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1、2023/9/8,作者 余 虹,1,大学物理助学,大连理工大学物理系,PHYH,余 虹,2023/9/8,作者 余 虹,2,第20章 薛定谔方程,2023/9/8,作者 余 虹,3,经典理论：沿x方向传播的单色平面波,波强度 I A2,量子理论：沿x方向运动的自由粒子的德布罗意波是单色平面波（=E/h=h/P）,一维波函数,一、波函数,20.1 定态薛定谔方程,一维定态波函数,1、什么是波函数,2023/9/8,作者 余 虹,4,量子概念下的粒子与确切的轨道无关，但有质量、电量；波与物理量的空间周期性无关，但具有可叠加性。（r）不代表实在物理量的波动，而是刻划粒子在空间概率分布的概率波。,开始
2、毫无规则，时间 延长显示衍射图样，波动性许多次相同实验的统计结果,亮波强电子到达多。,暗波弱电子到达少。,（r）不可直接测量！,2023/9/8,作者 余 虹,5,可测量在空间 处 可观测到粒子的概率密度。,在 附近，dv=dxdydz 区域 内发现粒子的概率。,量子力学指出，我们只能判断在一定空间范围发现粒子的概率，不能确定一个粒子一定在什么地方；只能作某种可能性的判断，不能做绝对确定性的断言。,例如：中子的平均半衰期 616秒,即N个中子在 616 秒内有50%衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，我们不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子在616 秒内都有 50%的衰变机会。,意义？
3、,2023/9/8,作者 余 虹,6,2、波函数的条件,1、（r）必须是时空的单值函数。确定的时间，地点，粒子出现的概率是确定的。,2、（r）必须是有限的。因为概率W（x，y，z）1。,3、两个区域的边界处波函数 1=2、1=2 连续。粒子出现在边界处确定点的概率是定值。,4、粒子在全空间出现的概率=1,标准条件,归一化条件,2023/9/8,作者 余 虹,7,如果 1、2、3 n 是粒子 或系统的波函数，,3、态叠加原理,电子双缝实验,开S1，电子出现在P点的波函数1,则=C11+C22+C33+Cn n 也是粒子或系统的波函数。,s1,s2,S1s2 同时开，电子出现在P点的波函数=C11
4、+C22,开S1，电子出现在P点的波函数2,2023/9/8,作者 余 虹,8,二、薛定谔方程,1、一维自由粒子的波函数,一维自由粒子的薛定谔方程,2023/9/8,作者 余 虹,9,2、一维势场U（x，t）中运动粒子,令,薛定谔方程,三维：,2023/9/8,作者 余 虹,10,三、定态薛定谔方程,若U 与 t 无关，整个方程与 t 无关定态薛定谔方程,一维：,三维：,2023/9/8,作者 余 虹,11,四、算符与本征值,一维定态薛定谔方程,非相对论近似下，粒子的能量,动量算符,新的波函 数,则（x）是 的本征函数 E是 的本征值。,如果,哈密顿算符能量算符,2023/9/8,作者 余 虹
5、,12,五、本征值与本征态,对粒子进行某力学量（如：能量）测量，不一定总测得相同的值，每次测得一系列可能值中的一个（以一定的概率出现）。,若有N个本征态对应一个本征值，则称该本征值N度简并。,这一系列可能值即力学量的本征值。,对应一确定本征值 的粒子状态，称为本征态。,2023/9/8,作者 余 虹,13,量子力学处理问题的方法,1、分析、找到粒子在势场中的势能函数U，写出薛定谔方程。,2、求解，并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。,3、由 2 得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。,2023/9/8,作者 余 虹,14,U=0（0 xa）,U=U0（
6、其他）,势能,量子力学预言：势阱里的粒子的能量只可能是一系列分立的本征值,对应的波函数只能是能量本征态波函数。,（1）U 与t 无关，写出定态定谔方程,（2）解方程,1=0,3=0,To15,1 2 3,一、一维无限深势阱,20.3 一维定态问题,令:,2023/9/8,作者 余 虹,15,（3）确定常数A、,势阱无限深阱外无粒子,=0（x 0 x a）,由波函数连续性，边界条件（0）=0（a）=0,Acos=0=2,A sinka=0,n=1.2.3,ka=n,To14,2023/9/8,作者 余 虹,16,（0 x a）,基态能量,驻波,讨论,考 虑 时间因子,2023/9/8,作者 余
7、虹,17,n=1,n=2,n=3,一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度,2023/9/8,作者 余 虹,18,经典理论,1.E U0的粒子，越过势垒。,2.E U0的粒子，不能越过势垒。,量子理论,1.E U0 的粒子，也存在被弹回的概率 反射波。,2.E U0 的粒子，也可能越过势垒到达3区 隧道效应。,穿透概率,二、势垒穿透,2023/9/8,作者 余 虹,19,电子云,Ub 微小电压,1.测样品表面：控制，使I 保持恒定；,2.分辨样品表面离散的原子，分辨率,横向0.1nm，纵向0.01nm，电子显微镜（0.30.5nm）,3.重新排列原子（1990年用35个Xe原子在Ni表面拼
8、缀出 IBM 纳术米技正式诞生）。,1981年IBM公司,电子云重 叠,2023/9/8,作者 余 虹,20,实验事实2,（鲁瑟夫）粒子轰击金箔，大角散射率1/8000。,r010-1510-14 m,经典理论下核式模型遇到的问题：,原子不稳定；发射连续光谱。,实验事实3,原子是稳定的。,20.4 原子中的电子,一、实验事实与原子模型,实验事实1,原子内部空虚。,2023/9/8,作者 余 虹,21,实验事实4,原子光谱是分立的。,m n 都是正整数，,氢原子光 谱,R=1.096776107 m 1,里德堡常数,根据不同的 m 值把氢原子的光谱分成不同的线系。,n=1L.S.,n=3P.S.
