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1、层次分析法,一、引 言,2023/9/9,3,人们在日常活动中，常常会面对一些决策问题。例如，大学生选择职业时，往往会从专业对口、发展潜力、待遇收入等多方面考虑和决策。许多决策问题是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统，很难用通常的数学模型解决。例如，在一群人中挑个子最高的,2023/9/9,4,很容易办到，选最胖者也不难，但要挑选一个最高、最胖且最帅的人就不容易了。此类决策问题的困难主要在于:(1)有的指标不易量化;(2)有些指标相互关联，甚至相互矛盾，导致决策复杂化。,2023/9/9,5,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例2.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、
2、费用、居住条件等因素选择.,2023/9/9,6,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,2023/9/9,7,例4 科技成果的综合评价,诺贝尔等各种奖项的评选,2023/9/9,8,层次分析法(AHP)是美国运筹学家Lsaaty在20世纪70年代初提出的一种定性分析与定量分析相结合的多准则决策方法，简单、实用，特别适用于人的定性判断起重要作用，对决策结果难于直接准确计量的问题。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。,2023/9/9,9,层次分析法是数学建模竞赛中的常用方法。在数学建模竞赛论文中，时常能看到层次分析法。需要提醒大家注意的是，有些学生没有搞清楚层次分析法的特点、原理、优缺点及局限性，在
3、建模中随意乱用层次分析法。在本讲中，大家首先要搞清楚层,2023/9/9,10,次分析法主要用于解决何种问题，知晓层次分析法的基本原理和步骤，然后还要能熟练使用层次分析法软件。大家一定要完整地完成23个不同类型的实例，体验层次分析法的过程与结果。,二、层次分析法的原理与步骤,2023/9/9,12,基本的思路,先分解后综合的系统思想整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案
4、、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。,2023/9/9,13,一、层次分析法基本原理,分解,建立,确定,计算,判断,实际问题,层次结构,多个因素,诸因素的相 对重要性,权向量,综合决策,2023/9/9,14,层次分析法的基本思路与人们对复杂问题的决策过程大体一致。当决策者在对问题进行分析时，首先要对分析对象的因素建立起彼此相关的层次结构，这种层次结构可以清晰地反映出诸相关因素(目标、准则、对象)的彼此关系，使得决策者能够把复杂的问题理顺，然后用一定,2023/9/9,15,标度将人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定量分析。层次分析法大致可
5、分为下面四个步骤：(1)建立层次结构；(2)构造比较判断矩阵；(3)单准则排序和一致性检验；(4)层次总排序和一致性检验。,三、层次结构的建立,2023/9/9,17,层次分析法首先要把决策问题层次化。所谓层次化就是根据问题的性质以及要达到的目标，将问题分解为不同的因素，并按各因素间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。下面通过一个实例来说明构造层次以及层次分析法的决策过程。,2023/9/9,18,例1 假设某企业领导要决定一笔资金如何使用。经过调研，现有下列方案可供选择：(1)作为奖金发给职工；(2)扩建宿舍和食堂等福利设施;(3)举办职工进修班；(4)建图书馆、俱乐部等；(5)
6、引进新设备进行技术改造。,2023/9/9,19,从调动职工工作积极性，提高职工文化技术水平和改善职工物质文化生活条件来看，这些方案都有其合理因素。如何使得这笔资金更合理地使用，就是企业领导面临的决策问题。注意 在建模实际问题中,如需用层次分析法，则首先要根据问题的特点建立适当的层次。,2023/9/9,20,请大家揣摩本题中构造层次结构的思路与过程。通过分析，上述方案都是为了更好地调动职工工作积极性，提高企业技术水平和改善职工物质文化条件，而最终目的是为了企业进一步发展，增强企业的竞争力。据此，可以建立下列层次结构：,2023/9/9,21,资金使用问题的层次分析结构图,2023/9/9,2
7、2,也就是说，对于资金使用这个问题来说，模型结构分为三层。最高为目标层，即合理使用资金；中间为准则层，即合理使用资金的三个准则：调动职工积极性，提高企业技术水平和改善职工生活；最下一层为方案层,即可供选择的方案。,2023/9/9,23,建立问题的层次结构是层次分析法中最重要的一步。通常，层次结构分为三层，最高层只有一个元素，即决策者要达到的目标；中间层为衡量目标是否达到的若干判断准则；最低层为备选的具体方案。上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用。,2023/9/9,24,除目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配；除方案层外，每个元素至少支配下一层一个元素；同一层次元素
