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1、概率与频率,数学建模培训,概率，又称几率，或然率，是反映某种 事件 发生的可能性大小的一种数量指标，它介于 0 与 1 之间。,概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分支学科，希望通过本次学习，能加深对频率和概率等概念的理解和认识，并掌握一些概率统计的基本原理。,随机现象中出现的某个可能结果,基本知识,基本知识,随机试验：满足下列三个条件,试验可以在相同的情况下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，且不止一个；每次试验的结果无法预知，但有且只有一个结果。,概率与频率,概率是指某个随机事件发生可能性的一个度量，是该随机事件本身的属性。频率是指某随机事件在随机试验中实际出现的次数与随机试验进行
2、次数的比值。,频率,概率,随机试验进行次数,随机变量,基本知识,统计分析（假设检验、相关分析、回归分析),数字特征（均值、方差、相关系数、特征函数）,注：rand(n)=rand(n,n),Matlab 中的随机函数,name 的取值可以是,norm or Normalunif or Uniformpoiss or Poissonbeta or Betaexp or Exponentialgam or Gammageo or Geometricunid or Discrete Uniform.,random(name,A1,A2,A3,M,N),Matlab 中的随机函数,绘制直方图,hist
3、(X,M)%二维条形直方图，显示数据的分布情形,将向量 X 中的元素根据它们的数值范围进行分组，每一组作为一个条形进行显示。条形直方图中的 x-轴反映了向量 X 中元素数值的范围，直方图的 y-轴 显示出向量 X 中的元素落入该组的数目。M 用来控制条形的个数，缺省为 10。,x=1 2 9 3 5 8 0 2 3 5 2 10;hist(x);hist(x,5);hist(x,2);,例：,x=randn(1000,1);hist(x,100);,histfit(x,NBINS)%附有正态密度曲线的直方图,NBINS 指定条形的个数，缺省为 x 中数据个数的平方根。,fix(x):截尾取整，
4、直接将小数部分舍去floor(x):不超过 x 的最大整数ceil(x):不小于 x 的最小整数round(x):四舍五入取整,Matlab中的取整函数,x1=fix(3.9);x2=fix(-3.9);x3=floor(3.9);x4=floor(-3.2);x5=ceil(3.1);x6=ceil(-3.9);x7=round(3.9);x8=round(-3.2);x9=round(-3.5);,x1=3,x2=-3,x3=3,x4=-4,x5=4,x6=-3,x7=4,x8=-3,x9=-4,取整函数举例,prod(X),如果 X 是向量，则返回其所有元素的乘积。如果 X 是矩阵，则计
5、算每一列中所有元素的乘积。,其它相关函数,a=1 2 9 3 2 3;b=unique(a),a=1 2 9;3 2 3;b=unique(a),根据表达式的不同取值，分别执行不同的语句,switch expr case case1 statements1 case case2 statements2.case casem statementsm otherwise statements end,switch 选择语句,method=Bilinear;switch lower(method)case linear,bilinear disp(Method is linear)case cubi
6、c disp(Method is cubic)case nearest disp(Method is nearest)otherwise disp(Unknown method.)end,switch 选择语句举例,这里我们主要用 rand 函数和 randperm 函数来模拟满足均匀分布的随机试验。,试验方法,先设定进行试验的总次数 采用循环结构，统计指定事件发生的次数 计算该事件发生次数与试验总次数的比值,试验方法,随机投掷均匀硬币，验证国徽朝上与朝下的概率是否都是 1/2,n=10000;%给定试验次数m=0;for i=1:n x=randperm(2)-1;y=x(1);if y=0
