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1、第二章,力系的简化,本章介绍,力系的分类,力系简化结果讨论,平行力系的中心和重心,汇交力系的合成,力偶系的合成,任意力系向任意一点简化、主矢和主矩,力系的简化（也称为力系的合成）：用一简单力系等效代替一复杂力系的过程，同时也是合成的过程。,2-1 力系的分类,力系,平面力系力系中各力作用线位于同一平面,空间力系力系中各力作用线不在同一平面,按力系各力作用线位置特征可将力系分为汇交力系、平行力系和任意力系。,汇交力系力系各力作用线汇交于一点,平行力系力系各力作用线相互平行,任意力系力系各力作用线既不完全汇交也不完全平行。,于是可有,平面汇交力系,空间平行力系,空间力系,平面力系,平面平行力系,空
2、间汇交力系,平面任意力系,空间任意力系,空间力偶系,力偶系,平面力偶系,合力为：,称为力多边形规则,几何法和解析法,2-2 汇交力系的合成,1、几何法,几何法,各分力相连的顺序任意，但合成的结果是惟一的。,结论,空间汇交力系可合成（简化）为一合力，此合力等于各分力的矢量和，作用线通过汇交点。,几何法合成是将各力首尾相连，形成空间力多边形，由多边形起点指向终点的封闭边为合力矢量。,2、合力投影定理,合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。,3、解析法,各力沿坐标轴投影得:,合力大小为:,合力方向为:,例2-1 在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示。,由上表得,所
3、以合力的大小为,合力的方向余弦为,解：,合力FR 与x，y，z 轴间夹角,试求：这四个力的合力的大小和方向。,2-3 力偶系的合成,1、空间力偶系的合成,任意个空间分布的力偶可以合成为一合力偶，合偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。,推广到一般：,将上式在直角坐标x、y、z上投影得：,合力偶矩矢的大小：,合力偶矩矢的方向：,即得到合力偶矩矢解析式。,2、平面力偶系的合成,推广到具有n 个力偶的情形,已知：,则有：,即：同平面内的任意个力偶，可以合成为一个合力偶，合力偶等于各个力偶矩的代数和。,求：工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz及合力偶矩矢的大小和方向。,例2-2,在工件的
4、四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80 Nm。,将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。,可得,所以合力偶矩矢的大小,合力偶矩矢的方向余弦,解：,2-4 任意力系向任意一点简化、主矢和主矩,1、力的平移定理,附加力偶,力的平移定理,简化前后对比，表明力可以平移但要附加一个力偶。,力的平移定理：,作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必须附加一个力偶。这个附加力偶的矩矢等于原力对于平移点之矩矢。,此定理是力系向一点简化的理论根据。,攻丝用单手加力时,攻丝用单手加力时,攻丝应当用双手，施加力偶以免折断丝锥。,2、任意力系向任意一点简化，主矢和主矩,O简化中心,利用力平移定理
5、将各力向简化中心平移；,得到平面汇交力系和平面力偶系，分别合成可得作用于O点的一个力FR和一个力偶MO,与原力系等效。,FR称为原力系的主矢，等于原力系中各力的矢量和；MO称为原力系对简化中心的主矩，等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。,MOMO（Fi）,FRx Fix,FRy Fiy,任意力系向任意一点简化，主矢和主矩,简化为汇交力系和力偶系,空间任意力系向任一点简化，一般得一个主矢和一个主矩，它们共同作用的结果与原力系等效。,主矢等于原力系中各力的矢量和，与简化中心的位置无关。,主矩等于原力系中各力对简化中心力矩的矢量和，一般与简化中心的位置有关。,任意力系的主矢和主矩是决定力系对刚体
