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1、微分方程的物理背景动力机制的数学模型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,为什么要学习常微分方程？,常微分方程是物质运动动力机制的数学表述，大量的客观现实世界运动过程（包括自然界和社会界）的数学模型是常微分方程。因此，建立数学模型以后运用数学的技巧求解方程则能精确描述运动过程。,如何建立数学模型？,从物理、力学等已确定的自然规律出发，考虑其主要因素、忽略次要因素，提炼出状态变量，包括自变量和因变量（未知函数），然后运用相应规律和实际情况，构造出自变量、未知函数及其导数的关系式，即相应的微分方程。,1.质点的弹性振动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已确定的自然规律：,1.牛顿第二定
2、律:F=ma 2.胡克(Hooke.R)定律:质点受到的弹性回复力与位移成正比，即f2=-ky,其它事实：,质点在介质中运动所受阻力与质点运动速度成正比，即f1=-rv.,令质点离开平衡位置的距离为y(t),介质中运动所受阻力为f1，弹性回复力为f2，所受外力为F=f3，各力的数学表示代入牛顿第二定律得：,即得,再令,得规范式,特例1：真空中落体运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当r=k=0,即介质阻尼与弹性约束为0，且F=mg,则微分方程为,再若t=0时，v(0)=v0,y(0)=y0 则得,特例2：简谐振动,当r=0，F=0,则微分方程为,可以验证方程的解为,机动 目录 上页 下页
3、 返回 结束,2.RLC 交变电路,已确定的事实：,1.欧姆定律：2.楞次定律:3.Kirchhoff定律:,其它事实：,令电流i=i(t)，电阻的电势降uR=uR(t)，电感的电势降uL=uL(t)，电容的电势降uC=uC(t)，电容电荷Q=Q(t)，电路输入电压U=U(t),根据Kirchhoff定律有,即得,再令,得规范式,这说明有阻尼的机械振动与RLC电路，其运动变化机理，在数学上是统一的。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.冷却与衰变,例1.1一温度为500的物体置于20的环境中，2分钟后温度降为400，问10分钟后温度降至多少？,冷却定律：
4、物体温度下降速率和物体与环境温差成正比,令温度为T=T(t),将冷却定律表示成数学形式即得,其中k为比例常数，从而得t 与 T的微元关系,两边积分得,根据初始数据t=0,T=500以及t=2,T=400即得C=480,在表达式,中代入t=10得,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,例1.2 放射性衰变,已确定规律：放射性物质的放射速率与质量本身成正比,令放射性物质的质量为m=m(t),将放射律表示成数学形式即得,其中k为比例常数，从而得t 与 m 的微元关系,两边积分得,令初始数据为t=t0,m=m0 即得,从而放射过程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结
5、束,4.人口增长,（1）马尔萨斯人口律：,若人口的生存环境宽松，食物充裕，则其增长率与人口基数成正比。,设某地区人口总数为N=N(t),由马尔萨斯人口律得,从而得t 与 N 的微元关系,两边积分得,令初始数据t=t0,N=N0即得,（2）Logistic人口律：,在人口群体中，由于生存竞争而产生一个与人口平方成正比的负增长率。,设某地区人口总数为N=N(t),由Logistic律得,令ab,N(t0)=N0解得,5.溶液淡化,例1.3.容器内有100升浓度10的盐溶液，若以3升/秒的匀速往容器中注入净水，同时又以2升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，问过程开始后1分钟时溶液的浓度？,溶液淡化是一不
6、均匀的过程，须用微元法来分析！,设时刻为t时溶液的含盐量为x=x(t),任选时间微元区间t,t+dt,由于dt充分小，因此微元时间间隔内过程可视为均匀的。根据微分的定义即得,根据厨师数据x(0)=10,即得溶液淡化的数学模型：,求解后得：,，1分钟后,，浓度为,6.二体运动（行星绕日运动）,Kepler三律（被称为“太空宪法”）：（A）行星绕日运动轨道是椭圆，太阳是轨道的一焦点上；（B）太阳与行星的连线（经线）在相同时间间隔内扫过相同的面积；（C）行星公转周期的平方与它到太阳平均距离的立方成正比。,精确解释,建立行星绕日运动的数学模型,万有引力定律：行星受到太阳的引力f与矢径r的平方成反比，与
7、行星质量m与太阳质量M的乘积成正比，引力方向与矢径方向相反。,运用牛顿第二定律，表示成数学表达式得：,其中ur表示单位矢径。,令 这里,表示动点P的极坐标,此时矢径为,记,表示矢径方向的单位向量，,表示与矢径正交的单位矢量,则有如下关系式：,令 v=v(t)表示 U(t)的瞬时速度，则有,令 a=a(t)表示 v(t)的瞬时加速度，则有,简记,则有,代入牛顿第二定律得,由于两个单位向量的正交性即得,这就是二体运动方程由极坐标表示的行星绕日运动的微分方程。,试建立具有下列性质的曲线满足的微分方程。,1，曲线上任意点的切线与该点的径向夹角为。,2，曲线上任意点的切线介于两个坐标之间的部分等于定长a.,3.容器内有100升浓度20的盐溶液，若以3升/秒的匀速往容器中注入3的溶液，同时又以2升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，将溶液稀释的定量过程用微分方程来描述。,
