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1、1-9已知随机变量/的分布函数为O,x0FX(X)=求：系数左；/落在区间(030.7)内的概率；随机变量X的概率密度。解：第问利用及右连续的性质k=lP0.3X0.7=P0.3X0.7-PX=0.7第问=F(0.7)-F(0.3)F(、0xl第问人寸Oelse1-10已知随机变量才的概率密度为(%)=履一W(-+)(拉普拉斯分布)，求：系数左/落在区间(0,1)内的概率随机变量X的分布函数解：第问IlF(X岫=1k=g第问尸国XX2=*X2)-*XJ=1(X)公随机变量才落在区间区，巧的概率PVXX2就是曲线y=()下的曲边梯形的面积。POX1=PO 01/(X)=J：/(尤)公x0-exx
2、02=0l-exxQ21-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？n=l二项分布n, p0, np=2n8成立,p, 4O不成立(OT)分布泊松分布高斯分布实际计算中，只需满足1OpO.l,二项分布就趋近于泊松分布ke- P(X=Tr=np汽车站出事故的次数不小于2的概率P(Z2)=1-P(k=O)-P(k=1)答案P(2)=l-l.l-011-12已知随机变量（X,丫）的概率密度为y(x,y) = 2e-(3x+4y)OX O, y O其它求：系数才？（x,y）的分布函数
3、？poLo2?第问方法一：联合分布函数&y（x，y）性质：若任意四个实数4，%伪也，满足axa2,bib2，则PqX孙，K/?2=&y(2,，2)+-FXy(4，2)-nP0X4L0y2=(l,2)+%(0,0)-%(L0)-(0,2)卡士-刈田Py)e。ef(vdudv刀法一利用力px,or2=xr(j)1-13已知随机变量(X,丫)的概率密度为 1/(,y) = jo0 x l,y X其它求条件概率密度和人3元)？判断才和Y是否独立？给出理由。先求边缘概率密度(%)、(y)注意上下限的选取人(X) =匚 y(x,)M = ,2x ,0xl0 , elsefdy,0%1J-X0,else人二
4、匚狐(又渺=,f dx ,0y1Jydx ,-1 y 0-y1- y 1 y 10else1-14已知离散型随机变量小的分布律为XI367P0.20.10.7求：才的分布函数随机变量y=3+的分布律1-15已知随机变量X服从标准高斯分布。求随机变量y=*的概率密度？随机变量ZTM的概率密度？分析:加)=阳必为也刈(y)=I%(y)k/x(y)+h(y)fxh2(y)答案：zO1-誓y(y)=标eOelse1 U1) = 1 2，x,02() = 13，百0,求随机变量IZ=X+、2的概率密度？Y.=Y=X.+X2解：设k=x（任意的）求反函数求雅克比J=T介匕（必，2）=W0=jy)=1-17
5、已知随机变量Xr的联合分布律为f12fle5尸X=m,丫=,W=O,1,2,求：边缘分布律PX=ni(加二42)和py=M5=o,2,)?条件分布律Px=my=九和py=x=m?分析：PX = m,Y = TTe 3me3 2ne-2minimnm, = 0,1,2,泊松分布Px=，=0,l,2,K88 IkPx=k = - k=OA=O 8 j ke-2- = e总!P19 (1-48)corn-3a：yn-2解：PX=m=EpX=m,y=R2-=l/2=1”8rn-2同理PY=n=PX=m.Y=n=-W=IPX=m,Y=n=PX=mPY=n即X、Y相互独立工（%）/%），Jng）又随机变量
6、X=XY2=x1+X2z=x1x2.x证明：随机变量X%的联合概率密度为一（%，%，,）=1（%）为（%-%）/（%-%-1）XUX2=BY.X二工一射X=X%=X+X2Y2=X1+X2+X31=X1+X2+.+X,1Yn=Xi+X2+X_+Xn因为IJl=1,故.r（y2，）=.（%，%必，一%一1）已知随机变量X,X2,先相互独立，概率密度分别为OO.0 0 0 0 00 0 0 1 0 0-1 100 -1 1工（%）,人（工2）,A）人（%，）=./X（%，%乂，%笫-1）=f（y）力（乃-M）力（%一）Zx(%)=Je-忖，-xEX2k=lDX=EX2-E2X答案：EX=IfiX2=
7、yDX=罢EY=Efy2=1098DY=幽525Y3122748P1/51/51/52/5离散型随机变量的概率密度表达式/(x)=P/(a4)其中心)=k=P121-25式OO,X=O0为冲激函数/r(y)=*(y-3)+/y12)+/y27)+2/y48)1-22已知两个随机变量a的数学期望为mX=L机丫=2，方差为犬=4,才=1，相关系数。Xy=O4。现定义新随机变量KW为V=-X+2YW=X+3Y求KW的期望，方差以及它们的相关系数？EV=3EW=7EaX+bY=aEX+bEYDV=4.8DW=17.8DaXy=2DX+b1DY+2abCx0. 13CxyPxy=x1-23已知随机变量,