6、作用效应的两个基本物理量。,求主矢和主矩的解析法,（1）主矢,则主矢大小为：,方向为：,主矢作用于简化中心,求主矢和主矩的解析法,（2）主矩,则主矩大小为：,方向为：,2-5 力系的简化结果分析,简化结果为通过简化中心的合力。,简化结果为一合力偶。,因力偶矩矢与矩心位置无关，故主矩与简化中心的位置无关。,原空间力系合成为一合力FR。,但合力作用线距简化中心：,合力对简化中心的矩等于主矩：,合力矩定理：空间任意力系的合力对于任一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。,主矩：,因此有：,称为力螺旋,左螺旋,右螺旋,力螺旋实例,力螺旋实例,(3)若主矢FR与主矩MO既不平行也不垂直,表明原空间任意力
7、系合成为一个力螺旋。,空间任意力系平衡。,下一章将重点讨论。,用力系简化的理论分析固定端的约束反力。,固定端,特点是：同时存在约束反力和约束反力偶,例2-3,飞机机翼,例2-4 折杆承受平面力和力偶的作用，若已知F1=50N，F2=850N，F3=250N，F4=850N，M1=200N.m，M2=400N.m，其他尺寸如图所示（单位为cm）。,求：（1）所有力向A点简化的结果；（2）将A点简化的结果再简化成作用在AB线上的合力。,解：（1）向A点简化,已知：F1=50N，F2=850N，F3=250N，F4=850N，M1=200N.m，M2=400N.m,（2）求作用在AB线上的合力,例2
8、-5 试求如图所示平面任意力系的合力。（图中长度单位为m）,解：（1）向O点简化,（2）求合力,合力作用线与x轴交于点K，K点横坐标为,正方体各边长a，在四个顶点O、A、B、C上分别作用着大小都等于P 的四个力F1、F2、F3、F4。,例2-6,试求:力系向点O的简化结果及力系的最后合成结果。,解：（1）将各力向点O简化。,各力在轴x、y、z上的投影的代数和分别为：,各主矢的大小和方向为：,可见主矢过O点，位于yOz平面内，与 y 和 z 轴的夹角均为45。,各力对各坐标轴x、y、z的力矩的代数和分别为,则力系对点O的主矩MO的大小和方向分别为,可见，主矩MO也在Oyz平面内，并与轴y和z分别
9、成135和45夹角，并与FR相垂直。,力系向O点简化得一力和一力偶。,（2）求最后合成结果,即合力FR的作用线通过点C并沿对角线CE。,因为，且二者垂直，故力系可以进一步合成为一个合力FR，如图。,其作用线到O 的距离为：,2-6 平行力系的中心和重 心,1 平行力系的中心,平行力系中心是平行力系合力作用线通过的一个点。,以两平行力为例，其合力为：,合力作用线位置由合力矩定理确定。,与两力平行。,合力内分AB间的线段，内分比与力的大小成反比。,A,B,C,将两平行力转动相同角度，显然合力也绕作用点C转动相同角度。,由此可知：平行力系合力作用点的位置与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行
10、力的方向无关。,此合力作用点称为平行力系中心。,为确定平行力系中心的位置rC，,取n0为沿力方向的单位矢量，于是：,由合力矩定理，有：,得到：,推广到 n 个力情形：,rC 与力的大小和作用点位置有关，而与力的方向无关。,在直角坐标下平行力系中心的位置公式为：,xC、yC、zC坐分别为平行力系中心位置坐标，xi、yi、zi为各力作用点的坐标。,2 重心,地球表面物体与地球相比很小，故物体的重力可视为平行力系。,此平行力系的中心称为重心。,设物体由若干部分组成，其第 i 部分重pi，重心坐标为（xi，yi，zi)，则物体重心C坐标为：,若此物体是均质的，令 pi=vi,为比重，v为部分体积，则：
11、,平面问题：,3 确定物体重心的方法,均质物体的重心与比重无关，只与物体的形状有关，并与形心重合。,（1）简单几何形状的重心,几何形状简单的均质物体的重心，可利用对称性及积分的方法确定其形心坐标。,（2）用组合法求重心,a 分割法,一个物体由若干个简单形状物体组合而成，这时简单形状物体重心坐标已知，可用前述公式计算物体的重心。,例2-7,解：,取坐标如图；,由对称性：,由将图形分割为三个矩形：,求平面图形的形心。,三个矩形的面积和形心坐标分别为：,则平面图形的形心坐标为：,b 负面积法,以上例为例，将平面图形看作是由5050的平面切去4030矩形得到。,则平面图形的形心坐标为：,计算仍按分割法求，只需将切去的面积冠以负号即可。,两个矩形的面积和形心坐标分别为：,（3）用实验法求重心,a 悬挂法,对于形状复杂和材料不均匀的薄板可用悬挂法确定其重心。,b 称重法,对于形状复杂，体积庞大的物体可用称重法确定其重心。,由,易得：,B,为求yC，将后轮抬高H，秤上读数为F2。,由,而,又,代入（a）式得：,本章完,
