《概率论与数理统计第11讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第11讲.ppt（38页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、,概率论与数理统计第十一讲,主讲教师：杨勇,佛山科学技术学院数学系,前面讨论了随机变量及其分布。如果我们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关于 X 的全部概率特征也就知道了。,然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。,因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。,最常用的数字特征是：期望和方差。,4.1.1 离散型随机变量的数学期望,概念引入：,某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。如何定义 X 的平均值？,4.1 数学期望,第四章 数字特征
2、,若统计了100天小张生产产品的情况，发现：,可以得到这100天中每天的平均废品数为,32天没有出废品；30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。,可以想象：若另外再统计100天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，即另外100天每天的平均废品数也不一定就是1.27。,n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.,可以得到这n天中，每天的平均废品数为,(假定每天至多出三件废品),一般来说,若统计了n天,这是以频率为权的加权平均,由频率与概率的关系，,不难想到：求废品数X的平均值时，用概率替代
3、频率，得平均值为：,这是以概率为权的加权平均,这样，就得到一个确定的数 随机变量X的期望(均值)。,定义1:设X是离散型随机变量,概率分布为 PX=xk=pk,k=1,2,。,也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和。,为X 的数学期望(或均值)。,在 X 取可列无穷个值时，级数绝对收敛可以保证“级数之值不因级数各项次序的改排而发生变化”.,例1：有4只盒子，编号为1,2,3,4。现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，求E(X)。,解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的值是1,2,3,4。X=i 表示第i号盒中至少有一个
4、球，编号比i小的盒子中没有球，i=1,2,3,4。,PX=1，表示 1号盒中至少有一个球,X=2 表示 1号盒中没有球，而2号盒中至少有一个球，类似地得到：,于是，,1.两点分布：X B(1,p),0 p 1，则 E(X)=1p+0(1-p)=p.,常用离散型随机变量的数学期望,2.二项分布：X B(n,p)，其中 0 p 1，则,例2：某种产品次品率为 0.1。检验员每天检验 4 次,每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大于 1,就调整设备。若各件产品是否为次品相互独立,求一天中调整设备次数的期望。,解：用X 表示10件产品中的次品数，则XB(10,0.1)，每次检验后需要调整设备的
5、概率为,用 Y 表示一天中调整设备的次数，则YB(n,p)，其中n=4,p=0.2639。所求期望,3.泊松分布:，其中 0，则 E(X)=.,4.1.2 连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，密度函数 f(x)在数轴上取很密的点 x0 x1 x2,则X 落在小区间 xi,xi+1)的概率是,在小区间xi,xi+1)上,阴影面积,该离散型随机变量的数学期望是,小区间Xi,Xi+1),由于xi与xi+1很接近,所以区间xi,xi+1)中的值可用 xi 来近似地替代。,这正是,的渐近和式。,阴影面积,从该启示出发，我们给出如下定义。,定义2：设X是连续型随机变量，概率密度为 f(x),如
6、果 有限，则称,为X的数学期望。,也就是说：连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值.,例3：设随机变量X 的概率密度为,求 E(X)。,解：,若X Ua,b,即X服从a,b上的均匀分布,则,若X 服从参数为 的指数分布，则,由随机变量数学期望的定义，不难计算出：,若X 服从，则,这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分别测量他们的身高。则这些身高的平均值近似地为1.68。,已知某地区成年男子身高X,例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时,计算 P1000X1200。,解：由 E(X)=1/=1000，知=0.001，X的概率密度为,I.问题的提出：,设随机变量
7、X的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是 g(X)的期望。那么，如何计算呢？,4.1.3 随机变量函数的数学期望,一种方法是：由于g(X)也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定义把 Eg(X)计算出来。,但使用该方法 必须先求出g(X)的分布。一般说来，这是比较复杂的事。,那么,可否不求g(X)的分布，而只根据X的分布来计算 Eg(X)呢？,答案是肯定的。且有如下公式：,设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X=xk)=pk;当X为连续型时,X 的密度函数为 f(x)。,该公式的重
8、要性在于：当我们求 Eg(X)时,不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布足矣。这对求 g(X)的期望带来了极大方便。,解：,例5：设,例 6：设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位:吨)。X服从区间2000,4000 上的均匀分布。每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大?,解：设组织货源 t 吨。显然，应要求2000t 4000。国家收益Y(单位:万元)是X 的函数Y=g(X)。表达式为,由已知条件,知X的概率密度函为,达到最大值 8.25103。因此，应组织3500吨货源。,令,求得E(Y
9、)的唯一极值点t=3500.这个点正是E(Y)的最大值点.故当 t=3500 时，,设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为 pij,i=1,2,，j=1,2,.则：,设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为 f(x,y),则:,前面我们给出了求g(X)的期望的方法。实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)的情形。,例7：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y的期望.,E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125,解：记g(x,y)=x2+y,=4.25.,例8：设随机变量X和Y相互独立，
10、概率密度分别为,求 E(XY)。,解：,因 g(X,Y)=XY,X 和Y 相互独立。,所以，,4.1.4 期望的性质,(1).设C是常数，则E(C)=C;,(4).设 X,Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,(2).若k是常数，则E(kX)=kE(X);,(3).E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);,注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立,推广：,推广：,(诸Xi 独立时)。,期望性质的应用,例9（p95例）:求二项分布的数学期望。,分析：若 X B(n,p)，则 X 表示n重伯努利试验中“成功”的次数。,设,则 X=X1+X2+Xn，,i=1,2,n.
11、,由此可见：服从参数为n,p的二项分布的随机变量X的数学期望是 np。,=np.,因为 PXi=1=p,PXi=0=1-p，,所以 E(X)=,E(Xi)=p，,例10：将 n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的期望。,解：引入随机变量,则 X=X1+X2+XM.于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+E(XM).,每个Xi都服从两点分布，i=1,2,M。,因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)。,故n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n，即,习题：某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数,公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。,解：设Y表示售出一台机器的获利。则Y是X的函数，即,于是,故该公司每售出一台机器平均获利1000元。,小结,本讲介绍了随机变量数学期望的概念、性质及计算，给出了几种常用随机变量的数学期望，介绍了求随机变量函数数学期望的方法。,
