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1、第一节 复数及其表示,第二节 复变函数,第一章 复数与复变函数,第一节 复 数及其表示,一、复数的概念及其表示,二、复数的运算,三、复球面及无穷大,小结与思考,一、复数的概念及其表示,1.虚数单位:,对虚数单位的规定:,“复合”而成的数,(3)虚数单位的特性:,2.复数的代数形式的定义:,i:虚数单位,虚部(Imaginary)记做：Im(z)=y,实部（Real）记做：Re(z)=x,3.两复数相等:当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,即,则,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,即,复数不能比较大小!,4、复数的几何表示,(1)复数的点表示及复平面,
2、实轴,虚轴,显然成立：,（2）复数的向量表示,（）复数的模,（）复数的辐角(argument),说明,辐角不确定.,q,辐角主值的定义:,（）复数模的三角不等式,几何意义如图：,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,5、复数的三角表示法,利用Euler公式,6、复数的指数表示法,欧拉资料,小结,本课学习了复数的有关概念、性质、四种表示形式及相关的运算.重点掌握复数的四种表示形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.,例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,参考答案,由此可见,在复数中无法定义大小关系.,思考题1,复数为什么不能比较大
3、小？,思考题2,参考答案,否.,它的模为零而辐角不确定.,是否任意复数都有辐角?,二、复数的运算,1）两复数的和差:,2）两复数的积:,3）两复数的商:,说明：复数的四则运算规律与实数的四则运算规律保持一致,1、复数的代数形式的四则运算,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,2.共轭复数,共轭复数的几何性质：,共轭复数的运算性质:,3、复数的三角形式和指数形式的乘除法,从而,1）乘法,）三角形式的乘法,两复数相乘就是把模相乘,辐角相加.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,说明,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.,由
4、此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:,）指数形式的乘法,从而,2）除法,）三角形式的除法,）指数形式的除法,4、复数的幂与方根,1）n次幂:,棣莫佛公式,棣莫佛资料,2）棣莫佛公式,可以推得:,3）n 次方根,从几何上看,推导过程如下：,当 k 以其他整数值代入时,这些根又重复出现.,小结,本课学习了复数的三种表示形式对应的运算.,熟练掌握复数的各种运算，一般要区分出复数的实部与虚部时，用代数形式比较方便.,对于复数的乘、除、幂、开方运算，一般情况下以三角形式、指数形式来运算比较方便.,在运算时学会灵活选用相关形式，力求使得计算最为简便.,常用公式：,棣莫佛公式,n次方根的公式,Euler
5、公式,例2,解,故,例3,解,即,三、复球面及无穷大,球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.,球面上的北极 N 不能对应复平面上的定点，但球面上的点离北极 N 越近，它所表示的复数的模越大.,我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.,因而,球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,包括无穷远点的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应,这样的球面称为复球面
6、.,对于复数的无穷远点而言，它的实部，虚部,辐角等概念均无意义,规定它的模为正无穷大.,欧拉资料,数学大师 欧拉,Leonhard Euler,Born:15 April 1707 in Basel,Switzerland,Died:18 Sept 1783 in St Petersburg,Russia,欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（17411766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。,欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后
7、为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。,欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 A，B，C表示对应的三个角(1748)；创用 表示求和符号(1755)；提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数的底；还用y 表示差分等等。,欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖,曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。,欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，
8、无穷小分析引论，微分学原理以及积分学原理都成为数学中的经典著作。除了教科书外，欧拉平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们整理出他的研究成果多达74卷。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中都能经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。,Abraham de Moivre,棣莫佛资料,Born:26 May 1667 in Vitry(near Paris),FranceDied:27 Nov 1754 in London,England,棣莫佛，法国数学家，发现了棣莫佛公式，将复数 和三角学 联系起来。其他贡献主要在概率论 上，1692年，他结识牛顿，并成为其好友。他在 1697年加入皇家学会。1710年他被指派处理牛顿和莱布尼茨关于微积分发明人的争议。棣莫佛1685年 离开法国，在 英国度过余生。他十分贫穷，借下国际象棋赚钱。他死于伦敦，葬于圣马丁教堂。,Lets have a rest!,课间休息,1、将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,作业：,2、p12 1.2(1)、(4),1.3,
