《概率论第一章例题.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论第一章例题.ppt（55页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、指出下列各等式命题是否成立,并说明理由:,(1),(2),(3),(4),解,(1),成立.,(分配律),(2),不成立.,故二者不等.,(3),不成立.,必然不发生,(4),成立.,化简下列事件:,(2),(1),解,(1),(分配律),(2),(交换律),(结合律),(对偶律),(2),已知,求,(1),(2),(3),(4),解,(1),因为,故有,于是,(2),(3),(4),解,记事件,则,只订一种报,又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性质 3,有,医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是
2、幸运的因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”,医生的说法对吗?,请同学们思考.,练习,已知,求下列事件的概率,解,3.古典概型的基本模型:摸球模型,(1)无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,不考虑顺序,(2)有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量无限,问题1 把
3、 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2)每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,例3 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,于是所求概率为,例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12
4、 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,假设某班有N位同学，有a张电影票，采用抓阄的办法发放电影票，求第k个同学抽到电影票的概率,练习,解,全部抽完(考虑顺序),前k个人抽完(考虑顺序),全部抽完(不考虑顺序，
5、只考虑有票的位置),只考虑第k个人,练习 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定(1)见车就乘;(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车站是等可能的.,见车就乘的概率为,设 x,y 分别为甲、乙两人到达的时刻,则有,解,例1 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品、1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A=“第一次取到一等品”、事件B=“第二次取到一等品”试求
6、条件概率 P(B|A).,解,由条件概率的公式得,解法二,在缩减的样本空间中考察事件B,解法三,直接由题意解得,例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?,设 事件A=“能活 20 岁以上”，B=“能活 25 岁以上”,则有,解,解,例3,此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.,例4 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,以
7、B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,例2 五个阄,其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?,解,则有,抓阄是否与次序有关?,依此类推,故抓阄与次序无关.,例2,解,(1)由全概率公式得,(2)由贝叶斯公式得,类似可得,解,例3,由贝叶斯公式得所求概率为
8、,概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.,得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.,思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此题要用全概率公式来讨论.,例4,解,又因为,思路 为了求系统的可靠性,分两种情况讨论:,例5,解,所以,备 用 例 题,例1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?,解,事件 B=“击落飞机”,三、例题讲解,例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人
9、都击中飞机必被击落,求飞机被击落的概率.,解,设A,B,C 分别表示甲、乙、丙击中飞机,因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为,例6 要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少?,解,于是有,解,(1),由于一条自动生产线上的产品很多，当抽取的,件数相对较少时,可将无放回抽取近似
10、看成有放回抽取,设 A=“任取 1 件是次品”,B=“10件中至少两件次品”,则,=“第二次抽到次品时，已取到8件正品”,(2),=“前九次抽一件次品，8件正品”，,=“第十次抽一件次品”,D=EF,解,(1),“通过试验新药被否定”,设“通过试验判断新药有效”,(2),例9,一辆飞机场的交通车载有 25 名乘客途经 9个站,与“第 站停车”两个事件是否独立.,解,每位乘客都等可能在这 9 站中任意一站下车(且不受其他乘客下车与否的影响),交通车只在有乘客下车时才停车,求交通车在第 站停车的概率以及在第 站不停车的条件下第 站停车的概率,记,=“第 站停车”,=“第 站停车”,则,若 不发生，每位乘客均等可能地在另外8站下车，,因,故 与 不独立,从而 与 不独立.,判断“第 站停车”,解,=“高炮击中飞机”,=“敌机被击落”,由,即,解得,故至少应配置 6 门炮才能达到要求.,(2),设命中率为,由,得,解此不等式得,从而得,即每门炮的命中率至少应为 0.785.,第一章 综合,事件的运算:,(2)下列等式成立吗？,(1)化简下列事件,解,(1),练习1,(2),练习2,已知,求下列事件的概率，A与B独立吗？,解,A与B不独立,如图是一个串并联,的元件.,它们下方的数字,是它们各自正常工作的概率,求电路系统的可靠性.,电路系统.,都是电路中,解,其中,代入得,练习3,
