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1、第三节 曲面的第二基本形式,3.1 曲面的第二基本形式一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有必要知道在曲面上任意一点 P 邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用 P 点邻近的点 Q 到 P 点的切平面的垂直距离来表示，这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全决定的曲面的形状。,二、曲面的第二基本形式,给定类 的曲面S：曲线（c）：u=u(s),v=v(s)或 是曲面上过 P 的一曲线，为 P 邻近一点，它们的向径分别为,设 为曲面在
2、P 点的单位法向量，由 作切平面 的垂足为Q，为从切平面到曲面 S 的有向距离，则。所以有,当 时，的主要部分是,由于,所以,它称为曲面的第二基本形式,它的 L、M、N系数称为曲面的第二类基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻划了曲面在空间中的弯曲性。注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负。,三、第二类基本量的计算,1、,2、对 进行微分得,3、对于显函数 z=z(x,y)表示的曲面有,例题1、2,3、2 曲面上曲线的曲率,曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快慢
3、来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线）来求得，这条曲线就是法截线。,一、法截面与法截线,1、给定类 的曲面S：（c）：u=u(s),v=v(s)或 是曲面上过 P 的一曲线，曲线在 P 的切向量与主法向量为 则,设 P 点的法向量 与主法向量 的夹角为，则,所以,但,2、定义：给出曲面上一点 P 及P点的一切方向du:dv，于是方向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的法截面，这个法截面与曲面S的
4、交线称为曲面S在P 点沿方向(d)法截线。,二、法曲率,设方向（d）所确定的法截线为(c0)，它在 P点的曲率为 k0，对于(c0)，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量 为s在P点的法向量或它的反向量，即，所以 由公式（1）得,其中 和 的方向相同时取正号，此时（c0）往 的正侧弯曲，取负号，反向弯曲。,定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为,注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c）的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（c0）在P点相切就行了，因为它们此时的切方向相同了。所以 设曲面上一曲线（c）和法截线（
5、c0）切于P点，则它们有相同的切方向（d）=du:dv，则（1）和（3）得 利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论。,三、梅尼埃定理,设 R=1/k，即 R 为曲线（c)的曲率半径，Rn=1/kn，称R为曲线（c0)的曲率半径，也称为法曲率半径。则公式，可写为,梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。四、一个例，球面。,3.3 杜邦指标线,一、杜邦指标线 现在考虑通过曲面上一点的所有法截线的法曲率之间的关系.为方便，取P点为坐标原点，坐标曲线在P点的切方向为它们构成了曲面
6、在P点的切平面上的一个坐标系。在这个切平面上给定一个方向（d），并取PN长为，则对于切平面上所有方向，N点的轨迹称为曲面在P点的杜邦指标线。,二、杜邦指标线的方程,取（d）上的单位向量为，设N点在前面的坐标系下的坐标为(x,y),则,两边平方得,三、曲面上的点的分类,按曲面上的点的杜邦指标线进行分类 1）若，则点P称为曲面的椭圆点，这时杜邦指标线是一椭圆。2）若，则点P称为曲面的双曲点，杜邦指标线为一对共轭的双曲线。3）若，则称P为曲面的抛物点，杜邦指标线为一对平行直线。4）若，则称P为曲面的平点，这时杜邦指标线不存在。,例：平面上的点为平点。因为平面方程为 它的二阶微商全为零，因此第二类基本