8、不存在支配关系。建立层次结构的关键是能否构造出合理的满足一定支配关系的准则。,四、比较判断矩阵的构造,2023/9/9,26,由于在决策者心目中，各准则对目标的影响程度不同，各方案对每个准则的影响程度也不同，所以建立层次结构后的首要任务是确定各准则对目标以及各方案对每个准则的权重。层次分析法确定上述权重的方法是构造准则层和方案层的比较判断矩阵。,2023/9/9,27,1.准则层比较判断矩阵的构造 下面介绍准则C1,C2,Cn对目标 Z的权重的确定方法。在复杂问题中，准则的权重很难直接获得且不易定量化。Saaty提出可用对准则两两比较的方法来确定权重，即每次取两个准则Ci和Cj，用aij表示C
9、i和Cj对Z的影响之比,全部比较,2023/9/9,28,结果用矩阵A=(aij)表示，称为准则层的比较判断矩阵。显然，aji=1/aij，称A为正互反矩阵。对于如何确定aij的值，Saaty提出用数字19及其倒数作为标度。下表中列出了19标度的含义：,2023/9/9,29,2023/9/9,30,权重系数的量化过程,成对比较从 c1,c2,cn中任取ci与cj比较它们对于z贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给ci/cj赋值：ci/cj1，认为“ci与cj重要程度相同”ci/cj3，认为“ci比cj重要程度略大”ci/cj5，认为“ci比cj重要程度大”ci/cj7，认为“ci比cj重要程
10、度大很多”ci/cj9，认为“ci比cj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。,2023/9/9,31,构造成对比较矩阵 判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。假定C层中因素Ck与下一层次中因素p1，p2，pn有联系，则我们构造的判断矩阵如下表。,bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示。,2023/9/9,32,（1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在59级之间，采用1 9的标度反映了大多数人的判断能力；（2）大量的社会调查表明，19的比例标度早已为人们所熟悉和采用；（3）科学考察和实践
11、表明，19的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。,为什么采用19级的指标比例呢？,2023/9/9,33,判断矩阵的确定具有很强的主观性。比如，在例1中，假定企业领导对于资金使用的态度是：首先是提高企业的技术水平，其次是改善职工生活条件，最后是调动职工积极性，则准则层对目标层的比较判断矩阵可以设定为,2023/9/9,34,显然，若Ci和Cj对Z的影响之比为aij，Cj和Ck对Z的影响之比为ajk,则Ci和Ck对Z的影响之比为aik，即正互反矩阵A中元素应满足：aijajk=aik，此,2023/9/9,35,时称A为一致矩阵。单凭经验构造出的比较判断矩阵不一定满足一致性，如
12、例1中的判断矩阵。比较判断矩阵严格满足一致性是极为困难的，层次分析法要求比较判断矩阵按一定程度满足一致性。,2023/9/9,36,2.方案层比较判断矩阵的构造 类似地可以构造出各方案对每个准则的比较判断矩阵。例如，例1中的各方案对每个准则的比较判断矩阵可以设为,2023/9/9,37,注：P1与C2无关,2023/9/9,38,构造出判断矩阵后，即可对判断矩阵进行单排序计算。在各层次排序后还要进行各层次总排序，其中还存在着判断矩阵的一致性检验问题。,注：P5与C3无关,五、单准则排序与一致性检验,2023/9/9,40,1.单准则下的排序 根据比较判断矩阵确定某层各元素对上层某元素相对权重排
13、序的过程称为单准则下的排序。通常有各方案对某准则的权重排序和各准则对目标的权重排序。计算权重的方法有多种，比较成熟的是特征根方法。,2023/9/9,41,特征根方法的理论依据是Perron定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性。Perron定理 设n阶方阵A0(所有元素大于0)，为A的最大特征值，则(1)为正特征值，且对应的特征向量为正向量；(2)对于A的任何其它特征值,2023/9/9,42,恒有；(3)为A的单特征值，它所对应的特征向量除相差一个常数因子外是唯一的。下面再给出两个定理，这两个定理分别是权重排序原理和一致性检验原理的理论基础。定理1 若A为一致矩阵，则,2023/9
14、/9,43,(1)A必为正互反矩阵；(2)A的任意两行(列)成比例；(3)A的最大特征值，n为A的阶，从而A的其余特征值均为零;(4)若A的最大特征值 对应的特征向量为，则，即,注：矩阵特征值的总和（矩阵的迹）与矩阵主对角线上元素的总和相等。正互反矩阵主对角线上元素全为1.,2023/9/9,44,定理2 若A为n阶正互反矩阵，则,2023/9/9,45,(1)；(2)A为一致矩阵。尽管上述结论的证明并不复杂，有些内容还是考研中的常见内容，如定理1的(2)和(3)，但绝大部分学生理解起来还是比较困难。不过这并没有关系，因为我们只要利用这两个定理得出排序和一致性检验的方法即可。,2023/9/9
