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1、第2章 逻辑函数及其化简,2.1 基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路2.2 逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式2.3 逻辑函数的代数变换和化简2.4 逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法2.5 用卡诺图化简逻辑函数,2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路,三种基本的逻辑运算(所有运算均由三种基本运算组合而成)与运算 或运算 反运算（非运算）几种常用逻辑运算 逻辑函数的表示方法,逻辑运算:当0和1表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算。逻辑运算与算术运算完全不同，它所使用的数学工具是逻辑代数（布尔代数）。,逻辑代数与普通代数:与普通代数不同,逻辑代数中的变量只有0和
2、1两个可取值，它们分别用来表示两个完全对立的逻辑状态。,与运算,状态表,用逻辑语言来描述：,开关的状态用逻辑变量A、B表达,灯的状态用逻辑变量L来表达,开关接通用逻辑1表示,开关断开用逻辑0表示,灯亮用逻辑1表示,灯灭用逻辑0表示,真值表,与运算,逻辑符号,逻辑表达式,波形图,真值表,1,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,L=AB,B,A,L=AB,只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。,或运算,状态表,开关的状态用逻辑变量A、B表达,灯的状态用逻辑变量L来表达,开关接通用逻辑1表示,开关断开用逻辑0表示,灯亮用逻辑1表示,灯灭用逻辑0表示
3、,真值表,或运算,逻辑符号,逻辑表达式,波形图,真值表,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,L=A+B,B,A,L=A+B,L,只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系。,非运算,状态表,真值表,灯的状态用逻辑变量L来表达,开关接通用逻辑1表示,开关断开用逻辑0表示,灯亮用逻辑1表示,灯灭用逻辑0表示,非运算,逻辑符号,逻辑表达式,波形图,事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。,1)与非运算,几种常用逻辑运算,2)或非运算,几种常用逻辑运算,3)异或逻辑,若两个输
4、入变量的值相异，输出为1，否则为0。,几种常用逻辑运算,异或逻辑表达式,4)同或运算,若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。,同或逻辑表达式,几种常用逻辑运算,5)与或非运算,与或非逻辑表达式,6)或与非运算,或与非逻辑表达式,几种常用逻辑运算,逻辑函数及其表示方法,常用的逻辑函数描述方式：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图、波形图、卡诺图等,二值逻辑函数变量和输出(函数)的取值只有0和1两种状态的函数表达式。,写作：,在逻辑电路中，自变量将作为输入变量，因变量将作为输出变量，当输入变量的取值确定之后，输出变量也随之确定。,逻辑函数描述输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的因果关系。,举例：楼梯照
5、明灯的控制电路,描述逻辑函数各个输入变量的取值组合和输出变量取值之间对应关系的表格叫做真值表。例1：用真值表表示逻辑函数例2：用真值表证明,真值表,逻辑函数表达式,具体步骤：找出真值表中逻辑函数L=1的那些输入变量取值的组合。每个输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写成原变量，取值为0的写成反变量。将这些乘积项相加，即得到L的逻辑函数表达式。,逻辑函数表达式是用与、或、非等运算组合起来，表示逻辑函数与逻辑变量之间关系的逻辑代数式。例：已知某两个逻辑函数L1,L2的真值表，写出真值表所表示的逻辑函数L1,L2的逻辑函数表达式。,逻辑图,用与、或、非等逻辑符号将逻辑函数中各个变量之间逻