7、%0 表示国徽朝上，1 表示国徽朝下 m=m+1;endendfprintf(国徽朝上的频率为：%fn,m/n);,试验一：投掷硬币,随机投掷骰子，验证各点出现的概率是否为 1/6,n=10000;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;m6=0;for i=1:n x=randperm(6);y=x(1);switch y case 1,m1=m1+1;case 2,m2=m2+1;case 3,m3=m3+1;case 4,m4=m4+1;case 5,m5=m5+1;otherwise,m6=m6+1;endend.%输出结果,试验二：投掷骰子,用蒙特卡罗(Monte Carl
8、o)投点法计算 的值,n=100000;a=2;m=0;for i=1:n x=rand(1)*a/2;y=rand(1)*a/2;if(x2+y2=(a/2)2)m=m+1;endendfprintf(计算出来的 pi 为：%fn,4*m/n);,试验三：蒙特卡罗投点法,在画有许多间距为 d 的等距平行线的白纸上，随机投掷一根长为 l(l d)的均匀直针，求针与平行线相交的概率，并计算的值。,试验四：蒲丰投针实验,n=100000;l=0.5;d=1;m=0;for i=1:n alpha=rand(1)*pi;y=rand(1)*d/2;if y=l/2*sin(alpha)m=m+1;e
9、ndendfprintf(针与平行线相交的频率为：%fn,m/n);fprintf(计算出来的 pi 为：%fn,2*n*l/(m*d);,试验四源程序,设某班有 m 个学生，则该班至少有两人同一天生日的概率是多少？,试验五：生日问题,n=1000;p=0;m=50;%设该班的人数为 50for t=1:n a=;q=0;for k=1:m b=randperm(365);a=a,b(1);end c=unique(a);if length(a)=length(c)p=p+1;endendfprintf(任两人不在同一天生日的频率为：%fn,p/n);,试验五源程序,clear;m=50;p1
10、=1:365;p2=1:365-m,365*ones(1,m);p=p1./p2;p=1-prod(p);fprintf(至少两人同一天生日的概率为：%fn,p);,试验五的理论值计算,彩票箱内有 m 张彩票，其中只有一张能中彩。问 m 个人依次摸彩，第 k(k m)个人中彩的概率是多少？你能得出什么结论？,第一个人中彩的概率为：,推知第k个人中彩的概率为：,第三个人中彩的概率为：,第二个人中彩的概率为：,试验六：摸彩问题,n=10000;m=10;p=0;k=5;%计算第 5 个人中彩的频率for t=1:n x=randperm(m);y=x(1);if y=k p=p+1;endendf
11、printf(第%d 个人中彩的频率为：%fn,p/n);,试验六源程序,概率与统计,概率论中所研究的随机变量的分布都是已知的。统计学中所研究的随机变量的分布是未知的或部分未知的，必须通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察和试验，得到所需的观察值（数据），对这些数据分析后才能对其分布做出种种判断，即“从局部推断总体”。,统计学,给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这份数据，这个用法称作为描述统计学。观察者以数据的形态建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型，以之来推论研究中的步骤及母体，这种用法被称做推论统计学。数理统计学专门用来讨论这门科目背后的理论基础。,数据的统计分析,现实生活中
12、的许多数据都是随机产生的，如考试分数、月降雨量、灯泡寿命等。,从数理统计角度来看，这些数据其实都是符合某种分布的，这种规律就是统计规律。,通过对概率密度函数曲线的直观认识和数据分布的形态猜测，以及密度函数的参数估计，进行简单的分布假设检验，揭示日常生活中随机数据的一些统计规律。,背景和目的,Matlab相关命令介绍,pdf 概率密度函数,y=pdf(name,x,A),y=pdf(name,x,A,B)或 y=pdf(name,x,A,B,C),返回由 name 指定的单参数分布的概率密度，x为样本数据,name 用来指定分布类型，其取值可以是：beta、bino、chi2、exp、ev、f、