15、,46,根据定理1中的结论(4)，可以得出确定排序向量的下列方法：求出比较判断矩阵A最大特征值 的特征向量W，经归一化后即为各准则对目标或各方案对某准则的排序权重向量。可借助软件求特征值特征向量。,2023/9/9,47,2.比较判断矩阵的一致性检验 虽然构造比较判断矩阵时，不要求具有严格的一致性，但一个混乱、不一致的比较判断矩阵有可能导致决策的失误，所以我们希望在判断时应大体一致，从而对每一层在做单准则排序时，均需要做一致性检验。根据定理2，且A为一致矩,2023/9/9,48,阵，就这意味着 比n大得越多，A的不一致程度就越严重。因此，可以用作为衡量不一致程度的数量指标，CI称为一致性指标
16、。CI其实即为除最大特征值以外的其余特征值的负平均值。为什么？,2023/9/9,49,究竟CI小到什么程度才算达到我们接受的“满意的一致性”呢？Lsaaty按照下列方法给出了衡量是否达到“满意的一致性”的一种数量指标：随机构造500个n阶正互反矩阵，求出其最大特征值的平均值，并计算,2023/9/9,50,则RI可理解为n阶比较判断矩阵的平均一致性指标，称为平均随机一致性指标。RI的具体数值见下表：,注：一、二阶正互反矩阵必为一致性矩阵,2023/9/9,51,显然，当CI与RI之比较小时，可以认为A的不一致性程度很小，达到了所谓的“满意的一致性”。称为一致性比例。通常认为,当CR0.1时，
17、判断矩阵的一致性可以接受，否则应对其适当调整。,六、层次总排序及一致性检验,2023/9/9,53,1.层次总排序 计算同一层次中所有元素对总目标的排序权重向量的过程称为层次总排序。下面通过一个简单的例子来说明这一过程：先将一块石头A分成两大块B1和B2，然后再分别将B1和B2各分为两组:,2023/9/9,54,C1,C2；C3,C4,C5。,2023/9/9,55,显然，第2层对最高层的排序向量为而第3层对第2层单准则下的排序为,c1,c2,c3,c4,c5,B1,B2,2023/9/9,56,C1对A的权重=0.52*0.25+0*0.75=0.13，依次类推可得到C2 C5对A的权重，
18、从而得到第3层对最高层的排序向量，可用矩阵表示为：,2023/9/9,57,一般地，若k个层次中第i个层次的排序矩阵为W(i)=(Wj(i)，其中Wj(i)为第i层各元素对上一层第j个元素的排序向量（列向量），则第k层的总排序向量为。,2023/9/9,58,2.层次总排序的一致性检验 在对各层元素进行比较时，尽管每一层中所用的比较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来。因此，需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著。这个检验过程称为层次总排序的一致性检验。,2023/9/9,59,设第k层的一致性指标为，n为第k层因素的个数，相应的随机
19、一致性指标为，W(k)为第k层对目标层的排序向量,定义CI(k)=(CI1(k),CI2(k),CIn(k)W(k)RI(k)=(RI1(k),RI2(k),RIn(k)W(k),2023/9/9,60,则第k层的组合一致性比率为 当 CR(k)0.1 时，认为整个层次的比较判断通过了一致性检验。,2023/9/9,61,再谈层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性
20、检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,2023/9/9,62,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例2.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,2023/9/9,63,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分
21、析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,2023/9/9,64,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,C2,Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1,Cn对O的权向量,选择旅游地,2023/9/9,65,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,2023/9/9,66,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较
22、阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,2023/9/9,67,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,2023/9/9,68,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n
