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1、第4章 连续时间系统的复频域分析,1.拉普拉斯变换的定义2.拉普拉斯变换的性质3.系统复频域零极点分析4.系统复频域稳定性分析,第1节 拉普拉斯变换定义,1.引言2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域)4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系,1.引言,?问题；为什么还需要引入拉普拉斯变换？,与傅立叶变换类似，拉普拉斯变换是研究线性系统的一种有效而重要的工具。把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。傅立叶变换与拉普拉斯变换对LTI系统的分析都可称为变换域分析（与时域分析对应）,引入Laplace变换的必要性,Fourier变换的局限性：1）不是所有信号（
2、如正指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 x(t)必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在 满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；2）可以简化某些变换形式或者运算过程。（如系统频域分析中的奇异信号）,引入Laplace变换的必要性,Laplace变换的优点：1)变换简单且容易计算；2)可应用复频率的概念具有更普遍的意义；3)可处理的信号范围更广；4)在微分方程的求解中变微分运算为代数运算；5)自动引入初始条件，直接求出全解。,引入Laplace变换的必要性,1.引言2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域)4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系,2从傅立叶变换到拉普拉斯变换,问题的提
3、出：不是所有信号,（如指数信号,）都满足狄里赫利条件（信号,必须绝对可积）而存在傅立叶变换.,问题的提出：不是所有信号,（如指数信号,）都满足狄里赫利条件（信号,必须绝对可积）而存在傅立叶变换.,问题的提出,不是所有信号,）都满足狄里赫利条件（信号,可选的方案,则可以对拉普拉斯拉斯变换做如下的理解:,问题的提出：不是所有信号,（如指数信号,）都满足狄里赫利条件（信号,问题的提出：不是所有信号,（如指数信号,）都满足狄里赫利条件（信号,不是所有信号,则可以对拉普拉斯变换做如下的理解:,具体推导如下：,问题的提出：不是所有信号,（如指数信号,）都满足狄里赫利条件（信号,问题的提出：不是所有信号,（
4、如指数信号,）都满足狄里赫利条件（信号,不是所有信号,拉普拉斯变换具体推导-1,设有信号f(t)e-t(为实数)，并且能选择适当的使f(t)e-t绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。若用F(+j)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，则有,根据傅里叶逆变换的定义，则,问题的提出：不是所有信号,（如指数信号,）都满足狄里赫利条件（信号,问题的提出：不是所有信号,（如指数信号,）都满足狄里赫利条件（信号,不是所有信号,拉普拉斯变换具体推导-2,上式两边乘以et，得,双边带Laplace变换,双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。实际
5、中的信号都是有起始时刻的(tt0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0,则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。,1.引言2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域)4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系5.复频域系统函数H(S),3.单边拉普拉斯变换定义,其中积分下标取0(0-)，是为了将冲激函数(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。,重要性质-唯一性,重要性质-唯一性,正是这个性质，才可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并
6、使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。,？问题；收敛域如何确定？,Laplace变换的收敛域,与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足,则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的收敛域。,举例：如何确定收敛域,举例：如何确定收敛域,Laplace变换的收敛域,单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于j轴的一条直线的右边区域，可表示为,常用信号的单边拉普拉斯变换-1,常用信号的单边拉普拉斯变换-2,常用信号的单边拉普拉斯变换-3,单边拉普拉斯变换对-1,单边拉普拉斯变换对
7、-2,单边拉普拉斯变换对-3,1.引言2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域)4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系,4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系,目的：进一步加深对变换域分析的理解,?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？,?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？,?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？,?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？,?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？,从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换,重点；关注,在这种条件下：Laplace变换可以看成是Fourier变换从频域向复频域的扩展。,更一般地：,