8、y满足y=0+人，。力皆为常数。证明：Cx=a:PXy=1；：；当加x且人-华需时,-1Y=AX，线性变换，故V也服从高斯分布M = AM Cij=(Xij)，故匕b不相关高斯变量不相关和独立等价，Xb独立皆为0，方差皆为，。令%=aXx+X2Y2=aXl-X2其中aw,7w为常数。证明：（匕功服从二维高斯分布；求（LN）的均值和协方差矩阵；证明：相互独立的条件为a=B复习：n维高斯变量的性质1 .高斯变量的互不相关与独立是等价的2 .高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3 .高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布Y2a-x2Cy=ACxAr =22+2 2-2-1 2+2匕,为相互独立、二维高斯矢
9、量因此匕，芍互不相关只要证Cy为对角证即2-2=O=1-31已知三维高斯随机矢量X=X?均值为常矢量。，方差阵区22-2证明：X1，*2-，X1/3+2X2/3+X3相互独立。复习：n维高斯变量的性质1 .高斯变量的互不相关与独立是等价的2 .高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3 .高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布思路：设随机矢量yz=工一2一-X1+X2-X1+2+X33由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵Cy为对角阵1 O OA=-Ilo00231-32已知三维高斯随机变量(,X2,X3)各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求X=X+X2和与=X+X3的联合特征函数？Mx思路：T是线性变
10、换故也服从高斯分布，求得MyCy就可以写出联合特征函数Y1 = XX2 = 3111OY=AX，线性变换，故V也服从高斯分布M = AMxCy=ACxArN维高斯变量的联合特征函数Qy（，4）= Eeju Tr= exp jM UU1CyU2= exp -2 ZiZ2 Zz22）2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为fx(y) =6xy(2-x-y)0x1O1else(1)条件概率密度/(Xyf(yX)(2)X和Y是否独立？给出理由。解题思路：/G,y)=()(y)=/(Hy)J(MX)解(1)人(X)=册(D曲心孙(2-)办=463O%lOelse人（小）=y(x,y)f(x)6y(2-
11、y)=4-3xOOxlOylelseOxl O7)X和Y不相互独立4、已知(XbX2,X3)是三维高斯变量，其期望和方差为-Xm-o-732y;=x1+x2X=X2My=m2=OcX=341X=X3_3_niO212求：(1)(X1,X2)的边缘特征函数。(2)(Y1,Y2)的联合概率密度高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布所以(X1,X2)、y服从高斯分布(1)Qx (%,%) = ep7w1 +6uxu2 +4w2_ 1 1 O = O 1My17 33 2力(3 ) =/exp22-6(+) + 172502-1已知随机过程，其中为常数，随机变量服从标准高斯分布。求三个时刻的一维概率密度？
12、（离散型随机变量分布律）2-2如图2.23所示，已知随机过程仅由四条样本函数组成,出现的概率为。图2.23习题2-2在和两个时刻的分布律如下：126354211/81/43/81/4求？2-232-4已知随机过程，其中皆为随机变量。求随机过程的期望和自相关函数？若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为和，求的一维概率密度第问方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布）步骤：t时刻，为两个随机变量的函数设二维的随机矢量求反函数求雅克比行列式J，得到IJl利用公式由联合概率密度求边缘概率密度t为变量，则得到方法二：用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做（特征函数和概率
13、密度对应）2-5已知为平稳过程，随机变量。判断随机过程的平稳性？随机过程非平稳2-6已知随机过程，其中随机过程宽平稳，表示幅度；角频率为常数；随机相位服从的均匀分布，且与过程相互独立。求随机过程的期望和自相关函数？判断随机过程是否宽平稳？与过程相互独立2-8已知平稳过程的自相关函数为2-10已知过程和 差都为5。证明 的互相关函数？2-11已知过程和关函数？若和求过程的均方值和方差？，其中随机变量独立，均值都为0，方和各自平稳且联合平稳；求两个过程各自平稳且联合平稳，且。求的自相独立，求？若和独立且均值均为0，第问两个联合平稳的过程的互相关函数第问两平稳过程独立第问和独立且均值均为O2-12已
