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1、第三章 3.4节 中心极限定理,主要内容,问题提出,林德贝格-列维(中心极限定理),棣莫佛-拉普拉斯定理,归纳小结,例如:考虑大炮的射程.,受风速、风向影响产生的误差；,在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。,如大炮炮身结构导致的误差；,发炮士兵技术引起的误差等等。,对我们来说重要的是这些随机因素的总的影响。,大炮的射程受很多随机因素的影响:,瞄准时的误差；,中心极限定理的客观背景,一、问题的提出,研究表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,下面我们来研究独立随机变量之和所特有
2、的规律性问题.,当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.,二、中心极限定理,定理4.6 林德贝格-列维(中心极限定理),（证略）,定理（说明）,即，n 充分大时，有,可化为,记,则有,大样本统计推断的基础,某汽车销售点每天出售汽车数服从参数为2的泊松分布.若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车是相互独立的,求一年中售出 700辆以上汽车的概率.,解 记Xi为第i天出售的汽车数量,利用林德贝格-列维中心极限定理,可得,则
3、一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.,例1：,某餐厅每天接待400名顾客,设每位顾的消费额(元)服从(20,100)上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的.试求:(1)该餐厅每天的平均营业额;(2)该餐厅每天的营业额在平均营业额760元的概率.,而该餐厅每天的营业额为,解 设Xi为第i位顾客的消费额,Xi U20,100.所以 EXi 60,DXi 16003.,例2：,(1)该餐厅每天的营业额为,(2)利用林德贝格-列维中心极限定理,知,这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760之间的概率近似为0.90.,某人钓鱼平均每次钓到2kg,方差2.25kg2.问:至少钓多少
4、次鱼,才能使总重量不少200kg的概率为0.95?,解 设此人共钓n次,各次钓到的鱼的重量为随机变量Xi,则 EXi 2,DXi 2.25.,根据林德贝格-列维中心极限定理,Z近似服从N 2n,2.25n.,例3：,解方程,得n=113.12.因此,取n=114即可.,则有,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,望和方差：,记,考虑特殊情况:,均服从参数为p的0-1分布,于是有,定理4.7 棣莫佛-拉普拉斯定理,0-1分布，则对任意实数 x，有,【棣莫弗-拉普拉斯中心定理】,即，n 充分大时，有,0-1分布，则对任意实数 x，有,2、棣莫弗-拉普拉斯中心定理,即，n 充分大时，有,棣莫弗-拉普拉斯定理
5、（二项分布以正态分布为极限分布）,意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。,或,即有近似计算公式,注 1 定理2表明正态分布是二项分布的极限,3 实际应用中当n很大时,分布，也称为“二项分布的正态近似”.,2 与“二项分布的泊松近似”相比较,两种近似,都要求n很大.,1 如果p很小而np不太大时,采用泊松近似;,2 如果 np 5 和 n1 p 5 同时成立时,采用正态近似.,下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.,例4 设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)
6、保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.,解:,设10000投保人中一年死亡X人，,则显然有,保险公司一年的收入为：,保险公司一年的支出为：,（1）,保险公司没有利润的概率为,例4 设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.,解:,设10000投保人中一年死亡X人，,则显然有,保险公司一年的收入为：,保险公司一年的支出为：,（2）,每年利润不少于60000元的概率为,解 令X表示同时要外线的电话机数,则 XB1
7、000,0.05,且 np50,np(1p)47.5.根据棣莫佛-拉普拉斯定理,X近似服N50,47.5.假定安装 k 条外线,可使,某单位有1000部内线电话,每部电话打外线的概率为0.05,问需要装多少外线,才能保证每部电话打外线时,即时接通的概率不小于0.95?,例5,查表得 1.645 0.95.由单调性,应有,解得 k 61.3.因此,安装62条外线即可.,则有,例6 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（
8、1）求来参加会议的家长数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。,解:,(1),以 表示第k个学生来参加会议的家长,人数。,易知 的分布律为,有,由林德贝格-列维中心极限定理，有,则有,例6 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求来参加会议的家长数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。,解:,(2),以Y 表示只有一名家长来参加会议的学生数，,则有,于是，由拉普拉斯中心极限定理，有,中心极限定理,独立同分布情形,二项分布的正态近似,内容小结,棣莫佛(Abraham de Moivre),主要的贡献是在一般分布与概率论上,包括斯特林公式以及棣莫佛-拉普拉斯定理.,法国数学家.,发现了棣莫佛公式,将复数与三角学联系起来.,1667-1754,拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace),法国著名的天文学家和数学家,天体力学的集大成者.,1749-1827,因著名杰作天体力学被誉为是法国的牛顿.首次提出“天体力学”这一学科名称.,是现在广泛应用于各个领域的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者.,