9、,n=2B.S.,紫外线,紫外线、可见光,红外线,2023/9/8,作者 余 虹,22,二、氢原子,势能,定态薛定谔方程,用球坐标,r,通过分离变量将方程分解为分别与变量r、有关的3个方程。,方程有解的条件直接引出了微观领域里的量子化条件。,To 41,2023/9/8,作者 余 虹,23,量子理论：具有确定能量的原子不辐射电磁波；仅当电子在不同的“轨道”跃迁或者说在不同的能级间跃迁时才辐射。频率满足,n 主量子数,n=1 基态,6 5 4 3 2,第一激发态,1、能量量子化,-13.6 eV,13.6,电离一个基态氢原子需要 13.6 eV 能量；电离一个第一激发态氢原子需要 3.4 eV
10、能量。,氢原子,2023/9/8,作者 余 虹,24,例题：氢原子光谱的巴耳末系中波长最大的谱线 1，其次为 2，求比值 1/2.,解：,2023/9/8,作者 余 虹,25,例题：处于第三激发态的氢原子，可能发出的光谱线有多少条？其中可见光谱线几条？,解：第三激发态 n=4,六条谱线,喇曼系3条紫外线,巴耳末系2条可见光,帕邢系1条红外线,n=4,n=3,n=2,n=1,2023/9/8,作者 余 虹,26,2、角动量量子化,具有确定能量的电子角动量可有若干，角动量大小,s p d,角量子数 l=0、1、2n-1,l 决定角动量大小。,En,n个,例：第二激发态的电子 n=3 对应角量子数
11、l=,012,3s L=0,3p L,3dL,2023/9/8,作者 余 虹,27,3、角动量取向量子化,具有确定角动量的电子，角动量方向可有若干，L 在任意一轴上（如：沿磁场方向）投影LZ,磁量子数 m=0、1、2 l 决定角动量方向。对应 l 可有 2 l+1 个不同取向。,m=0,例：,m=1,m=-1,m=2,m=-2,2023/9/8,作者 余 虹,28,电子的状态可用 n、l、m 三个量子数表示，相应的波函数 nlm。对确定能级En电子有 n2 种可能状态,2 0 0,基态 n=1 n2=1 1 0 0,第一激发态 n=2 n2=4 2 l m？,l=0,m=0,m=0、1,2 1
12、 0,2 1-1,2 1 1,能级简并,l=1,2023/9/8,作者 余 虹,29,p21,p10,p20,a氢原子玻尔半径,1、半径为a的球面附近发现1s 电子的可能性最大。,2、2s电子在半径为5 a的球面附近出现的概率最大；不可能在2 a处出现。,3、寻找2p电子最好在半径为4 a的球面处。,电子径向概率分布图,图中信息,2023/9/8,作者 余 虹,30,已知氢原子基态波函数,例题,求：电子处于半径为 a0 的球面内的概率P0,解：概率密度p100=|100|2，电子处于半径为r、厚度为dr 的壳层内的概率为 dP=p100 4r2dr,在半径为 a0 的球面内的概率,2023/9
13、/8,作者 余 虹,31,一、斯特恩盖拉赫实验（1921）,电子在核周围运动 电流圈有磁矩,用 s 态（l=0）银原子无论有无磁场都只有一条！,实验结果：有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹。,？,z有2l+1种不同值。,4、第4个量子数自旋,2023/9/8,作者 余 虹,32,电子的状态要用 n、l、m，ms四个量子数表示，相应的波函数 n l m m s 对确定能级En电子有2 n2 种可能状态能量2 n2 度简并。,基态 n=1 2n 2=2,100,100,能量2 度简并,第一激发态 n=2 2n2=8 2l m？,2023/9/8,作者 余 虹,33,二、电子自旋理论（1924年）
14、,电子除了绕核运动外，还绕自身轴旋转自转磁矩s，角动量Ls、Lsz 根据量子理论,ms=-s，s,s=？,对称，说明银原子可分为两类，受力大小相等方向相反。,s,且-s+1=s,z也有两个大小相等方向相反。,2023/9/8,作者 余 虹,34,原子核外电子的排布,原子是由多个电子与原子核组成系统，系统的状态用电子状态分布来描写。用n、l 标记一个电子再指明该态中的电子数原子组态，若有x个电子处于n l 态，记n l x,例：氦的基态，2个电子都处于 n=1 l=0 态 记：1s2,第一激发态,记：1s 1 2s 1,2023/9/8,作者 余 虹,35,分配原则,1、泡利不相容原理：一个多电子原子系统中，不可能有两个电子具有相同的状态4对量子数 n、l、m、m s 至少有一对不同。,2、能量最小原理：基态原子中电子先填满能量小的壳层。,例题：氯原子有17个电子，写出基态原子组态。,1s22s22p63s23p5,2023/9/8,作者 余 虹,36,作者 余 虹,2023/9/8,作者 余 虹,37,氢原子的定态薛定谔方程,分离变量，令,代入方程,由,得,只能,分得三个独立变量的方程，再根据波函数的条件，自然得到三个量子数。,Back 25,
