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1、工程流体力学,南京工程学院夏庆章20130808,第三章 流体静力学,流体静力学概述3.1 作用于静止流体上的力3.2 流体静压强及其特性3.3 静止流体的平衡微分方程式3.4 重力作用下静止流体中压强分布规律 3.5 静压强的表示方法及其单位3.6 流体的相对静止 3.7 静止流体对壁面作用力计算,流体静力学概述,流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了相对的平衡。因此流体处于静止状态包括了两种形式：一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称为重力场中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液体。另一种是流体整体对地球
2、有相对运动，但流体对运动容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静止叫相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。,3.1 作用于静止流体上的力,一、质量力1、定义：作用于流体的每一个流体质点上，其大小与流体所具有的质量成正比的力。在均质流体中，质量力与受作用流体的体积成正比，因此又叫体积力。2、常见的质量力：重力W=mg、直线运动惯性力FI=ma 离心惯性力FR=mr2。3、质量力的大小用单位质量力来度量。所谓单位质量力就是作用于单位质量流体上的质量力。,4、表示方法：设均质流体的质量为m，体积为V，所受质量力为F。则 F=m am=m(f
3、xi+fyj+fzk)其中am=F/m=fxi+fyj+fzk为单位质量力，在数值上就等于加速度。而fx、fy、fz 分别表示单位质量力在坐标轴上的分量，在数值上也分别等于加速度在x、y、z轴上的分量。实例：重力场中的流体只受到地球引力的作用，取z轴铅垂向上，xoy为水平面，则单位质量力在x、y、z轴上的分量为 fx=0,fy=0,fz=-mg/m=-g 式中负号表示重力加速度g与坐标轴z方向相反。,二、表面力1、定义：表面力是作用于被研究流体的外表面上，其大小与表面积成正比的力。2、种类：法向分力：沿表面内法线方向的压力，单位面积上的法向力称为流体的正应力。切向分力：沿表面切向的摩擦力，单位
4、面积上的切向力就是流体粘性引起的切应力。3、作用机理：周围流体分子或固体分子对分离体表面的分子作用力的宏观表现。,3.2 流体静压强及其特性一、压强：在静止或相对静止的流体中，单位面积上的内法向表面力称为压强。二、流体静压强的两个特性：I、流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线方向。（利用静止流体性质进行证明）II、静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无关，即同一点各方向的流体静压强均相等。,三、特性二证明证明：在静止流体中任取一包含 A点在内的微小四面体ABCD，各边长分别为 dx、dy、dz，坐标如图3-3选取。因为微小四面体处于平衡状态，所以其上所受的力是平衡
5、的。作用于微小四面体上的力只有质量力和表面力两种。首先分析质量力，设流体的密度为，则微小四面体流体所具有的质量为 dm=dxdydz/6，则质量力在 x、y、z 轴上的分量为：Fx=dmfx=fx dxdydz/6 Fy=dmfy=fy dxdydz/6 Fz=dmfz=fz dxdydz/6,再考察微小四面体ABCD四个面上所受到的表面力，设作用于ACD、ABD、ABC 和BCD 四个面上的压强分别为 px，py，pz。由于四面体很小，可以认为在各个微小表面上的压强是均布的，则在各相应表面上的表面力为 Px=dydzpx/2 Py=dxdzpy/2 Pz=dxdypz/2 Pn=dspn 式
6、中ds为斜面BCD 的面积。分别列出x轴、y轴、z轴方向上的力平衡方程式，得Fx+Px-Pndscos(n,x)=0Fy+Py-Pndscos(n,y)=0Fz+Pz-Pndscos(n,z)=0,以x轴为例，将质量力和表面力表达式代入x轴向里平衡关系方程得：fxdxdydz/6+pxdydz/2 pndscos(n,x)=0 式中dscos(n,x)=dydz/2，所以上式变成 fx dxdydz/6+(px pn)dydz/2=0令dx、dy、dz趋近于零则有：px=pn 同理可得：py=pn pz=pn所以 px=py=pz=pn总结：流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的连续函数。即
