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1、1,第八章,热学基础,2,1,第一节,气体分子运动论,3,在这一章里，我们只研究处于平衡态的系统。,宏观物体是由大量微粒-分子（或原子）组成的。物体中的分子处于永不停息的无规则运动中，其激烈程度与温度有关。分子之间存在着相互作用力。,系统：在给定范围内，由大量微观粒子所组成的宏观客体。,热力学平衡态：一个系统在不受外界影响的条件下，如果它的宏观性质不再随时间变化，我们就说这个系统处于热力学平衡态。,平衡态下，组成系统的微观粒子仍处于不停的无规运动之中，只是它们的统计平均效果不随时间变化，因此热力学平衡态是一种动态平衡，称之为热动平衡。,前 言,平衡态是系统宏观状态的一种特殊情况。,4,确定平衡
2、态的宏观性质的量称为状态参量。常用的状态参量有四类：几何参量、力学参量、化学参量和电学参量。,5.分子之间有间隙。如 50l 水与 50l 酒精混合，混合液的体积为 97l 而不是100l。再如：在2万个大气压下油从钢瓶壁渗出。说明分子之间有间隙。,4.分子之间有作用力。当分子间距离较小时为斥力，分子间距离较大时为引力。,2.标准状态下，1m3的气体约有1025个分子。1mol气体有6.0221023个分子。,3.分子在不停地作热运动，在常温常压下每秒发生几亿次碰撞。,了解有关气体的一些性质:,1.气体是由大量分子组成的，气体分子的直径约为10-10m;,5,一个热力学系统的平衡态可由四种状态
3、参量确定。,1.什么是理想气体,气体状态方程：表征气体平衡态的三个状态参量T、V、和P之间存在着的函数关系。,理想气体：在任何情况下绝对遵守玻意耳马略特定律、盖吕萨克定律和查理定律这三条实验规律的气体。,对于一定量的气体，在平衡态下，如果忽略重力的作用，可以用体积V、压强P、温度T来描述它的状态。,理想气体处于热平衡态下时，各状态参量之间的关系：,2.理想气体的状态方程,6,各物理量的含义：,1.压强P单位面积的压力。,国际单位：牛顿/米2，Nm-2,帕（Pa）,常用单位：大气压，atm,从力学角度描写气体状态的物理量。,其它单位：,厘米汞柱，cmHg,托，Torr,理想气体状态方程：,2.体
4、积 V-气体分子活动的空间体积。,从几何角度描写气体状态的物理量。,对于理想气体分子大小不计，分子活动的空间体积就是容器的体积。,7,国际单位：米3，m3,常用单位：升，l,3.温度T,从热学角度描写气体状态的物理量。,国际单位：绝对温标 T 开，k,常用单位：摄氏温标 t 度，,4.摩尔数,气体质量,摩尔质量,单位：摩尔，mol,5.普适气体恒量 R,8,理想气体状态方程：,分子的质量为 m，分子数为 N，,气体质量：,摩尔质量：,N0为阿伏加德罗常数，,令:,称为玻尔兹曼常数,为分子数密度。,3.理想气体状态方程的变形,理想气体状态方程的变形,9,压强是由于大量气体分子对容器壁碰撞的结果。
5、,例如：篮球充气后，球内产生压强，是由大量气体分子对球壁碰撞的结果。,我们要用气体分子运动论来讨论宏观的压强与微观的气体分子运动之间的关系。,1.研究方法,从微观物质结构和分子运动论出发运用力学规律和统计平均方法，解释气体的宏观现象和规律，并建立宏观量与微观量之间的关系。,2.关于理想气体的一些假设,理想气体的假设可分为两部分：一部分是关于分子个体的；另一部分是关于分子集体的。,10,1.气体分子本身的线度比起分子间的平均距离来说，小得多，可以忽略不计，,（1）个体分子的力学性质假设,2.气体分子间和气体分子与容器壁分子之间除了碰撞的瞬间外，不存在相互作用。,3.分子在不停地运动着，分子之间及
6、分子与容器壁之间频繁发生碰撞，这些碰撞都是完全弹性碰撞。,4.每个分子都遵从经典力学规律。,理想气体的微观模型假设：理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用的弹性质点。,对于单个分子的运动遵守牛顿定律，但由于分子数目太多，使得单个分子的运动极为复杂，即单个分子的运动是无规则的，运动情况瞬息万变。但大量分子的整体却出现了规律性，这种规律性具有统计平均的意义，称为统计规律性。,11,2、分子集体的统计假设,对大量无规则的事件，进行统计，满足一定的规律性，事件的次数越多，规律性也越强，,定义:某一事件 i 发生的概率 Pi,例如：投掷硬币，有2个面，开始几次出现哪一面朝上是无规律的，但随着投掷的次
7、数越多，出现某一面的概率越接近二分之一。,统计规律有以下几个特点:,1.对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律。,道尔顿板实验,2.总是伴随着涨落。,12,以气体的统计规律性为依据，可以对气体系统提出统计假设：,1.气体分子处在平衡态时，若忽略重力的影响分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，如果以N表示容积体积V内的分子数，则分子数密度n应到处一样，,2.气体在平衡态时，每个分子的速度指向任何方向的机会（几率）是一样的。,分子在 x 方向的平均速度：,同样对于分子的无规则的热运动也可用统计平均的方法去找出其内在的规律性：分子在各方向运动的概率是相同的，没有哪个方向的运动占优势。,由于分子沿
