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1、2023/9/11,数学建模与系统仿真,主讲:许春根南京理工大学应用数学系,Tel:4315877(O)Email:Web:Http:/,2023/9/11,预备知识:微积分(或高等数学)、线性代数、微分方程、概率论、计算机基础等。参考书:数学模型(第二版)姜启源编 高等教育出版社,2023/9/11,第1章 建立数学模型1.概要,什么是数学模型？,概括地说：就是用数学语言和方法对实际问题的抽象和描述。,2023/9/11,数学模型、数学建模及其过程:,数学模型(Mathematical Model)：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学
2、结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。,2023/9/11,数学建模(Mathematical Modelling)：,把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。,2023/9/11,一个好的数学模型应该具备：,1、对所给问题有较全面的考虑,列举主因素。选取主因素计入模型。考虑其他因素的影
3、响，对模型进行修正,2023/9/11,一个好的数学模型应该具备：,2、创造性地改造已有模型或自创新的模型,2023/9/11,一个好的数学模型应该具备：,3、注重结果分析，考虑其在实际中的合理性,2023/9/11,一个好的数学模型应该具备：,4、善于对模型进行检验,2023/9/11,一个具体模型的建立步骤：,在了解有关背景知识的基础上分析问题进行合理的假设模型的建立,分析问题，阐明建模的依据采用适当的数学方法进行模型设计,优化模型微分方程模型统计分析模型插值与拟合模型,2023/9/11,一个具体模型的建立步骤：,模型求解及结果的分析模型的检验,稳定性和敏感性分析统计检验和误差分析新旧模
4、型的对比实际可行性检验,一般借助于数学软件.如：MatlabMathematicaMaple,2023/9/11,一个具体模型的建立步骤：,模型的改进、推广及优缺点分析,我们在后面学习的数学建模中将按照这些要求来做,2023/9/11,实际问题,进行抽象、简化、假设确定变量和参数、明确目标,建立数学模型、求出数学解,用实际统计数据、资料进行比较,与实际相符合吗,交付使用、产生社会及经济效益,否,是,2023/9/11,数学建模的几个过程：,模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用
5、精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。,2023/9/11,数学建模中要注意的几个问题,数学建模的意义在于用数学工具来解决实际问题，因
6、此建模的目标要十分清楚并保持适度水平；学习建模要不怕出错和失败，要大胆尝试，勇于实践；数学模型必须接受检验，比较符合实际才算是成功的；在模型成功之后进一步假设来改进模型，使模型更好；建立数学模型常用到许多其它学科，所需数学手段也多种多样。,2023/9/11,按模型的应用领域分类：,生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型,2023/9/11,按是否考虑随机因素分类：,确定性模型 随机性模型,静态模型 动态模型,按是否考虑模型的变化分类：,2023/9/11,按应用离散方法或连续方法分类：,离散模型 连续模型,2023/9/11,按建立模型的数学方法分类：,几何
7、模型 微分方程模型 图论模型 规划论模型 马氏链模型,2023/9/11,按人们对是物发展过程的了解程度分类：,白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。,2023/9/11,数学建模竞赛:,数学建模竞赛的特点是题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化加工而成，对数学知识要求不深，一般没有事先
8、设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。由于竞赛是由三名大学生组成一队，在三天时间内分工合作，共同完成一篇论文，因而也培养了学生的合作精神。,2023/9/11,竞赛活动介绍:,全国大学生数学建模竞赛 China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling(CUMCM)http:/国际大学生数学建模竞赛The Mathematical Contest in Modeling(MCM)http:/,2023/9/11,尽管数学建模已有了很久的历史，数学建模课程却还是很年轻的一门课程。在70年代末和80年代初，英国著名的剑桥
9、大学专门为研究生开设了数学建模课程，差不多同时，欧美一些发达国家开始把数学建模的内容列入研究生、大学生以至中学生的教学计划中去，并于1983年开始举行两年一度的“数学建模教学和应用国际会议”进行定期交流。数学建模教学及其各种活动发展异常迅速，成为当代数学教育改革的主要方向之一。,2023/9/11,24,数学软件介绍,数学建模一般借助于数学软件.如：Mathematica、Matlab、SAS、MathCADMaple,2023/9/11,Mathematica3.0,4.0窗口简介,2023/9/11,Mathematica 2.1窗口简介,2023/9/11,Mathematica的画图功
10、能,2023/9/11,数学软件的种类及其特点,通用符号计算软件通用数值运算软件专业软件计算程序库教学、演示类软件,符号计算软件,MathematicaReduceMapleMuMathDeriveEureke,数值运算软件,MATLABMathCAD,专业软件,统计软件：SAS、SPSS有限元计算：ANSYS、SAP球体几何及大地测量：Spheric神经网络：Neural Work Professional.,程序库,早期的FORTRAN计算库Numerical Recipes 通用C语言数值计算程序库一些专业计算包（非特定语言）,其他教育软件,MathCADSmathMath Extra.
11、,数学软件在教学中的应用,大规模运算数值实验辅助教学,一个用计算机做数学的系统,MATHEMATICA,Mathematica,Mathematica的基本功能,数值运算（Numeric Computation）符号运算（Algebric Computation）图像处理（Graphics）语言功能（Programing Language),2023/9/11,Mathematica在数学建模中的应用举例,迭代计算与绘图求最大、最小值复杂积分的计算微分方程的求解方程组)的求解、矩阵运算,2023/9/11,Matlab6.0窗口简介,2023/9/11,MATLAB是基于矩阵的一种计算工具，它
12、已经成为世界各国高校和研究人员中最为流行的软件之一。它提供了丰富可靠的矩阵运算、数据处理、图形绘制、图像处理等便利工具，并且由于Matlab的广泛应用，很多理论的创始人在MATLAB上开发了相关的工具箱，现在MATLAB附带的各方面工具箱有：控制系统、通讯、符号运算、小波计算、偏微分方程、数据统计、图像、金融、LMI控制、QFT控制、数字信号处理、模糊控制、模型预估控制、频域辨识、高阶谱分析、统计学、非线性控制系统、图像处理、神经元网络、m 分析、信号处理、插值、优化、鲁棒控制、控制系统设计、系统辨识等等，并且MATLAB提供了图形化的时域仿真程序-Simulink，在高校中还开发有：振动理论
13、、化学统计学、语音处理等等方面的工具箱。,2023/9/11,使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍的提高，使得研究工作真正是在做研究，而不是在编程。使用MATLAB大大简化了学习和研究中编程量，比如：使用C或者Fortran编写一个优化的程序，一般需要几百行或者几千行的程序，并且在首次写程序时还可以能需要大量的时间来调试这个程序，当这个程序能够运行时，可能花费掉一个星期或者更长的时间，而下一次在进行另一种优化方法的运算时，需要同样的时间工作，也就是说，使用这些语言编程时，大量时间花在了编程序上，而不是研究人员应当做的思考工作，大大降低了工作效率。如果使用MATLAB编程，一个优化程序只需要10行以下的程序，因此基本不会出现错误，这样在1分钟左右就完成了编程，并且马上就可以运行看到结果，如果想改变优化算法，只需要把优化的函数名改掉就可以了，也就是说使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍的提高，使得研究工作真正是在做研究，而不是在编程。,