7、：p=p(x,y,z)，由此得静压强的全微分为,一、平衡微分方程式以图示微小平行六面体为研究对象，六面体质量为dm=dxdydz 首先考察三个轴向上的质量力：Fx=fx dm=fx dxdydz Fy=fy dm=fy dxdydz Fz=fz dm=fz dxdydz其次分析三个轴向上的表面力：假设A点的压强为p(x,y,z)，则根据静压强特性二，有：pABD=pABC=pACD=p(x,y,z)将函数p=p(x,y,z)进行泰勒级数展开，并只取一阶无穷小量，从而得到其它对应三个面上的压强为：,3.3 静止流体的平衡微分方程式,由此得三个方向上的表面力分别为：X向Y向Z向微小六面体在三个轴向
8、上处于平衡状态，所以作用在其上的质量力和表面力的合力应为0。即：,化简得：两边同除六面体质量dxdydz，则得单位质量流体的力平衡方程为：,总结：（1）欧拉平衡微分方程式适用于任何种类的平衡流体。（2）欧拉平衡微分方程说明了微元平衡流体的质量力和表面力无论在任何方向上都应该保持平衡，即：平衡流体在哪个方向上有质量分力，则流体静压强沿该方向必然发生变化；反之平衡流体在哪个方向上没有质量分力，则流体静压强在该方向上必然保持不变。假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流体静压强必然处处相等。,二、力势函数1、压强差公式（欧拉平衡微分方程式综合形式）把欧拉平衡微分方程式中的三个方程分别乘以dx、dy
9、、dz，然后相加得 上式右边为压强的全微分，因此2、质量力的势函数压强差公式中的dp积分后得到一点上的静压强p，而平衡流体中任意一点的静压强由其坐标唯一确定，因此压强差公式左端的积分也应该是一个唯一确定的值。,取函数U(x,y,z)令：则有：所以压强差公式变化为：3、重力场中平衡流体的质量力势函数重力场中单位质量力为：fx=0,fy=0,fz=-g,代入力势函数公式有：积分得：U=-gz+c,三、等压面及其特性1、等压面：在静止流体中，由压强相等的点所组成的面。2、等压面微分方程式 fxdx+fydy+fzdz=03、等压面的性质：I、等压面也是等势面；II、等压面垂直于单位质量力；证明：取等
10、压面上任意微小线段dl=dxi+dyj+dzk，令R=fxi+fyj+fzk为等压面上任意一点的单位质量力，则有：,只有 cos(R,dl)=0，上式成立，所以单位质量力R与等压面垂直。III、两种互不掺混液体的分界面也是等压面。,3.4 重力作用下静止流体中的压强分布规律一、流体静力学基本方程 推导：在重力场中，单位质量力分量为：fx=0,fy=0,fz=-g 代入压强差公式：得：即：对于不可压缩流体，=常数。积分得：p+gz=c 形式一由图3-5，从均质连续流体中取任意两点1、2，假设其铅垂坐标分别为 z1和z2，静压强分别为p1 和 p2，则上式又可写成：p1+gz1=p2+gz2=c,
11、简单变换为：形式二 或 形式三上三式统称为流体静力学基本方程，又称水静力学基本方程。二、流体静力学基本方程的能量意义和几何意义（1）位置水头（位置高度）：流体质点距某一水平基准面的高度。（见图3-5中的z）（2）压强水头（压强高度）：由流体静力学基本方程中的p/(g)得到的液柱高度。（见图3-5中的hp）（3）静力水头：位置水头z和压强水头p/(g)之和。,（4）几何意义：在重力场中，对均质连续不可压缩静止流体，其静力水头为一确定值，换句话说静力水头的连线为一平行于某一基准面的水平线。（5）压强势能：流体静力学基本方程中的p/项为单位质量流体的压强势能。（6）能量意义：在重力场中，对均质连续不
12、可压缩平衡流体，任意一点单位质量流体的总势能保持不变。三、自由液面不可压缩流体压强基本公式（1）压强基本公式p=p0+gh,（2）淹深：自由液面下的深度。（3）液面压强的产生方式：外力施加于流体表面产生压强。一是通过固体对流体施加外力而产生压强；二是通过气体使液体表面产生压强；三是通过不同质的液体使液面产生压强。（4）帕斯卡原理：液面压强能够在流体内部等值传递的原理。,3.5 静压强的表示方法及其测量,一、静压强的表示方法1、大气压强(pa）：由地球表面上的大气层产生的压强。2、国际标准大气压强(patm）：将地球平均纬度（北纬45）,海平面z=0处，温度为15C时的压强平均值。定义为国际标准
13、大气压强。且patm=101325Pa。3、流体静压强的表示方法表压强：表压强是以大气压强为基准算起的压强，以pb表示。绝对压强：以绝对真空为基准算起的压强叫绝对压强，以pj表示。,真空度：低于大气压强，负的表压强称为真空度，以pz 表示。3、表压强、大气压强、绝对压强和真空度之间关系 绝对压强=大气压强+表压强 表压强=绝对压强 大气压强 真空度=大气压强 绝对压强4、静压强的计量单位应力单位：Pa、N/m2、bar液柱高单位：mH2O、mmHg标准大气压：1 atm=760 mmHg=10.33 mH2O=101325 Pa 1bar,二、压强的测量1、测量仪表金属弹性式压强计：液压传动中