6、辑关系表示出来的一种图形称为逻辑函数图，简称逻辑图。例1：用逻辑图表示下列逻辑函数注意：逻辑运算的先后顺序，即先进行单个变量的非运算，然后按先括号内后括号外、先“与”后“或”的顺序。例2：写出逻辑图的逻辑函数表达式。,例：已知A、B的波形，求AB和A+B的波形。,A,B,AB,A+B,首先写出A、B的分段值，再按照逻辑运算的规律计算可得。与运算：有0出0，全1为1。或运算：有1出1，全0为0。,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,B为0,A为0,同理可得,这就是逻辑波形图。,波形图,控制楼梯照明
7、灯电路,楼道灯开关示意图,1.真值表表示方法,控制楼梯照明灯电路（续）,逻辑表达式：,逻辑图：,用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系。,控制楼梯照明灯电路（续）,2.2 逻辑代数的基本定律和恒等式,0-1定律,交换律：,分配律：,反演律（摩根定理）：,吸收律：,其它常用恒等式：,结合律：,异或和同或的性质*,逻辑代数的基本规则,代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某变量A，都用一个函数代替，该等式依然成立，这个规则称为代入规则。,反演规则：源于摩根律，要完成3个变换，用于求反函数。,运算符的变换：,变量的变换：,常量的变换：,逻辑代数的基本规
8、则,例2：,，求,在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：(1)保持运算的优先顺序不变(先括号，再与，最后或)，必要时加括号表明。(2)对于反变量以外的非号（即非号包含两个以上的变量时）保持不变。,例1：,，求,逻辑代数的基本规则,对偶规则：某个逻辑恒等式成立时，其对偶式也恒成立。,在一个逻辑函数式L中，实行运算符互换，常量“0”“1”互换，得到的新逻辑式记为L，则称L为L的对偶式。（注意不实行变量的互换。）,例如吸收律：,成立，,则其对偶式：,也成立。,例如0-1律：,成立，,则其对偶式：,也成立。,0-1律,变量与常量的关系 与逻辑：或逻辑：,变量与自身的关系 与逻辑：或逻辑：,还原律,吸
9、收律,吸收律：,其它常用恒等式：,(证明),异或和同或的性质,异或和同或的其他性质:,对奇数个变量而言，有 A1A2.An=A1 A2.An,运算定律的证明方法,列真值表的方法：无局限，但烦琐，适用于变量较少的时候,证明吸收律,公式法：灵活、简洁，对技巧的要求比较高,基本定律,结合律,分配律,基本定律,逻辑函数的代数变换,2.3 逻辑函数的代数变换和化简,逻辑函数为什么需要做代数化简？,逻辑函数代数化简的常用方法,并项法,吸收法,配项法,代数化简练习,逻辑函数的代数变换,逻辑函数为什么需要做代数变换,逻辑函数的几种常见形式与-或、或-与、与非-与非、或非-或非、与-或-非、或-与-非,逻辑函数
10、的最简与-或表达式 最简与-或式的特点：与项（乘积项）的个数最少 每个乘积项中变量的个数最少,逻辑函数为什么需要做代数变换,同一函数不同形式的最简表达式,与-或式,或-与式,与非-与非式,或非-或非式,与-或-非式,或-与-非式,代数变换的方法,两次取反，用反演规则（摩根律）,与-或式,与非-与非式,或-与-非式,或-与式,或非-或非式,与-或-非式,与-或式 与非-与非式 或-与-非,或-与式 或非-或非式 与-或-非,并项法化简例题1,并项法化简例题2,并项法化简例题3,并项法化简例题4,吸收法例题1,吸收法例题2,吸收法例题3,吸收法例题4,吸收法例题5,吸收法例题6,配项消去法例题1,
11、配项消去法例题2,配项消去法例题3*,配项消去法例题4,配项消去法例题5,逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。,配项消去法例题5,化简下列逻辑函数,2.4 逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法,逻辑函数的标准形式 最小项表达式 最大项表达式 最大项与最小项的关系,用卡诺图表示逻辑函数 卡诺图（Karnaugh Map）框架的特征 逻辑函数的卡诺图表示法,最大项的定义,定义：n个变量 的最小项，是n个因子的逻辑乘（相与），每一个变量
