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1、学案4 平面向量应用举例,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 ab.(2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件ab.,返回目录,利用夹角公式,平行,返回目录,与a=(a1,a2)平行且过P(x0,y0)的直线方程为;过点P(x0,y0)且与向量a=(a1,a2)垂直的直线方程为.(6)两条直线的夹角 已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则n1=(A1,B1)与l1垂直，n2=(A2,B2)与l2垂直，则l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角（或其补角）.设l1与l2的夹
2、角是，则有cos=.,a2x-a1y+a1y0-a2x0=0,a1x+a2y-a2y0-a1x0=0,|cos|,2.向量在物理中的应用(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用.(2)向量在速度的分解与合成中的应用.,返回目录,返回目录,已知向量m=(2sinx,cosx),n=(cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(mn-1)(a0,且a1).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)确定函数f(x)的单调递增区间.,考点一 向量在三角函数中的应用,返回目录,【分析】通过向量的数量积运算得到一个复合函数f(x)=loga 2sin(2x+),根据复合函数的单调性进行解决.,
3、【解析】(1)因为mn=2 sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,所以f(x)=loga 2sin(2x+)，故T=.,返回目录,(2)令g(x)=2sin(2x+),则g(x)单调递增的正值区间是(k-,k+，kZ,g(x)单调递减的正值区间是k+,k+),kZ.当01时，函数f(x)的单调递增区间为(k-,k+，kZ.,返回目录,【评析】这类问题主要是向量与三角知识点的综合.解决问题的主要方法是:通过向量的运算把问题转化为三角问题,再利用三角函数的知识解决.,对应演练,已知向量a=(sin,1),b=(1,cos),-.(1)若ab,求;(2)
4、求|a+b|的最大值.,返回目录,(1)ab ab=0 sin+cos=0=-.(2)|a+b|当sin(+)=1时，|a+b|有最大值,此时=,最大值为.,返回目录,返回目录,如图4-4-1,在RtABC中,已知BC=a,若长为 2a 的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值.,【分析】解答本题的关键是要结合图形,利用向量 的三角形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利用向量的坐标形式来解答.,考点二 向量在平面几何中的应用,【解析】解法一:ABAC，ABAC=0.AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC,BPCQ=(AP-AB)(
5、AQ-AC)=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a2-APAC+ABAP=-a2+AP(AB-AC)=-a2+PQBC=-a2+a2cos，故当cos=1,即=0(PQ与BC的方向相同)时,BPCQ最大,其最大值为0.,返回目录,返回目录,解法二:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b).且|PQ|=2a,|BC|=a,设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y),BPCQ=(x-c)
6、(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.,【评析】平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起,使它们之间的相互转化得以实施.因此,一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题,利用实数的有关知识来解决问题;另一方面,也要善于把实数问题转化为向量问题,利用向量作工具来解决相关问题.,cx-by=a2cos,BPCQ=-a2+a2cos.故当cos=1,即=0(PQ与BC方向相同）时，BPCQ最大，其最大值为0.,返回目录,返回目录,对应演练,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAC,E是垂足,F是DE的中点,求证:AFBE.,证明:AB=AC,
7、且D是BC的中点,ADBC,ADBC=0.又DEAC,DEAE=0.BD=DC,F是DE的中点,EF=-DE.AFBE=(AE+EF)(BD+DE)=AEBD+AEDE+EFBD+EFDE,=AEBD+EFBD+EFDE=(AD+DE)BD+EFBD+EFDE=ADBD+DEBD+EFBD+EFDE=DEDC-DEDC-DEDE=DEDC-DEDE=DE(DC-DE)=DEEC=0.AFBE.,返回目录,返回目录,已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,一条经过点(3,-)且方向向量为v=(-2,)的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又AM=2MB.(1)求直线l的方程;(2)求椭圆C的
8、长轴长的取值范围.,考点三 向量在解析几何中的应用,返回目录,【解析】(1)直线l过点(3,-),且方向向量为v=(-2,),l的方程为,化简得y=-(x-1).,【分析】(1)可用点斜式求直线l的方程;(2)直线方程与椭圆方程联立,消元转化为关于x(或y)的二次方 程,借助判别式找出关于a,b的不等式.注意ab的隐含条件和消元思想在解题中的作用.,(2)设直线y=-(x-1)和椭圆 交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),和x轴交于M(1,0),如图所示.由AM=2MB,知y1=-2y2.将x=-y+1代入b2x2+a2y2=a2b2中,得(b2+a2)y2-b2y+b2(1-a2)=
9、0.,返回目录,由韦达定理知,由2，得32b2=(4b2+5a2)(a2-1).化为.对方程，由0，即=(b2)2-4(b2+a2)b2(1-a2)0，化简得5a2+4b25.将式代入可知5a2+5，求得11,得1b2.由知4b2=4a2.结合1a3,求得1a.因此所求椭圆长轴长2a的取值范围为(2,).,返回目录,返回目录,【评析】(1)向量与解析几何的综合是高考中的热点,主要题型有:向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题的结合；将向量作为描述问题或解决问题的工具；以向量的坐标运算为手段，考查直线与圆锥曲线相交、轨迹等问题.(2)本题把解析几何与向量、方程、函数、不等式等知识 有机地
10、结合为一体，体现了解析几何的基本思想、方法和方程的数学思想.,返回目录,对应演练,给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A,B两点.(1)设l的斜率为1，求OA与OB夹角的余弦值的大小;(2)设FB=AF，若4,9，求l在y轴上截距的变化范围.,cos=.,（1）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y2=4x,得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=6,x1x2=1.OAOB=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.|OA|OB|=,
11、返回目录,返回目录,(2)由题设FB=AF得(x2-1,y2)=(1-x1,-y1).x2-1=(1-x1)y2=-y1 由得,.联立解得x2=,依题意有0,B,即,又F(1,0)，得直线l的方程为(-1)y=2(x-1)或(-1)y=-2(x-1).当4,9时，l在y轴上的截距为 或.由,可知 在4,9上是递减的,即直线l在y轴上截距的变化范围为,返回目录,返回目录,1.向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性.在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决.2.在用向量解决物理中的问题时，要注意读懂题意，将实际问题转化为数学问题；在给出答案时也要考虑所给出的结果要满足实际意义.,祝同学们学习上天天有进步！,
