规范正交基.,如果,上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.,2）规范化,令,是的一组基，则,就是,注,上述方法中的两个向量组对任意的,与,都是等价的.,16,四、应用举例,例1,的充要条件是正交.,解,所以,成立的充要条件是,即正交.,17,已知三维向量空间中，,例2,正交，,解,设,则,即,18,例3,解,设非零向量 都于正交，,即满足方程,或,其基础解系为,19,令,1）正交化,令,20,2）规范化,令,21,五、正交矩阵和正交变换,1、定义,如果阶矩阵满足：,则称为正交矩阵.,则,可表示为,若按列分块表示为,亦即,其中,22,的列向量是规范正交组.,的一个规范正交基.,正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间,2、正交矩阵的充要条件,的行向量是规范正交组.,注,23,3、正交变换,若为正交矩阵，则=线性变换称为正交变换.,设=为正交变换，则有,经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注,24,判断下列矩阵是否为正交矩阵.,25,
