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1、固定收益证券,第七讲:含权债券,免费下载！,主讲教师：李磊宁,单位：中央财经大学金融工程系主讲课程：金融工程学/固定收益证券联系方式：电子邮件：,内容提要,可赎回债券,概念与特点概念：可赎回债券（callable bond）是发行者有权按照事先约定的价格买回其发行的尚未到期债券的一类含权债券。这类债券属于发行者期权债券，因为该期权赋予发行者按照规定的价格、在规定的时间、买入规定的资产（债券）。根据期权理论，发行者的这种“赎回权”属于看涨期权，这个期权有利于发行者而不利于债券持有者。,可赎回债券,概念与特点特点：存续期限不固定；可赎回债券在到期日之前可能被赎回，也可能不赎回；可能在某个日期被赎回
2、，也可能在另一个日期被赎回。根据赎回期限可分为：美式赎回、欧式赎回发行和交易价格要低于不含权的普通债券隐含在可赎回债券中的这个期权的价值 属于发行者，因此会在交易价格或者在可赎回债券的估值中反映出来,可赎回债券,赎回收益率、有效久期与有效凸性 赎回收益率定义：赎回收益率是指使得持有债券到第一个赎回日的各期现金流的贴现值等于债券价格的收益率计算公式（由该公式推得）,其中：Bc是可赎回债券的市场价格;Fc是赎回价格;YTMc就是“赎回收益率”,可赎回债券,赎回收益率、有效久期与有效凸性 有效久期概念：有效久期（effective duration）就是考虑到了现金流会随着利率变化而变化的久期测度
3、公式：,其中：DE是有效久期；B-和B+分别是利率下降一个单位时债券新价格和利率上 涨一个单位时债券的新价格;B0是债券初始价格;y是利率变化的一个单位,可赎回债券,赎回收益率、有效久期与有效凸性 有效久期某可赎回债券初始价格为110，利率变化为20个基点，B-=110.40,B+=109.20,该债券的有效久期为,可赎回债券,赎回收益率、有效久期与有效凸性 有效凸性概念：有效凸性（effective convexity）是考虑了当市场要求的利率变化时现金流可能会发生变化的凸性测量工具 公式：注：有效久期和有效凸性也适用计算不含权的普通债券的久期和凸性的方法。当它们的公式被用于计算普通债券的久
4、期与凸性时，被称为“近似久期”和“近似凸性”,式中各变量定义与有效久期计算公式中相同,可赎回债券,赎回收益率、有效久期与有效凸性 有效凸性某可赎回债券初始价格为110，利率变化为20个基点，B-=110.40,B+=109.20,该债券的有效凸性为,可赎回债券,估值与定价 可赎回债券与对应的不含权债券之间的关系公式表述：BC为可赎回债券的价格；BNC为对应的不含权的普通债券的价格；C代表赎回期权价值,可赎回债券,估值与定价 可赎回债券与对应的不含权债券之间的关系图形表述：,可赎回债券,估值与定价 对应的不含权债券的价值根据第六讲介绍的定价原理计算得到；期权的价值根据Black-Scholes期
5、权公式直接计算运用期权的二叉树模型进行计算（举例）,C为看涨期权的价值（即赎回权的价值）Cu为上行状况期权的价值，Cd为下行状况期权的价值，Ce为执行期权的价值，Ch为持有期权的价值X为期权执行价格（即可赎回债券的赎回价格）r为对应节点的二叉树利率,可赎回债券,估值与定价某可赎回债券票面利率为4%，期限为2年，发行者在第一年底可以按照99元的价格赎回债券，如何计算该可赎回债券的价值？,首先：得到利率树和不含权债券价格树,可赎回债券,估值与定价其次，调整上面的债券价格树图。在第1年的年底，发行者有权支付给投资债券持有者99+4=103元后赎回债券（99元是赎回价格，4元是第1年应该支付的票息）,
6、可赎回债券,估值与定价该债券价格二叉树与前面普通债券价格二叉树每个对应节点上的差额是期权的执行价值，本例中由于期权的生命为1年，并且只有一个执行的时间点，所以不存在继续持有的问题。对应的期权的二叉树图如下,98.15-97.67=0.48，或者0.5(1+0)/(1+5%)=0.48。表明每一张债券含有的赎回权的价值是0.48元。,可售回债券,概念及特点可售回债券（puttable bond）是持有者有权按照事先约定的价格（售回价格）将尚未到期债券卖给发行者的一类含权债券。这类债券属于投资者者期权债券，因为该期权赋予投资者按照规定的价格、在规定的时间、处置规定的资产的权利。按照期权理论，这类期
7、权属于看跌期权。,可售回债券,估值与定价 可售回债券的价值=对应的不含权的普通债券的价值+看跌期权的价值 与可赎回债券想比，可售回债券与之唯一的区别在于债券所附的隐含期权为看跌期权而非看涨期权，因此可以仿照可赎回债券定价的原理为可售回债券定价,可售回债券,估值与定价将前面例子中改动一下：如果其他条件都是一样，债券为执行价格为99元的可售回债券，债券的价格为多少？,在第1年的年底，（对应的不含权的）债券价格（全价）有两个状态，分别为98.11+4=102.11和100+4=104。显然，由于104103102.11，所以，当债券价格由于利率上涨为100时，持有者的总资产为104元，这时他不会按照