13、gam、gev、gp、geo、hyge、logn、nbin、ncf、nct、ncx2、norm、poiss、rayl、t、unif、unid、wbl。,返回由 name 指定的双参数或三参数分布的概率密度,Matlab相关命令介绍,例：,x=-8:0.1:8;y=pdf(norm,x,0,1);y1=pdf(norm,x,1,2);plot(x,y,x,y1,:),注：,y=pdf(norm,x,0,1),y=normpdf(x,0,1),相类似地，,y=pdf(beta,x,A,B),y=betapdf(x,A,B),y=pdf(bino,x,N,p),y=binopdf(x,N,p),Ma
14、tlab相关命令介绍,normfit 正态分布中的参数估计,muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x,alpha),对样本数据 x 进行参数估计，并计算置信度为 1-alpha 的置信区间 alpha 可以省略，缺省值为 0.05，即置信度为 95%,load 从matlab数据文件中载入数据,S=load(数据文件名),hist 绘制给定数据的直方图,hist(x,m),Matlab相关命令介绍,table=tabulate(x),绘制频数表，返回值 table 中，第一列为x的值，第二列为该值出现的次数，最后一列包含每个值的百分比。,ttest(x,m,a
15、lpha),假设检验函数。此函数对样本数据 x 进行显著性水平为 alpha 的 t 假设检验，以检验正态分布样本 x（标准差未知）的均值是否为 m。,Matlab相关命令介绍,normplot(x),统计绘图函数，进行正态分布检验。研究表明：如果数据是来自一个正态分布，则该线为一直线形态；如果它是来自其他分布，则为曲线形态。,wblplot(x),统计绘图函数，进行 Weibull 分布检验。,Matlab相关命令介绍,其它函数,cdf 系列函数：累积分布函数 inv 系列函数：逆累积分布函数 rnd 系列函数：随机数发生函数 stat 系列函数：均值与方差函数,例：,p=normcdf(-
16、2:2,0,1),x=norminv(0.025 0.975,0,1),n=normrnd(0,1,1 5),n=1:5;m,v=normstat(n*n,n*n),常见的概率分布,连续分布：正态分布,正态分布（连续分布）,如果随机变量 X 的密度函数为：,则称 X 服从正态分布。记做：,标准正态分布：N(0,1),正态分布也称高斯分布，是概率论中最重要的一个分布。,如果一个变量是大量微小、独立的随机因素的叠加，那么它一定满足正态分布。如测量误差、产品质量、月降雨量等,正态分布举例,x=-8:0.1:8;y=normpdf(x,0,1);y1=normpdf(x,1,2);plot(x,y,x
17、,y1,:),例：标准正态分布和非标准正态分布密度函数图形,连续分布：均匀分布,均匀分布（连续分布）,如果随机变量 X 的密度函数为：,则称 X 服从均匀分布。记做：,均匀分布在实际中经常使用，譬如一个半径为 r 的汽车轮胎，因为轮胎上的任一点接触地面的可能性是相同的，所以轮胎圆周接触地面的位置 X 是服从 0,2r 上的均匀分布。,均匀分布举例,x=-10:0.01:10;r=1;y=unifpdf(x,0,2*pi*r);plot(x,y);,连续分布：指数分布,指数分布（连续分布）,如果随机变量 X 的密度函数为：,则称 X 服从参数为 的指数分布。记做：,在实际应用问题中，等待某特定事
18、物发生所需要的时间往往服从指数分布。如某些元件的寿命；随机服务系统中的服务时间；动物的寿命等都常常假定服从指数分布。,指数分布具有无记忆性：,指数分布举例,x=0:0.1:30;y=exppdf(x,4);plot(x,y),例：=4 时的指数分布密度函数图,离散分布：几何分布,几何分布是一种常见的离散分布,在贝努里实验中，每次试验成功的概率为 p，设试验进行到第 次才出现成功，则 的分布满足：,其右端项是几何级数 的一般项，于是人们称它为几何分布。,x=0:30;y=geopdf(x,0.5);plot(x,y),例：p=0.5 时的几何分布密度函数图,离散分布：二项式分布,二项式分布属于离
19、散分布,如果随机变量 X 的分布列为：,则称这种分布为二项式分布。记做：,x=0:50;y=binopdf(x,500,0.05);plot(x,y),例：n=500，p=0.05 时的二项式分布密度函数图,离散分布：Poisson 分布,泊松分布也属于离散分布，是1837年由法国数学家 Poisson 首次提出，其概率分布列为：,记做：,泊松分布是一种常用的离散分布，它与单位时间（或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系。如：单位时间内，电话总机接到用户呼唤次数；1 平方米内，玻璃上的气泡数等。,Poisson 分布举例,x=0:50;y=poisspdf(x,25);plot(x,y),