12、都以它的原变量 或反变量 的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，如有A、B两个变量时，最小项为,最大项的定义：n个变量 的最大项，是n个因子的逻辑和（相或），每一个变量都以它的原变量 或反变量 的形式在或项中出现，且仅出现一次，如有A、B两个变量时，最大项为,最大项编号,最小项：与项，原变量用1表示，反变量用0表示。最大项：或项，原变量用0表示，反变量用1表示。,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,
13、1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,C,B,A,最大项,(1)对于任何一个最大项，只有一组输入变量的取值使它的值为0，而在取其他各组值时，这个最大项的值为1。,(4)若干个最大项之积等于其余最大项之积取反。,(2)对于输入变量的任何一组取值，任何两个最大项的和为1。,(3)对于输入变量的任何一组取值，所有最大项的积为0。,L(A,B,C,D)=(0010,0110,1101,1010)=0，则L的最大项为：,则：,注意:在最大项中，使L=0的输入变量取值为1时，用反变量表示,取值为0时，用原变量表示，例如:,用最大
14、项表示逻辑函数的方法,任何一个逻辑函数，都可以用其最大项之积表示，而且这种表,示是唯一的。将真值表中使L=0的输入变量每一组组合状态用,最大项表示，然后将这些最大项相与即为逻辑函数L的表达式。,逻辑函数的最大项表达式,逻辑函数的最小项表达式,定义：n个变量 的最小项，是n个因子的逻辑乘（相与），每一个变量都以它的原变量 或反变量 的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，则该与项称为最小项。n个变量的最小项应有2n个。,下面的与项则不是三变量逻辑函数的最小项：,如三个变量A、B、C的最小项有8项，分别为,最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为最小项号。,最小项的编号,(1)对于
15、任何一个最小项，只有一组输入变量的取值使它的值为1，而在取其他各组值时，这个最小项的值为0。,(4)若干最小项之和等于其余最小项之和取反。,(2)对于输入变量的任何一组取值，任何两个最小项的积为0。,(3)对于输入变量的任何一组取值，所有最小项的和为1。,最小项的性质,逻辑函数的最小项表达式,任一逻辑函数均可由最小项之和的形式来表示，称为最小项表达式。最小项表达式是与-或形式每个乘积项是真值表中函数值为1时,输入变量所对应的最小项和真值表一样,具有唯一性,例：将,化成最小项表达式,逻辑函数的最小项表达式,根据摩根定理：四变量的最小项,最大项与最小项的关系,函数最大项表达式与最小项表达的关系：是
16、一种互为反函数关系，但根据最大项编号原则与最小项编号原则括号内的编号却是一致的。,例：,则最小项表达式的反函数为：,最大项与最小项的关系,例：将,化成最小项表达式,解1：,例：将,化成最小项表达式,解2：,n变量的卡诺图有 个小方格 卡诺图中每个小方格都和一个最小（大）项对应，其编号是一组n位二进制代码最小项排列规律：几何相邻的必然逻辑相邻，即满足循环邻接的特性逻辑相邻：两个最小（大）项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小（大）项可以合并。几何相邻：相邻紧挨的；相对任一行或一列的两头；相重对折起来后位置相重。任意n变量最小项，必定和其它n个不同的最小项相邻。相邻两个方格对应的
17、最小项相或（最大项相与），可以消去唯一变化的变量，达到化简的结果。,卡诺图框架的特征,卡诺图的表示方法,两变量卡诺图,三变量卡诺图,四变量卡诺图,例：三变量卡诺图,已知真值表填卡诺图,（1）根据真值表填卡诺图真值表的每一行即代表一个最小项。输出为1的行，其最小项对应方格填1；输出为0的行，其最小项对应方格填0或不填。,最小项m0m7的值分别为：0、1、1、0、0、1、1、1，则相应的卡诺图为：,0,0,1,0,1,1,1,1,已知表达式填卡诺图,（2）根据逻辑表达式填卡诺图逻辑函数先化成最小项表达式；再根据变量的个数确定卡诺图方格的个数，将表达式中出现的最小项对应的方格填入逻辑1，其余都填0或