14、知两个相互独立的平稳过程和的自相关函数为令随机过程，其中是均值为2，方差为9的随机变量，且与和相互独立。求过程的均值、方差和自相关函数？随机变量A，与和相互独立可以证明过程平稳2-14已知复随机过程式中为n个实随机变量，为n个实数。求当满足什么条件时，复平稳？复过程复平稳条件2-16已知平稳过程的均方可导，。证明的互相关函数和的自相关函数分别为若为宽平稳（实）过程，则也是宽平稳（实）过程，且与联合宽平稳。2-17已知随机过程的数学期望，求随机过程的期望？2-18已知平稳过程的自相关函数。求：其导致的自相关函数和方差？和的方差比？不含周期分量补充题：若某个噪声电压是一个各态历经过程,它的一个样本
15、函数为，求该噪声的直流分量、交流平均功率解：直流分量、交流平均功率各态历经过程可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均再利用平稳过程自相关函数的性质方法二：2-19已知随机过程，其中是均值和方差皆为1的随机变量。令随机过程求的均值、自相关函数、协方差函数和方差？1 求均值，利用随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换2 .求自相关函数3 .求互协方差函数4 .求方差2-20已知平稳高斯过程的自相关函数为 求当固定时，过程的四个状态的协方差矩阵？分析：高斯过程四个状态的2-21已知平稳高斯过程的均值为O，令随机过程。证明2-22已知随机过程，其中随机相位服从上的均匀分布；
16、可能为常数，也可能为随机变量，且若为随机变量时，和随机变量相互独立。当具备什么条件时，过程各态历经？分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且解：A为常数时为平稳过程A为随机变量时和随机变量相互独立为平稳过程X、随机过程X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量是(0，2兀)上均匀分布的随机变量,且A和B独立。求(1)证明X(t)是平稳过程。(2)X(t)是各态历经过程吗？给出理由。(3)画出该随机过程的一个样本函数。(1)EX(t)=EA+cos(r+B)=2A与3相互独立r2l1Ryt+-EA+cost=5+costXL22(2)e%2()=5-利用定义求/?r(r)
17、=Ey(r)y(r+r)G()=FR()R()EY(t)Y(t+)=FX(r)-X(r-7)X(r)-X(+-11=2Rx()-Rx(-T)-Rx(+T)系统输入输出平稳GX(O)oRX()G()R()利用傅立叶变换的延时特性,G(G)=2Gx(-GX()e-j-GX()ejr+pjfjr=2Gx()-2Gx()-=IGx3(1-cosT)3-9已知平稳过程X。)和丫。)相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为GX(。)=216Gy()=:16+16令新的随机过程Z(r)=X(O+rv(0=x-r证明X和y联合平稳；求Z(f)的功率谱密度GZ(M?求X和丫的互谱密度GxyM?求X和
18、Za)的互相关函数RXZ？求V(I)和Z(r)的互相关函数RVZ(T)解：X。)、丫都平稳RX(r)=F,Gx(g)=2eTdE2X(r)=7Cx()=O=EX(t)=0Ry(T)=/Z)-2胴=EY(t)=0X与y独立.Rx(r+r)=EX(r)EY(t+)=0nXQ)与V联合平稳(2)Za)=X+丫Rz()=EZ(t)Z(t+)=EX(O+y()X(r)+y(r+r)=RX(Z)+Rx()+Rxy()+Ry(r)RXy)=0,Rz()=R()+Ry)2人,GZ(O)=GX(co)+Gco)=:十I=1“+16(3)RXy(Z)=OGx(cd)=O(4(r)=EX()Z(r+r)=EX(0X
19、(r+r)+y(r+r)=RX+RXY()=R()=F-lGx=2e-4,f,(5)z(r)=EV()Z(rr)=E-r+r)+r+r)=R()-R()二一6(7)+4如3-11已知可微平稳过程X(，)的自相关函数为RX(Z)=2exp，其导数为丫=Xt)o求互谱密度GXy(G)和功率谱密度Gy(M?I.平稳过程维纳-辛钦定理G3)J=R11.2-17已知平稳过程x(r)的均方可导y()=x)。证明x(f),Y(r)的互相关函数和丫的自相关函数分别为dd田.傅立叶变换的微分性质解：G3)=FR=F2e=2e4高斯脉冲eye22P279表第28个exp,-二,O2exp22利用傅立叶变换的微分特
20、性Rx()=RX()Gxy(助=jGx(助=2后je4R(r)=-/?；(r)G()=-(2GX(G)=2后疗,e43-17已知平稳过程X的物理功率谱密度为G(M=4，求X。)的功率谱密度GX(G)和自相关函数R(r)?画出耳(3),GX(G),0(汇)的图形。判断过程X。)是白噪声还是色噪声？给出理由物理功率谱密度定义式弓=2G3)U(o)Gx(69)=F(69)=2,-?X(T)=I(V(T)n-mxh()d-0,Ry(T)=Rx()*h()*h(-)=10z(r)*(-r)=xh()h(+)dJo2R(0)=1()(O+)d=1U（八）-(7(-0.5)d=10d=100.5=5面积法平
