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1、数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,数学思想方法与数学教学,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,报告内容：1、义务教育阶段数学课程的课程目标2、数学课程的总体目标3、数学思想与数学方法4、小学教学中的数学思想方法5、贯彻落实数学思想方法的教学6、小学数学中思想方法的教学研究,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,1、义务教育阶段数学课程的课程目标,从“双基”到“四基”：数学基础知识 数学基本技能 基本的数学思想方法 基本的数学活动经验,1.1 课程目标,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,从“三能”到“四能”发现问题的能力 提出问题的能力 分析问题
2、的能力 解决问题的能力,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,2、数学课程的总体目标,（1）获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。（3）了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和事实求是的科学态度。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,3、数学思想与数学方法,数学思想：关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识，
3、是对数学本质的认识，对数学自身规律性的认识，具有普遍性和概括性。数学方法：数学思想指导下的数学问题解决过程中所运用的具体手段（或途径），具有具体现和可操作性。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,符号化思想：从记号到符号，“惊人的方式缩短思维”（莱布尼茨）算法化思想：对数学问题进行算法编程-机械化集合思想：数学思想的现代语言，在精确地认识无限的基础上，重新认识和解释数学的思想极限思想：是有限和无限的辩证统一，是从有限进入无限的钥匙变量思想：解析几何、微积分思想统计思想：以掌握事物总体的数量特征和规律为目标，它所关心的乃是某些规定的总体或集合，而不是构成总体的各别元素或个体。模糊数学
4、思想：以数学的精确性，研究和处理现象的模糊性,现代数学基本思想方法,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,小学生常用的数学思想有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等等。主要的数学方法有观察法、实验法、假设法等,4、小学数学中的数学思想方法,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,（1）符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式
5、表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象符号化的过程。用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,小学生如何理解符号化思想：第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。第三，会进行符号间的转换。第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,(2)化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙
6、问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。一般是指不可逆向的“变换”。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简单图形，然后计算出各部分面积的和或差，均能使学生体会化归法的本质。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,化归所遵循的原则 数学化原则 熟悉化原则 简单化原则 直观化原则,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,解决问题中的化归策略 化抽象问题为直观问题 例：化繁为简的策略 例1：把186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？187呢？例2：你能快速口算85
7、85，9595，105105吗？化实际问题为特殊的数学问题,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,化未知问题为已知问题 例：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？化一般问题为特殊问题 例：任意一个大于4的自然数，拆成两个自然数之和，怎样拆分才能使这两个自然数的乘积最大？,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,(3)转换思想转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，这里的变换是可逆的双向变换。在解决数学问题时,转换是一种非常有用的策略。对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题
8、的结论;转换可以是等价的,也可以是不等价的,用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步,第二步要对转换后的问题进行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。如果采用等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这一步。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,(4)分类思想数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。,
9、课标：要求学生能够有条理地思考,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,分类讨论思想的教学 第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想，一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、
10、数的认识和运算等。第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想。第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,（5）类比思想数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力。,数学
11、与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,(6)推理思想推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,推理思想的教学：课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理
12、的形式。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,教学中要注意第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,方程和函数思想 方程思想的
