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1、标题/,完美的正方形,标题,19.2.3 正方形,有一个直角,有一个直角,矩形,有一个直角,矩形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,正方形,正方形,有一个角是直角,创设情景一,问题:,图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？,当CD移动到CD位置，此
2、时AD AB，四边形ABCD还是矩形吗？,A,B,两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,有一个直角,正方形,平行四边形,你能给正方形下一个定义吗？,正方形的概念：_ 的平行四边形是正方形。,_的菱形是正方形,_的矩形是正方形,定义,有一组邻边相等且有一个角是直角的,有一个角是直角,有一组邻边相等,1 正方形的定义,由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形。如图(1)。,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。,平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系!,大家谈,小结:,正方形是特殊的平行四边形，也
3、是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,?,正方形的性质=,为什么说正方形是一个完美的图形？,对称性,特征,正方形是中心对称图形,对称中心为点O,它也是轴对称图形,有4条对称轴,(1)它具有平行四边形的一切性质,两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分,(2)具有矩形的一切性质,四个角都是直角，对角线相等,(3)具有菱形的一切性质,四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,(A),(B),(C),(D),正方形性质:边:对边平行；四边相等；角：四个角都是直角；,对角线：,对称性：,对角线相等；,对角线互相垂直；,每条对角线平分一组对角；,正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；,对
4、角线互相平分；,例1：1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是,（填上一个条件即可）,试一试，相信你很棒！,1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角,C,2.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的图形可能是（）A.平行四边形、矩形、菱形 B.菱形、矩形、正方形C.矩形、正方形 D.菱形、正方形,D,3.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长为,对角线长为,面积为.,8cm,4.正方形的对角线和它的边所成的角是 度.,45,5.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长为，面积为。,6.已知正方形
5、ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一点,PEAC,PFBD,E、F为垂足,则PE+PF=。,5cm,正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.,选一选,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.,B,D,例：下列正确的是,.四边相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,练:正方形ABCD中，M为AD中点，MEBD于E，MFAC于F,若ME+MF=8cm，则AC=_.
6、,课堂练习,例3.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PEAC于E，PFBD于F,则PE+PF=_.,5,30,16cm,2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边DCE,则AEB=_.,分析：PE=AE，PF=OEPEPFOA,例题解析,例题,例1.如图，在正方ABCD中，对角线AC、BD相交于O，1)图中有多少个等腰直角三角形2)说出图中相等的线段、相等的角。3)求ABD、DAC、DOC的度数。,答案：1、八个 ABCBCD CDA DAB AOB AOD BOC COD,2 AB=BC=CD=DA AC=BD OA=OB=OC=OD,3答案见课本107页,练习1已知：正方形A
7、BCD对角线AC、BD相交于点O，且ABacm，如图(2)。,求：AC的长及正方形的面积S。,练习2已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6 cm，如图求：正方形的面积S。,1.如图，正方形ABCD中，两对角线交于O,E是AC上一点，CE=AB，则ACB=_DOC=_,BEC=_,EBO=_,A D,B C,E,O,2.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是,A D,B C,O,P,Q,R,正方形的性质与判定2,大悟县三里中学,例题解析,例题,例4.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰
8、直角三角形。,分析,分,析,：,这是一道几何命题的证明,该怎么做?你会做吗?,第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知第三步：写出求证第四步:进行证明,图中共有多少个等腰直角三角形？,例1.求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知:四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O.,求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.,证明:四边形ABCD是正方形,并且ABOBCOCDODAO,ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,AC=BD,ACBD,AO=CO=BO=DO.,随堂练习,用10米长的篱笆围成一个四边形菜地，如何确定面积最大的四边
9、形的形状，面积为多少？,在长度给定的情况下，围成的四边形中，正方形的面积最大。,问题:,3.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE交对角线BD于点F，则图中全等三角形共有（）,A B,C D,E,F,C,A.1对B.2对C.3对D.4对,正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,思考,70,D,11、如图,点E是正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，求E和AFC的度数。,12、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，
10、求BOE的度数。,6.如图，已知正方形ABCD内有一个BEF，AB=6，AFFD=12，E为DC的中点，求BEF的面积。,8.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFBC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EF,例2如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,AB=BC，1=2=45,AM=BN,ABMBCN,正方形ABCD,OM=ON,OMNONM45,例3已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,分析：欲证MFD45，由于
11、MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证 _=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?,CMDADF,正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,9.如图，四边形ABCD为正方形，EBAC，EC=ACE在FB上，求ECB的度数。,活动与探索,如图正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD上的点，若BE+DF=EF，求证：EAF=450,变式：如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、CD上，EAF=450，CEF的面积为，求AEF的面积。,10.在正方形ABCD中，P为BC边上一点，Q为CD边
12、上一点，如果PQ=BP+DQ，求PAQ的度数.,大显身手,如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。（1）求证：AE=CG（2）观察图形，猜想AE与CG的位置关系，并证明你的猜想。,A,B D E,C,G F,练习如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)ACFDCB(2)BHAF,证明：,例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG,解：,因为四边形ABCD是正方形,根据正方形的四边相等，得,AD=CD,又知四边形DEFG也是正方形,所以 DE=DG,又因为正方形的
13、每个内角为90,所以ADEEDCCDGEDC,所以ADECDG,所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针旋转 90 得到。AED CGD,所以AE=CG,例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E，PFDC于F。试说明：AP=EF,解:,连接PC,PEBC，PFDC,而四边形ABCD是正方形,FCE=90,四边形PECF是矩形,PC=EF,又四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形,AP=PC,AP=EF,练习：在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少
14、写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明),条件：A=90,AD=BD,15、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，,求证：四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。,16、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。,（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。,17、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CB
15、E的平分线于点N。,（1）求证：MD=MN,（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。,F,P,思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。,探究四：如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？,探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM 与 BN之间的关系是否还成立？,数一数图中正方形的个数，你发现了什么？,多,多,多,（）个（）个（）个（）个,第n个图中正方形有 个,3n-1,长见识,八年级 数学,第十九章 四边形,小结,