8、103元的价格把债券售回给发行者；当债券价格由于利率下跌为98.11元时，持有者的总资产为102.11元，按照99+4=103元的价格将债券售回给发行者能够带来103-102.11=0.89元的利益，持有者肯定要行使售回权。,可售回债券,估值与定价调整上面的债券价格树图。,可售回债券,估值与定价该债券价格二叉树与前面普通债券价格二叉树每个对应节点上的差额是期权的执行价值，本例中由于期权的生命为1年，并且只有一个执行的时间点，所以不存在继续持有的问题。对应的期权的二叉树图如下,98.57-98.15=0.42，或者0.5(0.89+0)/(1+5%)=0.42。表明每一张债券含有的售回权的价值是
9、0.42元。,可转换债券,概念与特征 概念：可转换债券（convertible bond）是持有者有权按照事先约定的时间和价格（转换价格）将债券转换成发债公司的普通股股票的含权类债券。一份可转换债券实质上是一份普通公司债券和若干可以购买普通股的看涨期权以及其他期权的混合金融工具,可转换债券,概念与特征 特征：可转换债券同时具有债性与股性；可转换债券一般票面利率比较低，对于发行者而言能够降低融资成本；而对于投资者而言，可转换债券作为一种介于股票与债券之间的投资工具；可转换债券是含有多重期权的债券：发行公司在是否实施赎回条款方面拥有的期权 在股票价格过低时投资者有回售给发行者的期权,可转换债券,条
10、款设计与指标分析（实例分析）,可转换债券,条款设计与指标分析票面利率可转债的票面利率通常要比普通债券低，有时甚至还低于同期银行存款利率。但实际上由于可转债在我国的历史还不长，为吸引投资者，发行人常常采用递增的票面利率 有效期限和转换期限 可转债的有效期限是指债券从发行之日起至偿清本息之日止的存续时间。国际市场上可转债的有效期限通常较长，一般在5-10年左右。转换期限是指可转债转换为普通股的起始日至结束日的期间。我国转换期限为发行之日起6个月后至偿清本息之日止的一段时间,可转换债券,条款设计与指标分析转股价格转股价格是指可转换公司债券转换为每股股票所支付的价格。一般规定一个初始的转股价格，然后按
11、照一定条件调整这个价格 赎回条款 设立赎回条款的目的是降低发行公司的发行成本，避免因市场利率下降而给自己造成利率损失，同时也有利于加速转股过程、减轻财务压力 回售条款 为了降低投资风险吸引更多的投资者，可转换债券的发行公司通常设置该条款，以保护投资者的利益，投资者可以根据市场的变化而选择是否行使这种权利,可转换债券,条款设计与指标分析股性指标和债性指标,可转换债券,条款设计与指标分析结合案例对这些指标逐一说明，指标评估日期为2006年10月25日，当时天药转债的市场价格为106元，对应的股票天药股份的价格是3.78元。债性指标纯债价值：剔除期权因素后，将可转换债券当作普通债券的理论价值。,20
12、06年10月25日的利率期限结构,BNC=93.05,可转换债券,条款设计与指标分析结合案例对这些指标逐一说明，指标评估日期为2006年10月25日，当时天药转债的市场价格为106元，对应的股票天药股份的价格是3.78元。债性指标到期收益率：使贴现后的现金流等于可转换债券的市场价格的收益率。,y=1.24%,可转换债券,条款设计与指标分析结合案例对这些指标逐一说明，指标评估日期为2006年10月25日，当时天药转债的市场价格为106元，对应的股票天药股份的价格是3.78元。债性指标 纯债溢价率：表示可转换债券的当前价格相对于纯债价值的溢价程度。纯债溢价率越高，表明当前的可转换债券的价格虚高的程
13、度越大。纯债溢价率=（转债价格/纯债价值）-1100%天药转债的纯债溢价率=（106/93.05）-1100%=13.92%。,可转换债券,条款设计与指标分析股性指标转换价值：可转换债券立即按照转股价格转换成股票而得到的价值。转换价值也被称为转债的“平价”。转换价值越高，表示转债的投资价值越大。转换价值=对应的股票市场价格转换比例转换比例=100/转股价格,天药转债的转换比例=100/4.35=22.99,天药转债的转换价值=3.78(1004.35)=86.90,可转换债券,条款设计与指标分析股性指标转股溢价率：表示可转换债券的价格相对于转换价值的溢价程度。转股溢价率越高，表明转债价格相对于
14、当前正股的价格的虚高程度越大。转股溢价率=（可转换债券的市场价格-转换价值）转换价值 100%,天药转债的转股溢价率=（106-86.90）86.90 100%=21.98%。,可转换债券,定价分析可转换债券的价格影响因素 除了信用因素、时间因素以外，可转换债券的价格受到以下特别因素的影响股票价格：股票价格与可转换债券价格同向变动,债券价格对股价变动敏感性指标：,可转换债券,定价分析可转换债券的价格影响因素 股票价格的波动率：股票价格的波动率（用表示）越大，转债中隐含的转换权的价值越大，转债价值也越大。波动率对可转换债券的影响用可转换债券价格对波动率的一阶导数来描述,可转换债券,定价分析可转换