7、量全为零。,3、4 曲面上的渐近方向与共轭方向,一、曲面的渐近方向与渐近线1、定义：如果P是曲面的双曲点，则它们的杜邦指标线有一对渐近线，我们把沿渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向。,设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这两个方向满足方程也就是使得法曲率为零的方向。,2、渐近曲线 曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方向，则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是,命题2：曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 密切平面。,习题9,3、性质 命题1：如果曲面上有直线，则一定是曲面的渐近曲线。由法曲率公式即证：,证明：沿渐近曲线有 若 k=0，则为直线，这
8、时曲面的切平面通过它，因此切 平面又是密切平面；若，则曲面的法向量垂直于渐近曲线的主法向量，因此曲面的切平面通过渐近曲线的切线外，还通过渐近曲线的主法向量，所以它又是渐近曲线的密切平面。,4、渐近网,1）如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族曲线称为曲面上的渐近网。,2）定理：曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L=N=0。,证明：必要性：若曲纹网是渐近网，则du=0或dv=0 应满足渐近曲线的微分方程代入得L=N=0。,充分性：若L=N=0,又du=0或dv=0,代入必有即曲纹网是渐近网。,二、共轭方向,1、定义：设曲面上P点处的两个方向分别为 如果包含这两个方向的直线
9、是P点的杜邦指标线的共轭直径，则这两个方向称为曲面的共轭方向。,2、共轭条件：由解析几何学知，两方向共轭的充要条件是现杜邦标线为 因此 共轭充要条件为,所以两方向共轭也可写为,特别当 时，条件就为为渐近方向，故渐近方向为自共轭方向。,但,3、共轭网,1）给出曲面上的两族曲线，如果通过它上面每点，曲线族中的两条曲线的切方向都是共轭方向，则这两族曲线称为曲面上的共轭网。,2）共轭网满足的条件：设共轭网中两族曲线的方向分别为，则这两个方向应满足(1)设一族曲线的微分方程为 Adu+Bdv=0(2)联立（1）（2）为关于du,dv的齐次方程组，它有非零解的充要条件是为与曲线族（2）共轭的曲线的微分方程
10、。,命题4：曲面的曲纹网为共轭网的充要条件是M=0。,特别地，取（2）为坐标曲线dv=0，即u 线，则它的共轭曲线族为 如果这族曲线为v线（）则M=0。因此得到,3、5 曲面的主方向和曲率线,一、主方向 1、定义：曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭，则称为曲面在P点的主方向。,2、主方向满足的条件（1）设两个主方向为（d）（）,两式联立并消去 得这就是主方向所满足的条件，也可写成,展开得,3、主方向的个数,由主方向满足的方程知，主方向的个数由它的判别式确定：1）判别式大于零，方程有两个不同实根，即有两个不同的主方向；2）没有判别式小于零的情况。3）当且仅当 EN GL=EM FL=0
11、 时判别式等于零。此时有 E/L=F/M=G/N 这种情况是特别的，定义：若曲面上一点处有 E/L=F/M=G/N，则这种点称为曲面上的脐点。结论：1）曲面上每非脐点总有两个不同的主方向，它们是杜邦指 标线的主轴方向。2）在脐点，前面的行列式为恒等式，即对于任何方向，行列式 为零，因此在脐点的每个方向都是主方向。3）L=M=N=0的脐点称为平点，L,M,N不同时为零的脐点叫圆点。,二、主方向判别定理（Rodrigues定理）：若方向（d）是主方向，,则，其中 是曲面沿方向(d)的法曲率；反之，如果对于方向(d)有，则(d)是主方向，且 是沿方向(d)的法曲率。,证明：设(d)是主方向，是与(d
12、)垂直的另一主方向，由 得 利用正交和共轭得 于是有，两边点积 即：-=，所以,反之，设，是与(d)垂直的另一方向，,三、曲率线与曲率线网,1、定义：曲面上一曲线，如果它上面的切方向都是主方向，则称为曲率线。,2、曲率线的微分方程是,3、曲率线网 曲率线的微分方程为二次方程式，所以它确定了曲面上的两族曲率线（每一点都有两条），这两族曲率线构成的网称为曲面上的曲率线网。例题,注意：这个方程既是主方向的条件，也是曲率线的微分方程，前者是对曲线上一点而言，后者是对整条曲线而言。,4、曲纹网为曲率线网的条件,命题5：曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是F=M=0。,1）先证明在不含脐点的曲面片上，
13、选择适当参数，可使曲率线 网成为曲纹坐标网。从曲率线网的微分方程因式分解，可得两 族曲率线的微分方程，它们可表示为 Aidu+Bidv=0（i=1,2)，设 为它们的任何积分的积分因子，则有 而在曲面上的每一点，两个方向互相垂直，所以曲率线彼此不 相切，行列式 引进 为新参数，则 线为新的曲纹坐标，这样就使曲面上的曲率线网成了曲纹坐标网。这个证明还说明曲面上的任何一个正规网都可以为曲纹坐标网。,3、6 曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率,一、主曲率1、定义：曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主 曲率，也就是沿曲率线方向的法曲率，这是因为曲面在一点处的主方向就是过此点的曲率