18、不填。,例如：,我们已经知道,则相应的卡诺图为：,0,0,1,1,0,0,1,1,直接填卡诺图,（3）直接填卡诺图,相应的卡诺图为：,0,0,1,1,0,0,1,1,卡诺图化简的依据卡诺图化简的步骤已经用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简未用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简具有无关项逻辑函数的卡诺图化简,2.5 用卡诺图化简的逻辑函数,化简的依据,2个相邻最小项合并为一个与项，可以消除1个变量。,注意：2个方格的“包围圈”必须排列成长方形，同在一列或同在一行。,化简的依据,4个相邻最小项合并为一个与项，可以消除2个变量。,注意：4个方格的“包围圈”必须排列成方形格或矩形格的形状，同在一列或同在一行或
19、同在一个田字格。,化简的依据,8个相邻最小项合并为一个与项，可以消除3个变量。,将逻辑函数写成最小项表达式画出逻辑函数的卡诺图 合并相邻最小项（将几何位置相邻的小方格圈在一起）,卡诺图化简的步骤,每个包围圈内只能有2n个方格相邻还包括上下底、左右边、四角方格可以被重复包围，但一个包围圈内不能全为重复使用的方格包围圈内的方格尽可能多、圈尽可能少,根据包围圈写出逻辑函数的最简与-或式,每个包围圈用一个与项表示消去圈内各最小项中互补的因子，保留相同的因子；值为1的用原变量，反之用反变量将各乘积项相或,圈“1”的原则,包围圈内最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，包围圈尽量的少。,所圈1的的个数应为 2i
20、 个；每个圈至少包括一个没有被圈过的1；所有1至少被圈过一次。,圈“1”的原则,包围圈内最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，包围圈尽量的少。,所圈1的的个数应为 2i 个；每个圈至少包括一个没有被圈过的1；所有1至少被圈过一次。,解：确定变量数，画出逻辑函数的最小项卡诺图合并相邻最小项（画包围圈的方法）根据圈组写出逻辑函数的最简与-或式 每个包围圈用一个与项表示 将各乘积项相或,例1：,用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简法,例2：,解：将逻辑函数写成最小项表达式,例1：,画出逻辑函数的最小项卡诺图 合并相邻最小项 根据圈组写出逻辑函数的最简与-或式,未用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简法,例2：,解
21、1：填卡诺图如下：,用包围1的方法做圈：,写表达式：,L=A+B+C+D,例3：,解2：由于卡诺图中为0的方格较少，不妨用包围0的方法做圈，可得：,写表达式：,求反函数：,方法：,解：,则：,1)将原函数变形为与或式，再用相邻项合并后的与式反推填写卡诺图。,2)将原函数分成若干个子式，先分别画出子式的卡诺图，再将子式的卡诺图进行相应的“与”或者“或”运算,例4：用卡诺图化简下列逻辑函数：,与,的卡诺图,L1,=,+,=,的卡诺图,L1,合并相邻项后的逻辑函数:,+,=,L（ABCD）=L1（ABCD）+L2（ABCD）,具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简法,实际电路中未被定义或显然不可能出现的输
22、入变量取值组合称约束项。七段数显，其变量的6个取值组合（10101111）是不会出现的。因为不可能出现，所以约束项本身恒为0，用约束条件表示：相应的最小项是否出现在函数表达式中不影响函数值逻辑电路中，逻辑结果可以是任意的输入变量取值组合称为任意项。约束项和任意项统称为无关项。在Kmap中，无关项（dont care）可用“”标识，我们可以根据需要自由选择要不要圈入“”来化简在化简过程中，和1方格几何位置相邻的无关项，均可视为其逻辑相邻项。,无关项卡诺图化简法,解：将约束条件 化成最小项之和的形式：,函数的约束项为m9,m10,m12,m13。,化简后的结果为,练习,卡诺图化简结果不唯一,练习,练习,