23、阶正互反阵最大特征根 n,且=n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij,形成A，计算CI 即得RI。,定义一致性比率 CR=CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,2023/9/9,69,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12(查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性
24、检验,2023/9/9,70,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,最大特征根 1 2 n,权向量 w1(3)w2(3)wn(3),2023/9/9,71,（2）考虑第3层对第2层由19尺度得,2023/9/9,72,权向量矩阵,2023/9/9,73,（3）组合权向量,2023/9/9,74,（4）组合一致性检验,2023/9/9,75,组合权向量,RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检验,w(2),方案P1对目标的组合权重为0.5950.2
25、63+=0.300,方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T,2023/9/9,76,2023/9/9,77,2023/9/9,78,如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。为保证递阶层次结构的合理性，需注意以下问题：1、要对问题的影响因素有充分的理解，必要的时候可以咨询相关的专家；2、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多 3、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。4、以上均为完全层次,层次分解时注意事项,七、判断矩阵的调整及AHP缺陷,2023/9/9,80,当比较
26、判断矩阵过于偏离一致性时，就必须对其调整。调整比较判断矩阵的方法比较复杂，在实际中可借助软件进行调整。层次分析法把决策过程中的定量和定性因素有机地结合起来，用统一的方法进行处理，简单、直观、易掌握，是一种较好的决策方法。但层次,2023/9/9,81,分析法也存在着应用上的局限性：(1)层次分析法主要针对方案大体确定的决策问题，即只能从原方案中选优，不能生成新的方案；(2)层次分析法的比较判断过程较为粗糙，不太适用于精度要求较高的决策问题;(3)层次分析法在很大程度上依,2023/9/9,82,赖于人们的经验，受主观因素的影响很大。它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可
27、能存在的严重片面性。,八、层次分析法软件与练习,2023/9/9,84,1.层次分析法软件YAAHP 张建华教授编制了层次分析法专用软件 YAAHP，该软件不仅可以极为方便地构建层次、输入比较判断矩阵、进行一致性检验、计算各类排序向量、输出所有数据，而且在一致性检验未通过时，还可以应用PSO算法自动调整比较判断矩阵。,2023/9/9,85,下面请看利用YAAHP软件对资金使用问题进行决策的过程和详细结果报告。,2023/9/9,86,例2 校园火灾危险性分析 高校校园建筑物和人口都十分密集，群死群伤的火灾事件时有发生。由于校园火灾发生具有随机性、发展过程的复杂性及资料的不完备性，在进行校园火
28、灾危险性分析时，很多因素都无法直接量化，因此采用层次分析法可将问题定量化。,2023/9/9,87,为了确定准则层和方案层，首先按场所功能不同将校园划分为如下区域：宿舍区、教学办公区、实验区、公共活动区(体育场，食堂，礼堂)、图书馆；其次可以从发生火灾的可能性和火灾造成后果的严重程度这两方面来考虑火灾的危险性，从而可按以下5个评价因子：人口密度、财产密,2023/9/9,88,度、易燃易爆物、火源情况、疏散救援，对不同场所的火灾危险性进行分析。由此建立如下的层次结构：,2023/9/9,89,2023/9/9,90,通过统计分析，准则层对目标层的成对比较判断矩阵为容易求得排序权重向量,2023
29、/9/9,91,类似地可求出方案层对准则层各元素的成对比较判断矩阵及相应权重向量见后表。从而可得方案层对目标层的组合权向量为,2023/9/9,92,2023/9/9,93,层次总排序的一致性检验通过。由组合权重可知火灾危险性排序由高到低为：实验区、宿舍区、公共活动区、教学办公区、图书馆。,2023/9/9,94,2023/9/9,95,2023/9/9,96,2023/9/9,97,2023/9/9,98,2023/9/9,99,练习1 高考志愿选择 填报高考志愿要考虑学校声誉、教学、科研和生活条件，又要结合本人兴趣、考试成绩和就业等因素。每一因素内还含有若干子因素，如教学因素中要考虑到教师水平、教学条件等。考生可填ABCD四个志愿。试用层次分析法作出决策。,2023/9/9,100,练习2 城市跨江交通方案选择 填报渡江跨海的方法主要有建桥梁、修隧道、轮渡三种，进行抉择时不外乎要从效益和代价两方面考虑，这两方面又各有若干准则加以度量。请你试用层次分析法对沿江某个城市横渡长江方案作出决策。,