21、均功率：EY2(t)=Ry(O)=Py=5交流平均功率：。丫(/)=同片)-欣=5频域法矩形脉冲Au(U(Lr)的频谱等于ArSa(信号与线性系统书P1313-71式)=H()=eG()=Gx()H()=10-eSa伴=S?214/2V4V=-fGl=-f-Sa2d=52fr2-2(4)Wy=wxH(O)=0H(O)=直流分量为0交流平均功率：DY(t)=EY2(t)-m=EY2(t)=P=54-5已知系统的单位冲激响应力()=(l)U-U(D，其输入平稳信号的自相关函数为R,)=2b,)+9，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率=直流分量的平W=2*W)方解:输入平稳多
22、=晒3)=土32=Rx(O)=O输出的直流分量Wy=tnx*()=3*z(r)=j3(l-r)dr=Q输出的直流功率Wy2=-F变换频域的微分特性-jtf(t)tftC)丁)dMf)=。T)U(f)-U(I)=(IT)A(t)=A(t)-A(t)0H(G)=A()-jA()矩形脉冲u(z)-u(l)的频谱=A(M=5图广=A=,Ce告卜飙C户+S.CW)G(1f巳一fY2dHsifiI_Y()=X(MHi()Z(三)=Y()H2()Z(G)=X(G)Y(方式可以分别求凡()、H2()7(d)=Fz(r)Mf)冲激响应，输入为冲激函数(1)：r=X(r)-X(-T)输入为冲激函数，冲激响应=/f
23、)3(r-T)=H)=-ej八。)=)d=U(t)=-+()JejH()=H,()H2().1(-ejT=(1-e-j)一+(co)=-+(-)3(jcj(2)求输出Z(t)的均方值即RZ(0)，所以IEfGZ(MnRZ(T)I口,.2(-ej)(i-e+jta)2.17、(=；：=r(I-cosgT)j-j_2sin2T_sin2-2-H(69)|2=G()=1k71八+102+9s=j带入IH(三)=(三)H(T)=-S2+4(2)(2+s),4-IoS2+9(s-3)(s+3)(S-I)(S+1)系统稳定，则零头、极点都在左半平面l=H(M=U71)(r)=F,(7(t)=F,_24-1
24、2已知系统输入信号的功率谱密度为-/、2+3G(M=r7+S设计一稳定的线性系统”(，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：G (Gx(w)AW)=1GX(S) (22-5)(22+5)1(G-S)(G+s)dU(20+Sy3+S即H)=2省+的3+j用复频率代替s=j因式分解IH(三)=”($)”(T)选择依据：系统是稳定的物理可实现系统，所有极点都在左半平面4-14功率谱密度为“2的白噪声作用于IH(O)I=2的低通网络上，等效噪声带宽为XHMHZ。若在1。电阻上的输出平均功率为0.1W。求NO的值？书P162人=乎单位为HZ，故本题A=2%=2%XH1()624PY=TJ=GyW)d0
25、亍匚GX2加解：对于低通情况=至AwNOH3)LxP=(%.%忸(犹axXH1=0.1=2-106Zo4=NL10-724XH或者调用公式(t)延时？图4.24习题4-184-18如图4.24所示的线性系统，系统输入W是零均值，物理谱密度为1的白噪声，且g）=。判断X”）和y分别服从什么分布？给出理由。证明丫是严平稳过程。求卬和X（f）的互相关函数，丫的功率谱密度？写出y（，）的一维概率密度表达式？判断同一时刻X。）和丫是否独立？给出理由。解：W是白噪声（白噪声带宽无限，由定义），线性系统=UQ），系统传递函数（=一!一1+j是个低通线性系统（带宽有限）由4.5节结论2若系统揄入信号的等效噪声
26、带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，X为高斯过程。由4.5节结论1可知，丫为高斯过程。nX（t）和Y（t）服从高斯分布证明丫是严平稳过程证：W是白嗓声（宽平稳过程），通过线性系统的输出丫也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。求W和X的互相关函数，丫0)的功率谱密度RmW=Rw()*z(r)=15(r)*e-tU(t)=；eU()h(t)=e-tU(t)oH()=!l+yGX()=H(fGw(=L-傅立叶反变换=RX(r)=-exp(-)2(1+co)4RM=EY(t)Y(t)=EX(0-X(-nX(+)-X(r+Z-T)=2R(r)-Rx(-T)-RX(r+T)=:2exp(TH)-exp(-r-T)-ex(-r+T)可得Gy(O)=7-re-joir4Ll+y2+2+2J=-J(i+/)=Jt(I-COSOT)4Ll+2+27J1+4)习题3-7的结论Gy3)=2Gx().(1-cosT)求y一维概率密度表达式y(f)是高斯过程RXy(O)=RX(0)-RX(-7)=-l-exp(-T)0=Xa)和丫在同一时刻不独立。EY=LEY2=(-J)2duv=02du