20、例：=25 时的泊松分布密度函数图,离散分布：均匀分布,如果随机变量 X 的分布列为：,则称这种分布为离散均匀分布。记做：,n=20;x=1:n;y=unidpdf(x,n);plot(x,y,o-),例：n=20 时的离散均匀分布密度函数图,抽样分布：2分布,设随机变量 X1,X2,Xn 相互独立，且同服从正态分布 N(0,1)，则称随机变量 n2=X12+X22+Xn2服从自由度为 n 的 2 分布，记作，亦称随机变量 n2 为 2 变量。,x=0:0.1:20;y=chi2pdf(x,4);plot(x,y),例：n=4 和 n=10 时的 2 分布密度函数图,x=0:0.1:20;y=
21、chi2pdf(x,10);plot(x,y),抽样分布：F 分布,设随机变量，且 X 与 Y 相互独立，则称随机变量,为服从自由度(m,n)的 F 分布。记做：,x=0.01:0.1:8.01;y=fpdf(x,4,10);plot(x,y),例：F(4,10)的分布密度函数图,抽样分布：t 分布,设随机变量，且 X 与 Y 相互独立，则称随机变量,为服从自由度 n 的 t 分布。记做：,x=-6:0.01:6;y=tpdf(x,4);plot(x,y),例：t(4)的分布密度函数图,频数直方图或频数表,对于给定的数据集，假设它们满足以上十种分布之一，如何确定属于哪种分布？,绘制频数直方图，
22、或列出频数表,从图形上看，笔试成绩较为接近正态分布,x=load(data1.txt);x=x(:);hist(x),例 1：某次笔试的分数见 data1.txt，试画出频数直方图,频数直方图或频数表,x=load(data2.txt);x=x(:);hist(x),例 2：某次上机考试的分数见 data2.txt，试画出频数直方图,从图形上看，上机考试成绩较为接近离散均匀分布,x=load(data3.txt);x=x(:);hist(x),例 3：上海1998年来的月降雨量的数据见 data3.txt，试画出频数直方图,从图形上看，月降雨量较为接近 2 分布,频数直方图或频数表,在重复数据
23、较多的情况下，我们也可以利用Matlab自带的 tabulate 函数生成频数表，并以频数表的形式来发掘数据分布的规律。,x=load(data4.txt);x=x(:);tabulate(x)hist(x),例 4：给出数据 data4.txt，试画出其直方图，并生成频数表,Value Count Percent 1 6 13.04%2 6 13.04%3 12 26.09%4 10 21.74%5 5 10.87%6 7 15.22%,频数直方图或频数表,x=load(data5.txt);x=x(:);hist(x)fiugrehistfit(x)%加入较接近的正态分布密度曲线,例 5：
24、现累积有100次刀具故障记录，当故障出现时该批刀具完成的零件数见 data5.txt，试画出其直方图。,从图形上看，较为接近正态分布,参数估计,当我们可以基本确定数据集 X 符合某种分布后，我们还需要确定这个分布的参数。,由于正态分布情况发生的比较多，故我们主要考虑正态分布的情形。,对于未知参数的估计，可分两种情况：,点估计 区间估计,参数估计：点估计,构造样本 X 与某个统计量有关的一个函数，作为该统计量的一个估计，称为点估计。,Matlab 统计工具箱中，一般采用最大似然估计法给出参数的点估计。,泊松分布 P()的 最大似然估计是,指数分布 Exp()的 最大似然估计是,点估计举例,正态分
25、布 N(,2)中，最大似然估计是，2 的最大似然估计是,x=load(data1.txt);x=x(:);mu,sigma=normfit(x),例 6：已知例 1 中的数据服从正态分布 N(,2)，试求其参数 和 的值。,使用 normfit 函数,参数估计：区间估计,构造样本 X 与某个统计量有关的两个函数，作为该统计量的下限估计与上限估计，下限与上限构成一个区间，这个区间作为该统计量的估计，称为区间估计。,Matlab 统计工具箱中，一般也采用最大似然估计法给出参数的区间估计。,区间估计举例,x=load(data1.txt);x=x(:);mu,sigma,muci,sigmaci=n