8、 x 轴正向和 x 轴负向的运动概率是相同的，因此，在 x 方向上分子的平均速度为 0。,13,同样有,分子速度在x方向的方均值：,同理，分子速度在y、z方向的方均值：,由于分子在x、y、z三个方向上没有哪个方向的运动占优势，所以，分子的三个速度方均值相等。,由矢量合成法则，分子速度的方均值为：,则,14,注意：统计假设是对系统中大量分子平均而言的，若系统包含的分子数越多，假设就愈接近实际情况。,同理,dI为大量分子在dt时间内施加在器壁dA面上的平均冲量。,3.理想气体压强公式,从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有:,设在体积为V的容器中储有N个质
9、量为m的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为：n=N/V。,15,平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于x轴的器壁上任取一小面积dA,计算其所受的压强（如右图）,2.分子以vx向dA 面碰撞，并以-vx 弹回，分子受 dA 面的冲量：,1.跟踪一个分子，某一时刻的速度 v 在 x方向的分量为 vx。则有：,为讨论方便，将分子按速度分组，第i组分子的速度为vi（严格说在vi 附近）分子数为Ni,分子数密度为 ni=Ni/V,并有n=n1+n2+ni+.=ni,16,dt时间内，碰到dA面的第i组分子施于dA的冲量为：,单个分子
10、在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量为 2mvix。,在全部速度为vi的分子中，在dt时间内，能与dA相碰的只是那些位于以dA为底，以 vixdt 为高，以 vi为轴线的柱体内的分子。分子数为 nivixdtdA。,dt时间内，与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为：,注意：vix 0 的分子不与dA碰撞。,2mni vix2dtdA。,17,容器中气体无整体运动，平均来讲 vix 0 的分子数等于 vix 0 的分子数。,压强,又,平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有,所以,压强公式,18,定义分子平均平动动能：,压强公式又可表示为：,由气体的质量密度：,压强公式：,压强公式又可表示为：
11、,1.压强是由于大量气体分子碰撞器壁产生的，它是对大量分子统计平均的结果。对单个分子无压强的概念。,2.压强公式建立起宏观量压强 P 与微观气体分子运动之间的关系。,注意几点：,19,由压强公式,温度公式：,明确几点：,1.温度是对大量分子热运动的统计平均结果，对个别分子温度无意义。,2.,温度是分子平均平动动能的标志。,分子运动得越激烈，温度越高。,3.不同气体温度相同，平均平动动能相同。,20,不同气体在标准状态下的 n 相同。,5.由温度公式可计算某一温度下气体的方均根速率。,4.由P=nkT可知标准状况下分子数密度。,方均根速率,21,分子平均平动动能：,且,在 x 方向上平均分配了
12、kT/2 的能量。,同理：,在x、y、z方向上均分配了一份kT/2的能量，,22,将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念。,1.自由度,在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数.,所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少的坐标数。,自由度是描述物体运动自由程度的物理量。,考虑分子的能量时，要考虑分子各种运动的能量。,23,例如：,轮船在海平面上行驶，要描写轮船的位置至少需
13、要两维坐标，则自由度为 2。,飞机在天空中飞翔，要描写飞机的空间位置至少需要三维坐标，则自由度为 3。,但对于火车在轨道上行驶时自由度是多少呢？,自由度是 1，由于受到轨道限制有一维坐标不独立。,物体沿一维直线运动，最少只需一个坐标，则自由度数为1。,24,2.两个刚性质点,描写其质心位置需3个平动自由度，,描写其绕x、y轴转动需2个转动自由度，绕z轴的转动能量可不计，,总自由度数：,1.一个质点,描写它的空间位置，需要 3 个平动自由度，,3.三个或三个以上的刚性质点,平动自由度,转动自由度,总自由度,25,对于理想气体在常温下，分子内各原子间的距离认为不变，只有平动自由度、转动自由度。,2
14、.气体分子自由度,1.单原子分子气体,例如：He、Ne、Ar。其模型可用一个质点来代替。,平动自由度,转动自由度,总自由度,2.双原子分子气体,例如：氢气（H2）、氧气（O2）等为双原子分子气体。其模型可用两个刚性质点模型来代替。,平动自由度,转动自由度,总自由度,26,3.多原子分子气体,例如：二氧化碳气体（CO2）、水蒸气（H2O）、甲烷气体（CH4）等为多原子分子气体。其模型可用多个刚性质点来代替。,平动自由度,转动自由度,总自由度,3.分子动能按自由度均分的统计规律,每个平动自由度上分配了一份kT/2的能量，,推广到转动等其它运动形式，得能量按自由度均分定理。,在温度为T的平衡态下，气