15、债券的价格影响因素 利率：利率变动对可转换债券的影响用可转换债券价格对利率的导数表示利率对可转换债券中的普通债券和转股期权的影响是不同的；当股票价格远远低于转股价格，转股的可能性很小时，可转换债券价格受到利率的影响比较大，甚至超过普通债券对同样利率变动的影响（考虑到可转债较低的票息率）；而当股票价格接近或者达到转股价格时，转股可能加大，股票价格的变动将成为转债价格的决定因素，利率对可转换债券价格的影响并不显著,可转换债券,定价分析可转换债券的价格影响因素 稀释：当可转换债券被转换为股票时，公司必须增发股份满足这一转换需求，所以导致公司的股份被稀释。预计稀释的程度越大，转债贬值的程度越深,可转换
16、债券,定价分析可转换债券的价格计算 B-S模型法与二叉树法是计算可转换债券的价格的基本方法 B-S模型法：基于B-S定价模型的方法把可转换债券看作是普通债券和期权的组合：将可转债的价值分为两部分，分别为纯债券部分价值和期权部分价值，其中后者主要包括转股权、赎回权、售回权等期权的价值。从债券持有人的角度来看 可转换债券的价格=纯债价值+转股权价值-赎回权价值+售回权价值,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算 B-S模型法与二叉树法是计算可转换债券的价格的基本方法 B-S模型法：有收益资产的欧式看涨和看跌期权的计算公式与下式基本相同，只是用（S-I）代替S即可，I是基础资产的收益额。如果基础资
17、产的收益用固定的连续复利率的形式表示，则用Sexp-q(T-t)来代替S即可。,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算 B-S模型法：以“天药转债”为例，S=3.78，r=3%（设定），X=4.35，T-t=5.5，=25%（设定）。假设正股“天药股份”6年累计分红0.25元，在第三年发放）如果行权比例为1：1，即一份期权可以购买一个股票，则根据“天药转债”的转换比例22.99，一张100元面值的债券中的转换权价值的总量就是22.990.7926=18.2219(元)。,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算 B-S模型法：以“天药转债”为例，S=3.78，r=3%（设定），X=4.35，
18、T-t=5.5，=25%（设定）。假设正股“天药股份”6年累计分红0.25元，在第三年发放）如果行权比例为1：1，即一份期权可以购买一个股票，则根据“天药转债”的转换比例22.99，一张100元面值的债券中的转换权价值的总量就是22.990.7926=18.2219(元)。运行MATLAB，分别得到赎回权价值=20.7834,售回权价值=8.4809天药转债的理论价值93.05（纯债价值）+18.2219（转换权价值）-20.7834（赎回权价值）+8.4809（回售权价值）=98.9694（元）。,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算二叉树法：该方法由Cox,Ross,和Rubinste
19、in等学者于1979年提出，简称CRR模型 模型把股票价格时间序列分成小的时间段t，在每一个时间段内，股票仅有上涨与下跌的两个状态，上涨与下跌的比例分别是u和d，对应的概率分别是p和(1-p)。模型的几个重要参数以及关系为,其中是股票价格的年波动率，即股票收益率分布的标准差,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算二叉树法：预备步骤：计算p 和 步骤1：建立转债对应的股票价格的二叉树步骤2：建立可转换债券价格的二叉树 确定转债树图中节点上的价格原则,中间节点转债价格=MaxMin(Q1,Q2)，Q3,Q4,末端节点转债价格=Max转换价值，纯债价值,其中Q1表示持有债券的价格，也称为“保留价值
20、”，由债券的树图倒推而来，Q2表示赎回价格加上累计利息，Q3表示债券的转换价值，Q4表示售回价格。,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算二叉树法：确定每个节点上合适的贴现率,r*(t)：不转股时应该采用与该转债的信用级别相匹配的贴现率,r(t)：转股时需要采用这个时刻的无风险利率,r(t)：可能转股时的贴现率（以上两个贴现率在某种程度上的平均）,其中，r（t）=(t,s)r*(t)+1-(t,s)r(t)(t,s)表示在各个节点上的转股概率,由风险中性概率倒推而得,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算二叉树法：计算。设St为第t日的股票价格，t是第t个时间间隔的连续复利收益率的自然对数