14、线的方向。,2、由定义，主方向判别定理可写为：对于曲率线有 为主曲率，反之也成立。或：曲面上的曲线为曲率线的充要条件是 是主曲率。,2、设 为任意方向(d)和u-线方向之间的夹角，则,这个公式称为欧拉公式（Euler),3、两点说明 1）欧拉公式中只要知道了主曲率，则任意方向(d)的法曲率 就可以用(d)和u-线的夹角确定。,2）欧拉公式是在脐点成立，但在脐点也成立，此时E/L=G/N 即任意方向的法曲率都相等。,三、主曲率的一个命题,曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。,证明：在非脐点，两主曲率不相等，不妨设k1k2，由欧拉公式,同理有 即即主曲率是
15、这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。,四、主曲率的一个计算公式,由主方向判别定理，沿主方向(d)有 则 两边分别与ru，rv作内积 即-Ldu-Mdv=-kN（Edu+Fdv）-Mdu-Ndv=-kN（Fdu+Gdv）整理得到关于du,dv的齐次方程，它有解的充要条件是 这就是主曲率的计算公式。也可用二次方程表示。,五、高斯曲率和平均曲率,1、设k1,k2为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积k1k2称为曲面在这点的高斯曲率（全曲率，总曲率），记为 K，即 K=k1k2。而k1,k2的平均数称为曲面在这点的平均曲率（中曲率），用H表示，即H=1/2（k1+k2)。由韦达定理知,2)若曲面用
16、z=z(x,y)表示则,3）例题6。,六、极小曲面,1、极小曲面 1)Plateau 问题，1866年提出。2）平均曲率为零的曲面。第六节。,2、研究状况 1）寻找极小曲面 1774年欧拉找出悬链面，1860年Bonnet证明了它是旋转面中 唯一的极小曲面。1776年Meusniner,正螺面。1842年，Catala证明了它是直纹面中仅有的极小曲面。1834年，Scherk,z=log(cosy)-log(cosx)，他证明了它是平移曲面中唯一的极小曲面。,2）系统研究的黄金时代 1855-1890，提出、寻找。1930-1940，解决Plateau问题。方兴未艾，极小子流形。,把计算机用于
17、极小曲面论中（整体的），可以得到无数个极小曲面。经典结论：有限型的极小曲面有三种：平面、正螺面、悬链面。,3）求出极小曲面是的曲面的一种：悬链面。例7。,3、7 曲面在一点邻近的结构,一、椭圆点：，适当选择 曲面的法向量可使主曲率全大于零，此时曲面的任意方向的法曲率都大于零，由法曲率的定义 得法曲率就是相应的法截线的曲率，所以曲面沿所有方向都朝 法向量的正侧弯曲。又主曲率k10,k20,即主方向上的两个法截线的曲率大于0，这两 个法截线都有是平面曲线，由第一章的结果，平面曲线在一点邻近的近似方程为所以这里得到它的近似方程为，它们都是抛物线，所以曲面在椭圆点邻近的形状近地等于椭圆抛物面。,二、双
18、曲点,因此对应于主方向k1（k2）的法截线朝法向量的反（正）侧弯曲，它们在两个主方向的近似形状为：,由欧拉公式得到各方向法曲率的变化情况（P107）可以看出，在四个方向上有kn=0，它们是双曲点的渐近方向，并得到,在渐近方向的对顶角中，一对对顶角包含法曲率小于0的法截线的方向，这时曲面朝法向量反向弯曲，另一对顶角中，曲面向法向量的正向弯曲，因此曲面在双曲点的邻近的形状近似于双曲抛物面。,三、抛物点,对于(1)，设 k10，k2=0，对应于主曲率的两条法截线中有一条朝法向量的反向弯曲，另一个主方向是渐近方向，又故除渐近方向外，所有方向的法曲率都小于0，即朝法向量的反向弯曲，由第一章的结果，主方向
19、上法截线的形状分别近似于 和其中前一个是朝法向量的反向弯曲的抛物线，后一个为立方抛物线。P109图。,对于平点来说 L=M=N=0，因此这时主方向上的两条法截线的形状都近似于立方抛物线：,3、8 高斯曲率的几何意义,一、高斯映射(球面表示）1、定义,2、在高斯映射下。平面的球面像是一个点，圆柱面的球面 像是一个大圆，抛物面的球面像则是一个区域。,3、高斯映射的表示：,二、曲面的第三基本形式,1、定义：把 的长度平方称为曲面的第三基本形式，记为=实际上就是曲面的球面表示的第一基本形式。这里e,f,g叫做曲面的第三类基本量,2、第一、二、三基本形式的关系定理：曲面的三个基本量之间存在关系-2H+K
20、=0。,三、高斯曲率的几何意义,1、命题7：曲面上 P 点邻近的区域 在单位球面上的表示为 则有,证明：其中积分区域 为曲纹坐标 u,v 的变化区域，而 u,v 同时为这两个积分中的变数。由于 分别是曲面和球面的法向量，而曲面上的单位法向量 为球面上一点的向径，同时出是球面上的法向量，因此它们平行，有由拉格朗日恒等式得到,所以,应用二重积分的中值定理，有其中KQ表示高斯曲率在区域 中某一内点Q的值。由此得到,高斯曲率的几何意义是其绝对值为单位球面上的区域 的面积与曲面上的对应区域 的面积之比，当 趋于 P 时的极限。,2、高斯曲率的符号的几何意义：由 所以当 K0 时，两法向量同向，当 K0 时，两法向量反向。,
