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1、1,围棋问题的数学分析 简论围棋规则的公平性 袁镔,本文通过建立数学模型研究了一些围棋规则的公平性。,2,1问题的提出当今世界，随着经济社会的飞速发展，数学工具尤其是数学模型的应用在许多领域深入发展，一些传统上的无“数”领域也逐渐进入数量化与精确化时代，本文略微介绍一点关于围棋规则的数学模型分析。,围棋是起源于我国的一类重要的棋。众所周知，自围棋问世以来，围棋的棋盘的设置经历了数次变化，这自然会令人怀疑，现在的棋盘会不会继续变化？方形棋盘每边设计多少道才是最佳的？另外，关于先手贴后手的目数规定也经历了一些变化，那么，到底先手贴后手多少目才最为合理？,4,2棋盘道数的设置问题我们先来研究一下方形
2、棋盘。围棋棋盘是由纵横交错的线组成的方形交叉点域，我们把四条边界称为一线，与边界相邻地四条线称为二线。这样，依次根据与边界的距离，而称各线为三线、四线。各线上的点由于距离边界相同，因此，它们便具有比较一致的特性。,5,下围棋最先考虑的是棋块的死活问题。所谓棋块，即是棋子相互连接没有被断而形成的整体。如果一块棋不活，占的交叉点再多也没用。因此，研究每一线围棋子的作用时，应首先考虑哪一线棋子的成活速度最快更确切地说是用最少的点来走成活棋。我们首先引入准活棋的概念：,6,定义 一棋块虽不是成活棋块，但当对方进攻此棋块时，总可以通过正确应对而最终成为活棋，则称此棋块为准活型棋块。,准活型棋块的概念显然
3、有其实际意义。事实上，对弈开局时棋手们只是把棋走成大致的活型，而非耗费更多的棋子去把棋块走成真正的成活型。,7,例1.计算二线、三线、四线的最快准活型：,8,9,用(为自然数)表示第 线成准活型棋块所用的最少子数，从图中容易得到 由此可以看出，三线比二线、四线的成活速度快。按此例的办法容易推出，五线，六线等其他线形成准活型的速度显然要慢于三线，即。因此，就控制边的能力来看，三线具有最快成活的特点，从而称为围棋棋盘上重要的一线。,10,为了对围棋问题建立数学模型，我们先对围棋棋子的价值做个数学描述：,定义 对于一块成活型棋块，用它的棋子数去除这些棋子所包含的目数，得到的商值称为此棋块的目效率。,
4、11,从定义来看，目效率表示单位棋子所占的目数，即表示此棋块平均占有目数的能力。围棋的棋盘由古时的每边 道增至现在的每边 道，其间历经数千年。这种进化的过程也显示了人们的认识逐渐接近真理。现用棋盘经受了几千年的考验，其边数必有其合理性，这里的关键就是保证先手和后手的无差异，这可以推知围棋内部一定存在着两种互相抗衡的力量，使先手即使先落子也无法取得多少优势。,12,一般棋类（如象棋），往往有攻有守，攻守之间有一种平衡，而且随时可以转换。因此，先手一方即使先进攻也未必得胜。由此可见，一般棋类之所以变化无穷，根本原因在于其包含了攻与守这两个既对立又统一的方面。围棋也是如此。但围棋的攻守显然不同于其他
5、棋类。由于博弈双方轮换落子，因此，单纯为杀死对方而进行进攻要比防守来的困难。就是说，围棋里的攻守无法取得同等的地位，因此，绝不能把围棋也认为是攻与守的对立统一体。,13,围棋的目的是多占地盘，我们把围棋棋盘按区域特点笼统分为边部和中脯。从做活和占地盘两个角度看，边部因空间受阻而易受攻击，但可以用边部成活快的特点迅速做活，有根据地后再图发展；中腹则由于四方皆可发展，不容易受到攻击，做活便退居其次，而先去抢占空间。由此可见，边部和中腹将成为围棋中的两种对抗的势力。除此之外，还应保证两种势力所具有的价值相同，从而使两者能够真正地进行抗衡，以使围棋对双方达到最大的公平性。,14,前边讨论中，提到三线在
6、控制边部上的优势。显然，控制中腹的重任就落在了紧临的四线上。这样，问题最终转化为：怎样设计方形棋盘（即每边取多少道）使三线围成的边部与四线围成的中腹具有相同的地位或最小的差异？三线点、四线点设置如图二，设三线点、四线点组成的棋块的目效率分别为、，根据三线与线目效率相近的原则，我们可提出数学问题：方形围棋棋盘每边设置多少道数，将使 最小？,15,假设棋盘每边为 X道，X为自然数。为实用需要，围棋棋盘不应太大或太小，取 11X23。参照图二(此时 X=19),由于对X 的限制,三线围成的边及四线围成的中腹已成为实空,对方无法在其中做活。X这样，所围成的目数为 8X-16，其目效率 由 由四线围成的
7、中腹的目数为 两目效率之差为,16,对于,如果把 X 看作连续变量,易看出它是关于X 的单调递减函数,这是因为 可改写为,同理,对 有 将 关于 X 求导得 由于 从而 即 关于 X 单调增加,这将导致 也关于X 单调增加.,17,因而,对于方程,若有解,也只能有一个，又由于 故由连续函数介值定理，的解含在开区间 中，显然此解非整数，而我们寻求的是使 最小的整数解，由 的单调性及即知 为最优解。至此,我们用三线点与四线点目效率证明了围棋棋盘选择 个网点是最佳的.,18,3先手贴后手的目数问题围棋是一项竞技活动,从公平意义上讲,弈棋双方如果水平棋力严格相同,无论谁先手下棋,其结果是两方占地相同。
8、因此,围棋对弈应该有和棋.对围棋最终的结局必须有明确合理的规定先手贴后手多少目以保证弈棋双方的平等地位。下面利用目效率对胜负贴目的可能目数做一估算。,19,20,以上谈到，围棋棋盘每边道数的确定使围棋中的三线与四线的地位几乎相同。确切地讲，是三线点占边部实空与四线占中腹实空相对抗。从数学的角度来看，目效率的概念也可使我们摆脱束缚，不必考虑三线点、四线点数目的不同及它们在特定棋盘上的位置差异，而把围棋对弈直接想象为三线点与四线点的对抗。由于四线点的目效率比三线点的目效率略高0.09，故先手一方挑选四线而占之，后手因为有足够的贴目补充抵消三线与四线的差异而从容地在三线与之周旋，效率对双方不偏不倚。
9、现在的问题是：先手需贴后手多少目才可平衡这微小的差异？,21,三线点、四线点设置仍如图二，再设四线需帖三线 目，由双方的目效率相等的原则，有即先手需在终局时贴出 目(事实上目数不会出现这种小数),与现在中国(贴2.75 子)及日本(贴 5目半)的胜负贴目规则比较接近。,22,4对数学模型研究实际问题的一点认识 经过对有关围棋的数学分析，不难得出，数学工具的日常应用，其主要步骤为：首先将现实世界的信息进行翻译、归纳，进而建立数学模型，再对数学模型进行演绎、推理，作出数学分析、预测决策或控制，最后这种决策或控制经解释后可用于现实世界的分析、决策或控制，从而服务于生产和生活。然而，根据现实世界的信息到建立并完善数学模型决非易事，需要经过仔细的观察、研究和分析才能完成。随着经济社会的不断发展，各个学科会逐渐引入数学模型，数学工具的现实意义会越来越明显。,23,谢谢！,