13、核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建等式模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的、普遍联系的观点。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,例1：王大妈买了3千克香蕉和2千克苹果，一共花了16元。苹果的价格是香蕉的2倍多1元，苹果和香蕉的单价各是多少？例2：无限循环小数0.777和0.747474如何化成分数？你能发现什么规律？,数学与计算机科学学院 李艳琴 201
14、2年10月,比较思想人类对一切事物的认识，都是建立在比较的基础上，或同中辨异，或异中求同。俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系和区别。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,极限思想极限思想是现代数学的一种基本思想，它是一种用运动变化的观点，把所考察的对象（如圆的面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等）看作某对象（内接正n边形的面积、匀速运动物体的速度、矩形面积的和）在某一无限变化过程中变化结果的思想，是一种“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定下来”的
15、运动辩证思想。例：把循环小数0.999 化成分数,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,（10）模型思想数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践的检验。,课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的
16、新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程；第二种是利用基本模型去解决各种问题，即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。（数式模型、方程（组）模型、不等式模型、函数模型、统计模型、几何模型、线性规划模型）,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,例1：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带学具了，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）例2：有一根20米长的绳子，要剪成2米和5米长两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？（要
17、求绳子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。）,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,(11)对应思想对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相当。对应思想可理解为两个集合元素之间的联系的一种思想方法。在小学数学教学中渗透对应思想，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,(12)数形结合思想就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。,例：1+3+5+7+9=？,例:1/2+1/4+
18、1/8+1/16=？,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,(13)统计思想 统计思想可以通俗理解为对数据汇总加工处理并外推的思想。用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策。数理统计的基本特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质，就是从总体中抽出一组样本分析，判断整个系统的状态，或判断某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或算出发生错误判断的概率。统计方法是“由局部到整体”、“由特殊上升到一般”，是归纳法在数学上的具体应用。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,(14)几何变换思想 初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，包括相似变换、合同变换（平移、旋转和
19、反轴对称）。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,课程标准关于图形变换的内容和目标分为以下几个层次：,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,教学中需要注意的问题 第一，对一些概念的准确把握（几何中的变换与生活中的现象）例1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？例2：一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？第二，注意图形变换与其它几何知识的联系 第三，对教学要求和解题方法的准确把握,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,5、数学思想方法教学的途径充
20、分挖掘教材中的数学思想方法有目的、有意识的渗透数学思想方法有计划、有步骤的渗透、介绍和突出相关思想和方法通过学生自主活动进行数学思想方法的教学,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,6、小学数学中思想方法的教学研讨,教学研讨案例1 用字母表示数（人教版 五年级上册）案例2 图形的变换（人教版 五年级下册）,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,字母表示数是代数入门的重要课题，从内容上看，它是在算术的基础上引入代数式内容、进一步学习代数学的重要方法和基础；是学生长期学习以数学运算为主的算术，过渡到学习以字母、符号为主的代数的又一次认识上的飞跃；也是学习代数其他内容（如式及其变
21、形、运算，方程、不等式及其求解、函数及其性质等）的基础；也是形成符号化数学思想的开始；更是进一步精化数学语言、探求数学科学丰富内涵的重要手段和强有力的工具。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,1.从数学科学的发展过程，看“字母表示数”符号化思想的重要作用。,2、从把握数学语言的高度，认真进行“字母表示数的教学”（1）要突破“字母表示数”等符号的一般性，注意文词语言，符号语言，图形语言的互译，把握数学对象的实质。（2）要突出符号的语义与限制条件，注意字母表示数等符号语言的形式与内容的统一。（3）要突出“字母表示数”的基本换元思想，注意符号语言的一般与个别的统一协调。（4）要突出数学
22、语言的特色，注意数形结合。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,3、字母表示数可以分为以下四个层次：1)用文字泛指某个数集中的一个数。例如，交换律a+b=b+a，这里的a,b可以泛指自然数，小数，分数，无理数。2)专指特定的数。例如，我们解鸡兔同笼问题时，把未知的鸡数和兔数用字母x,y来代表。在具体的问题中，x,y是特定的数，我们临时用它来作为代表。3)作为变量。例如，我们在研究行程问题时，用t代表时间，s代表路程，v代表速度。有s=vt4)作为不定元参与数学运算。文字代表数的最深层次的含义是把字母当做不定元，忽略字母与数之间的特一对应。例如，若e+f=8,则e+f+g=?(答案是8+g)。这里的g是不定元，只是一个字母，它没有赋予任何意义。但有的学生可能就会给它赋值7（因为g是第七个拉丁字母），他们总要给字母以某种意义才放心。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,推荐书目：1、古今数学思想（4本）2002年上海科技出版社；2、数学思想概论（3本）2009年东北师师范大学出版社；3、西方文化中的数学2007年复旦大学出版社；4、什么是数学（美）R 柯朗 H 罗宾 左平、张饴慈译，2007年复旦大学出版社。,数学与计算机科学学院 李艳琴 2012年10月,谢谢大家！,