26、ormfit(x),例 7：已知例 1 中的数据服从正态分布 N(,2)，试求出 和 2 的置信度为 95%的区间估计。,x=load(data6.txt);x=x(:);mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(x,0.01),例 8：从自动机床加工的同类零件中抽取16件，测得长度值见 data6.txt，已知零件长度服从正态分布 N(,2)，试求零件长度均值 和标准差 的置信度为 99%的置信区间。,假设检验,对总体的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设，这就是假设检验问题。,以正态假设
27、检验为例，来说明假设检验的基本过程。,正态假设检验,正态假设检验的一般过程：,假设检验：利用 Matlab 统计工具箱给出的常用的假设检验方法的函数 ttest，进行显著性水平为 alpha 的 t 假设检验，以检验正态分布样本 x（标准差未知）的均值是否为 m。运行结果中，当 h=1 时，表示拒绝零假设；当 h=0 时，表示不能拒绝零假设。,对比正态分布的概率密度函数分布图，判断某统计量的分布可能服从正态分布,利用统计绘图函数 normplot 或 wblplot 进行正态分布检验,正态假设检验举例,例 9：试说明例 5 中的刀具使用寿命服从正态分布，并且说明在方差未知的情况下其均值 m 取
28、为 597 是否合理。,(1)对比刀具使用寿命分布图与正态分布的概率密度分布函数图，得初步结论：该批刀具的使用寿命可能服从正态分布。,解：,x=load(data5.txt);x=x(:);normplot(x),(2)利用统计绘图函数 normplot 进行分布的正态性检验,结果显示：这 100 个离散点非常靠近倾斜直线段，即图形为线性的，因此可得结论：该批刀具的使用寿命近似服从正态分布。,正态假设检验举例,x=load(data5.txt);x=x(:);h=ttest(x,597,0.05),(3)利用函数 ttest 进行显著性水平为 alpha 的 t 假设检验,检验结果：h=0。表
29、示不拒绝零假设，说明所提出的假设“寿命均值为 597”是合理的,前面讨论了当总体分布为正态时，关于其中未知参数的假设检验问题.,然而可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设.,例如，从1500年到1931年的432年间，每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量，据统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:,在概率论中，大家对泊松分布产生的一般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似描述.也就是说，我们可以假设每年爆发战争次数分布X近似泊松分布.,上面的数据能否证实X 具有泊松分布的假设是正确的？,现在的问题
30、是：,再如，某工厂制造一批骰子，声称它是均匀的.,为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.,也就是说，在投掷中，出现1点，2点，6点的概率都应是1/6.,得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设是可信的？,问题是：,K.皮尔逊,这是一项很重要的工作，不少人把它视为近代统计学的开端.,解决这类问题的工具是英国统计学家K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的所谓 检验法.,检验法是在总体X 的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法.,H0：总体X的分布函数为F0(x),然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是
31、否接受原假设.,使用 对总体分布进行检验时，,我们先提出原假设:,检验法,这种检验通常称作拟合优度检验，它是一种非参数检验.,总体分布的拟合优度检验Goodness of Fit Test for Distribution of Population,卡方拟合优度检验的原理与步骤,1.原理,判断样本观察频数（Observed frequency）与理论(期望)频数（Expected frequency）之差是否由抽样误差所引起。,3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的值落入每个Ak的概率pk,于是npk就是落入Ak的样本值的理论频数.,1.将总体X的取值范围分成 r 个互不重迭的小区间ai
