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1、,概率论与数理统计第十讲,主讲教师：杨勇,佛山科学技术学院数学系,问题的提出,在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如:已知圆轴截面直径 D 的分布,4.1 一维随机变量的函数及其分布,求截面面积 的分布。,第四章 随机变量的函数及其分布,又如：已知 t=t0 时刻噪声电压 I 的分布，,求功率 W=I2R(R为电阻)的分布等。,一般地，设随机变量 X 的分布已知，求Y=g(X)(设 g 是连续函数)的分布。,设X是一维随机变量，g(x)为一元函数，那么Y=g(X)也是随机变量，称为随机变量X的函数。,4.1.1 离散型随机变量函数的分布,解：当 X 取值-1，0，1，2 时，Y 取对应
2、值 4，1，0 和 1。,由 PY=0=PX=1=0.1，PY=1=PX=0+PX=2=0.3+0.4=0.7，PY=4=PX=-1=0.2.,例1：设随机变量 X 有如下概率分布：,求 Y=(X 1)2 的概率分布。,得 Y 的概率分布：,把 yi 所对应的所有xk(即yi=g(xk)的 pk相加，记成 qi,则 q1,q2,qi,就是Y=g(X)的概率分布。,一般地，若X是离散型随机变量，概率分布为,如果 g(x1),g(x2),g(xk),中有一些是相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同(不妨认为从小到大)的 y1,y2,yi,.,4.1.2 连续型随机变量函数的分布,解：设 X
3、的分布函数为 Fx(x),Y 的分布函数为 FY(y)，则,例2：设随机变量X 有概率密度,求 Y=2X+8 的概率密度。,于是Y 的密度函数,注意到,得,求导可得,当 y0 时,例3：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。,解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0，故当 y0时，FY(y)=0；,若,则 Y=X2 的概率密度为：,从上述两例中可以看到,在求P(Yy)的过程中,关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X,从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式。例如:用X(y-8)/2 代替 2X+8y,用 代替 X2 y。,这样做是为了利用已知的
4、X的分布，求出相应的Y的分布函数 FY(y)。,这是求随机变量函数 Y=g(X)的分布函数的一种常用方法。,下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求连续性随机变量函数的概率密度。,定理的证明与前面的解题思路类似。,其中 x=h(y)是 y=g(x)的反函数，,定理1:设 X是一个取值于区间a,b,具有概率密度 fX(x)的连续型随机变量,又设 y=g(x)是在a,b上处处可导的严格单调函数,记(,)为g(x)的值域，则随机变量Y=g(X)是连续型随机变量，概率密度为,例4：设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。,解：在区间(0,1)上，,于是 y=-2
5、ln x 在区间(0,1)上严格单调下降，有反函数,由前述定理，得,注意取绝对值,已知 X 在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y 服从参数为1/2的指数分布。,4.2.1 离散型分布情形,4.2 二维随机变量的函数的分布,一般地，已知二维随机变量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)(设 g 是连续函数)的分布。,设(X,Y)是二维随机变量，g(x,y)为二元函数，那么Z=g(X,Y)是一维随机变量，称为二维随机变量(X,Y)的函数。,例1：若X与Y独立，且 P(X=k)=ak,k=1,2,P(Y=k)=bk,k=1,2，求 Z=X+Y 的概率分布。,解：Z可能的取值是2，3
6、，4，于是,证明:依题意，有,则,得,即 Z 服从参数为 的泊松分布。,设X和Y的联合密度为 f(x,y),求 Z=X+Y 的概率密度。,因 Z=X+Y 的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域 D=(x,y):x+y z，是直线 x+y=z 左下方的半平面。,4.2.2 连续型分布的情形,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得 Z=X+Y 的概率密度,由X和Y的对称性,知 fZ(z)又可写成,以上两式就是两个随机变量和的概率密度的一般公式。,特别地,当X和Y独立,设(X
7、,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x)和fY(y),上述两式化成:,这两个公式称为卷积公式。,下面考虑用卷积公式求 Z=X+Y 的概率密度的方法。,为确定积分限,先找出被积函数不为零的区域,解:由卷积公式，得,即,（如图示）,即,于是,例4:设X和Y相互独立,均服从标准正态分布，求 Z=X+Y的概率密度。,解:由卷积公式，对-z，有,因为,于是,进一步可以证明：若X和Y 相互独立，且,这表明：Z N(0,2)。,例5：设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，概率密度函数为,如果各周的需要量相互独立，求两周需要量的概率密度函数。,解：分别用X和Y表示该种商品在第一、第二周内的需要量，则其概
8、率密度函数分别为,两周需要量 Z=X+Y,概率密度函数为,被积函数不为零。,当 z0 时，,因此，,当 z 0 时，,所以，Z 的概率密度为,4.2.3 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y)。求 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。,再由X 和Y 相互独立，得到 M=max(X,Y)的分布函数为:,即 FM(z)=FX(z)FY(z).,FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz),=P(Xz)P(Yz).,分析：由于“M=max(X,Y)z”等价于“Xz,Yz”，故有,P(Mz)=P(Xz,Y
9、z).,类似地，可得 N=min(X,Y)的分布函数,下面进行推广到 n 个相互独立的随机变量的情况。,即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z).,=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz),=1-P(Xz)P(Yz).,设X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,分布函数分别为,用与二维时完全类似的方法，可得：,N=min(X1,Xn)的分布函数为,M=max(X1,Xn)的分布函数为,特别地，当X1,Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x)时，有,FM(z)=F(z)n，FN(z)=1-1-F(z)n.,需要指出
10、的是:当X1,Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x)时，常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值分布。,桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的高度、地震的震级等都用极值分布来描述。故，研究极值分布有重要意义。,例 6：如图所示,系统L 由两个相互独立的子系统 L1,L2 联接而成,联接方式分别为:(1).串联；(2).并联；(3).备用(开关完全可靠，子系统 L2在储备期内不失效，当L1.损坏时,L2开始工作)。,解：先求X,Y的分布函数,设L1,L2的寿命分别为X和Y，概率密度分别为:,其中0,0,且为常数。分别对以上三种联接方式写出系统寿命Z 的概率密度。,(1).
11、串联时，Z=minX,Y，FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),(2).并联时，Z=maxX,Y FZ(z)=FX(z)FY(z),当 z 0时，有,(3).备用时，Z=X+Y，,当 z0 时，fZ(z)=0；,习题：对某种电子装置的输出测量了5次，得到观察值X1，X2，X3，X4，X5。设它们是相互独立的随机变量，且有相同的概率密度函数,求Z=maxX1，X2，X3，X4，X5的分布函数。,本节是首先介绍随机变量函数的分布问题。对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时,关键一步是把事件 g(X)y 转化为X在一定范围内取值 X G 的形式，接着利用 X 的分布求 P g(X)y。然后介绍求两个随机变量和的分布、两个独立随机变量极大值分布和极小值分布的原理和方法。,小结,