21、，T是1年中股票的交易天数（一般取252天），D是股票价格的日波动率,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算二叉树法：一旦知道了上述参数，我们就可以很方便地构造股票价格的二叉树。以“天药股份”为例，如果=0.25,t=1,r=3%,那么,可转换债券,“天药股份”价格的CRR二叉树图,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算二叉树法：第二步：建立可转换债券价格的二叉树。这里包括两项工作：一是确定转债树图中节点上的价格原则，二是确定每个节点上合适的贴现率。就第一项工作而言，我们可以把转债树图分为两个部分：末端节点和中间节点。在转债树图的末端节点上转债价格=Max转换价值，纯债价值在转债树图的中间
22、节点上转债价格=maxmin(Q1,Q2)，Q3,Q4其中Q1表示持有债券的价格，也称为“保留价值”，由债券的树图倒推而来，Q2表示赎回价格加上累计利息，Q3表示债券的转换价值，Q4表示售回价格。,可转换债券,定价分析可转换债券的价格计算二叉树法：第二步：建立可转换债券价格的二叉树。第二项工作涉及到各个节点贴现率的选择问题。一是不转股时应该采用与该转债的信用级别相匹配的贴现率r*(t)；二是转股时需要采用这个时刻的无风险利率r(t)；三是可能转股时的贴现率以r（t）表示是以上两个贴现率在某种程度上的平均，r（t）=(t,s)r*(t)+1-(t,s)r(t)，其中(t,s)表示在各个节点上的转
23、股概率，这个概率与时间段t与股票价格s有关。当然，由于一般不知道转股的概率(t,s)，所以r（t）可以按照“倒推法”得到，计算公式是r（t）=pru+(1-p)rd,ru和rd分别是后面一步的向上和向下节点上的贴现率，p是风险中性概率。各个节点上是否转股需要判断该节点处“转换价值”Q3与“保留价值”Q1的关系。如果Q3Q1，选择转股，如果Q3Q1，选择不转股，如果Q3=Q1，可能转股，也可能不转股，即存在转股可能性。当然，实际计算中不可能这么精确，只要是两者相差不大，就可以认为属于“可能转股”的情况。为简化计算，假设赎回权在一年后生效，售回权在三年后生效。,2006年10月25日-2012年1
24、0月25日的远期利率期限结构,先看一下末端各节点的价格。对应于“天药股份”价格的最后一列，并考虑到最后一期的纯债价值（本金加最后一次票息合计为100+2.85=102.85元），各个节点的转债价格分别是V6,0=max(102.85,22.990.7940)=102.85；V6,1=max(102.85,22.991.3090)=102.85；V6,2=max(102.85,22.992.1582)=102.85；V6,3=max(102.85,22.993.5583)=102.85；V6,4=max(102.85,22.995.8666)=134.8731；V6,5=max(102.85,2
25、2.999.6724)=222.3685；V6,6=max(102.85,22.9915.9471)=366.6238。,在V5,0这个节点上，由于债券肯定不会转股，计算持有债券价格时应该采用的贴现率是r*(t)=3.31%+0.9%=4.21%于是，Q1=102.85/(1+4.21%)=98.6949,Q2=103,Q3=22.991.0195=23.4383,Q4=103。所以V5,0=maxmin(98.6949,103)，23.4383,103=103,在V5,1这个节点上，债券也不会转股，计算持有债券价格时应该采用的贴现率同样是4.21%。于是，Q1=102.85/(1+4.21%
26、)=98.6949,Q2=103,Q3=22.991.6808=38.6416,Q4=103。所以V5,1=maxmin(98.6949,103)，38.6416,103=103在V5,2这个节点上，债券也不会转股，计算持有债券价格时应该采用的贴现率还是4.21%。于是，Q1=102.85/(1+4.21%)=98.6949,Q2=103,Q3=22.992.7712=63.7099,Q4=103。所以V5,2=maxmin(98.6949,103)，63.7099,103=103,V3,2节点转股是不利的，计算持有债券的价格时应该采用的贴现率是3.59%。于是，Q1=0.5(V4,2+V4,3)/(1+3.59%)=117.5889,Q2=103,Q3=22.994.8115=110.6164。所以V3,2=maxmin(117.5889,103)，110.6164=110.6164,例如,可转换债券,“天药转债”的价格树图,