32、-1,ai,i=1,r,记作A1,A2,Ar.,2.把落入第k个小区间Ak的样本值的个数记作 nk，称为实际频数.,2.步骤,标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.,皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异:,统计量 的分布是什么?,在理论分布已知的条件下,npk是常量,实际频数,理论频数,皮尔逊证明了如下定理:,若原假设中的理论分布F0(x)已经完全给定，那么当 时，统计量,的分布渐近(r-1)个自由度的 分布.,如果理论分布F0(x)中有m个未知参数需用相应的估计量来代替，那么当 时，统计量 的分布渐近(r-m-1)个自由度 的 分布.,如果根据所给的样本值 X1,X2,X
33、n算得统计量 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则就认为差异不显著而接受原假设.,得拒绝域:,(不需估计参数),(估计 r 个参数),卡方分布下的检验水准及其临界值,皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来的，因而在使用时要注意n要足够大，以及npi 不太小这两个条件.,根据计算实践，要求n不小于50，以及npi 都不小于 5.否则应适当合并区间，使npi满足这个要求.,注意：理论频数不宜过小（如不小于5），否则需要合并组段！,让我们回到开始的一个例子，检验每年爆发战争次数分布是否服从泊松分布.,提出假设H0:X服从参数为 的泊松分布,按参数为0.69的泊松分布，计算事件X=i 的概率pi，,=0
34、.69,将有关计算结果列表如下:,根据观察结果，得参数 的极大似然估计为,因H0所假设的理论分布中有一个未知参数，故自由度为4-1-1=2.,将n 5的组予以合并，即将发生3次及4次战争的组归并为一组.,故认为每年发生战争的次数X服从参数为0.69的泊松分布.,按=0.05，自由度为4-1-1=2查 分布表得,=5.991,=2.435.991，,未落入否定域.,3.84,7.81,12.59,P0.05的临界值,2分布（chi-square distribution）,Poisson分布的拟合优度检验,【例】将酵母细胞的稀释液置于某种计量仪器上，数出每一小方格内的酵母细胞数，共观察了413个
35、小方格，结果见下表第1、2列，试问该资料是否服从Poisson分布？,卡方分量,P（7）0.000556,其他离散型变量分布的拟合优度检验,二项分布Poisson分布超几何分布负二项分布 可仿照上述二项分布、Poisson分布的方法进行分布的拟合优度检验。,分布拟合检验CUMCM09年B题“眼科病床的合理安排”,命 题 思 路,来自于人们司空见惯的日常生活现象医院住院排队现象的一道题目，问题本身非常浅显明白，专业门槛低，但解决问题中却涉及较深刻的排队论理论问题，当无法通过理论方法获得最优解时，可以通过仿真优化方法获得实用效果令人满意的可行解，以上构成该道题目的特点。,主要考点：1.分布拟合检验
36、；2.合理的评价指标体系；3.仿真方法应用；4.满足一定置信度的统计预测模型的建立；5.排队论优化模型的建立。,解 题 思 路,数据分析与检验在着手解决问题前首先应对所给数据进行分析，从中获得对解题有用的信息，这是一种基本素质，是一种具有良好工程素养的表现。在本问题中，这一过程尤其重要，因为如果对病人到达规律及病人住院时间规律都不了解，问题症结就抓不准，解题将缺乏方向感，仿真计算就更无法进行了。,在本题所给数据中，各类病人到达人数分别服从不同参数的Poisson分布，需要进行分布拟合检验及分布参数提取。由所给数据可以看出，病人术前住院时间是确定的，依入院时间而定，所以病人住院时间中只有术后住院
37、时间是随机的，要做拟合检验的也是这一部分时间分布。,各类病人术后住院时间分别服从正态分布、分布或埃尔朗分布，由于检验方法或检验细节处理不相同，可能得到以上不同的分布，这是允许的，但若得出服从负指数分布的结论，则是错误的。也有一些同学不做拟合分布检验，而是画出直方图，然后以此经验分布作仿真依据，这样处理也是可以的。,更多信息请浏览（“眼科病床的合理安排”命题、解题思路解析及论文点评，国防科技大学，吴孟达）,数据分析做得比较深入的同学，会发现一条隐含在数据中的关键信息：术前住院时间过长是当前病床使用效率不高的主要因素。这样一个关键信息的获得，会使得建模更有方向感。,自己动手,完成word文件“数据的统计分析”中第四部分“自己动手”，熟悉相关基本知识。参考word文件“Poisson过程的模拟和检验”，以CUMCM2009B题中白内障（单眼）病人为例，进行Poisson分布拟合检验。,104,谢谢！,