15、体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于。,27,平动动能,转动动能,使平动动能与转动动能达到相同，即每个自由度上也平均分配了kT/2能量。,由此可知，分子有 i 个自由度，其平均动能就有i 份 kT/2 的能量。,分子平均总动能：,由于分子的激烈碰撞（几亿次/秒），使平动动能与转动动能不断转换，,说明：,1）该定理是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。,2）是由于大量分子无规则碰撞的结果。,能量按自由度均分原理：在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都于。,28,4.气体分子的能量,对于理想气体而言，分子间的作用力忽略不计，分子与分子间的势能为零。,由于只考虑常温状态，
16、分子内的原子间的距离可认为不变，则分子内原子与原子间的势能也可不计。,一个气体分子的能量为：,5.理想气体的内能,理想气体：,气体内能：所有气体分子的动能和势能的总和。,理想气体内能：所有分子的动能总和。,1.一个分子的能量为:,29,1.一个分子的能量为:,2.1 mol气体分子的能量为:,3.M 千克气体的内能为：,对于一定量的理想气体，它的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比。,单原子分子气体,刚性双原子分子气体,刚性多原子分子气体,当温度变化T时,当温度变化dT时,思考：单位体积与单位质量的内能又各为多少？,30,气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的
17、整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。,按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分子按速率的分布规律。,1.将速率从 分割成很多相等的速率区间。,1.速率分布函数,例如速率间隔取100m/s,整个速率分为0100；100200；等区间。,31,则可了解分子按速率分布的情况。,2.总分子数为N，,3.概率,与,v有关，不同 v 附近概率不同。,有关，速率间隔大概率大。,该区间内分子数为dN，,在该速率区间内分子的概率,32,写成等式,速率分布函数的物理意义：表示在速率 v 附近，单位速率区间
18、内分子出现的概率，或单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。,由于全部分子百分之百地分布在由0到的整个速率范围内，,归一化条件,速率分布函数,表示分布在 区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）,33,例：试说明下列各式的物理意义。,答：由速率分布函数可知,表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。,表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。,表示在速率v1v2速率区间内，分子出现的概率。,表示在速率v1v2速率区间内，分子出现的个数。,34,1.f(v)v曲线,讨论：,麦克斯韦速率分布函数,2.麦克斯韦速率分布定律,1860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律。,在平衡态下，当气体
19、分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为,35,2.在 dv 速率区间内分子出现的概率,3.在f(v)v曲线下的面积为该速率区间内分子出现的概率：,36,4.在f(v)v整个曲线下的面积为 1-归一化条件。,分子在整个速率区间内出现的概率为 1。,5.最可几速率vP,物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在 vP所在区间的分子数比率最大。,37,将 f(v)对 v 求导，令一次导数为 0，,最可几速率：,38,讨论：,1）vP与温度T的关系,曲线的峰值右移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值降低。,曲线的峰值左移,由于曲线下面积为1
20、不变，所以峰值升高。,2）vP与分子质量m的关系,39,气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？,假设：速率为v1的分子有 个，,速率为v2的分子有 个，,平均速率：,1.平均速率,利用麦克斯韦速率分布率可计算方均根速率、平均速率等物理量。,3.麦克斯韦速率分布定律的应用,40,计算一个与速率有关的物理量 g(v)的统计平均值的公式：,利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的平均平动动能等。,利用积分公式,上下同乘N0有：,平均速率,得：,41,利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利用计算统计平均值公式：,利用广义积分公式,3.方均根速率,方均根速率,与前面温度公式中所讲的方均根速率相同。,42,4.三种速率的比较,三种速率统计值有不同的应用：,在讨论速率分布时，要用到最可几速率；在计算分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。,
