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1、,第二节 中心极限定理,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.,当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？,在
2、什么条件下极限分布会是正态的呢？,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,的分布函数的极限.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.,考虑,中心极限定理,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,我们只讨论几种简单情形.,下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（LevyLindberg）定理.,定义,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,设X1,X2,是独立同分布的
3、随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,，则,虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+Xn 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.,定理(棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).,中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。,例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命
4、的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi独立，,16只元件的寿命的总和为,解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为,解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由于E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,稍事休息,例2.(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要
5、检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.,问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,用X表示在某时刻工作着的车床数，,解：对每台车床的观察作为一次试验，,每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6，共进行200次试验.,依题意，,XB(200,0.6),现在的问题是：,求满足,设需N台车床工作，,（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯极限定理,近似N(0,1),于是 P(XN)=P(0XN),这里 np=120,np(1-p
6、)=48,由3准则，此项为0。,查正态分布函数表得,由 0.999，,从中解得N141.5,即所求N=142.,也就是说,应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.,例3 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.,问对序列Xk,能否应用大数定律？,诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.,解:,即对任意的0,解:,诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.,(2)至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在之间的概率至少是0.95?,解：设应取球n次，0出现频率为,由中心极限定理,近似
7、N(0,1),近似N(0,1),欲使,即,查表得,从中解得,即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在之间的概率至少是0.95.,(3)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.,解：在100次抽取中,数码“0”出现次数为,E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09,即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.,=0.6826,近似N(0,1),这一讲我们介绍了中心极限定理,在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释
8、为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,无处不在的9,任取一多位数（位数大于等于2），然后交换次序得另一数，将大数减小数，求差数的各位数之和，若为一位数则必为9，若是多位数，则在求其各位数之和，如此反复，直到和为一位数，则必为9.如：72-27=45,4+5=9.,二维Hilbert曲线,德国数学家David Hilbert发现了这样一种可以填满整个单位正方形的分形曲线，他称它为Hilbert曲线。我们来看一看这条曲线是怎么构造出来的。首先，我们把一个正方形分割为4个小正方形，然后从左下角的那个小正方形开始，画一条线经过所有小正方形，最后到达右下角。现在，我们把这个正方形分成16个小正方形，目标同样是从左下角出发遍历所有的格子最后到达右下角。,而在这之前我们已经得到了一个2x2方格的遍历方法，我们正好可以用它。把两个2x2的格子原封不动地放在上面两排，右旋90度放在左下，左旋90度放在右下，然后再补三条线段把它们连起来。现在我们得到了一种从左下到右下遍历4x4方格的方法，而这又可以用于更大规模的图形中。用刚才的方法把四个4x4的方格放到8x8的方格中，我们就得到了一条经过所有64个小方格的曲线。不断地这样做下去，无限多次地迭代后，每个方格都变得无穷小，最后的图形显然经过了方格上所有的点，它就是我们所说的Hilbert曲线。,三维Hilbert曲线,