14、的压力表。大量程直接观测。电测式压强计：压力传感器。远程动态测量。液柱式压强计：用于低压实验场所。精度高。2、测压管测量方法：A点的绝对压强 pj=pa+ghA点的表压强 pb=pj-pa=gh,3、U型测压计测压原理：等压面性质测压公式：如图3-8中，两种液体的交界面上的点1和点2 是等压面，所以点1和点2的静压强相等，即 p1=p2。设A点的绝对压强为pj，则有 p1=pj+1gh1p2=pa+2gh2p1=p2，所以 pj+1gh1=pa+2gh2A点的绝对压强：pj=pa+2gh2-1gh1 A点的表压强：pb=pj-pa=2gh2-1gh1注意：工作液体的密度要大于被测液体的密度，并
15、且这两种液体不能掺混。,4、U型差压计测试原理：存在两个等压面12和33在12等压面上有：p1=p2=p3+1gh1在33等压面上有：pB=p3+ghB 而：pA=p1+ghA即：pA=p3+1gh1+ghA=pB+1gh1+ghA-ghB 于是 pA-pB=1gh1+ghA-ghB=1gh1-g(hB-hA)=1gh1-gh1=(1-)gh1,5、微压计测试原理：连通容器中装满密度为2的液体，右边的测管可以绕枢轴转动从而形成较小的锐角，容器原始液面为OO，当待测气体（ppa)引入容器后，容器液面下降h，而测管中液面上升h，形成平衡。根据等压面方程，有：pj=pa+2g(h+h)表压强 pb=
16、pj-pa=2g(h+h)而 h=Lsin 根据体积相等原则有：变换为：所以 pb=2gL(sin+(d/D)2),一、容器做匀加速直线运动例：如图3-12所示，设盛有液体的容器以等加速度a，沿与水平面成 角的倾斜面做直线运动。试分析平衡状态下流体的压强分布情况。第一步：建立适当的坐标系；第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位质量力分量：fx=0,fy=acos,fz=asin-g 第三步：根据相应几何关系确定等压面方程acosdy+(asin-g)dz=0 于是：,3.6 流体的相对静止,第四步：根据压强差公式，建立流体的压强分布公式。由压强差公式：dp=(fxdx+fydy+fzdz
17、)得：dp=acosdy+(asin-g)dz积分得 p=aycos+z(asin-g)+c其中 c=p0，于是得出p=p0+aycos+z(asin-g),二、匀加速直线运动的两个特例特例1容器向左沿水平面作匀加速直线运动图示坐标系中：单位质量力：fx=0,fy=a,fz=-g 等压面方程：tan=a/g压强分布公式：dp=ady-gdz积分得 p=ay+z(-g)+c其中 c=p0，于是得出 p=p0+ay+z(-g)=p0+g(a/g)y-z=p0+g ytan-z=p0+gh 定义 h=ytan-z 为倾斜液面下的淹深,特例2容器沿铅锤方向作匀加速直线运动向下运动时：图示坐标系中：单位
18、质量力：fx=0,fy=0,fz=a-g 等压面方程：tan=0压强分布公式：dp=(a-g)dz积分得 p=(a-g)z+c其中 c=p0，于是得出 p=p0+(a-g)z=p0+(g-a)(-z)=p0+(g-a)h 此时 h=-z 为液面下的淹深,向上运动时：图示坐标系中：单位质量力：fx=0,fy=0,fz=-a-g 等压面方程：tan=0压强分布公式：dp=(-a-g)dz积分得 p=(-a-g)z+c其中 c=p0，于是得出 p=p0+(-a-g)z=p0+(g+a)(-z)=p0+(g+a)h 此时 h=-z 为液面下的淹深,三、容器做等角速度旋转运动例：如图3-13所示。盛有液
19、体的容器绕铅垂轴旋转，当运动为等角速度旋转时，液体质点之间没有相对运动，处于平衡状态。第一步：建立适当的坐标系；第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位质量力分量：fx=2x,fy=2y,fz=-g 第三步：根据相应几何关系确定等压面方程 2x dx+2ydy-gdz=0 积分得：,第四步：根据压强差公式，建立流体的压强分布公式。由压强差公式：dp=(fxdx+fydy+fzdz)得：dp=(2x dx+2ydy-gdz)积分得 p=g 2r2/(2g)-z+c其中 c 根据实际问题的边界条件确定。,四、等角速度旋转运动的两个特例特例1如图3-14容器顶盖中心开口通大气。分析：根据压强分布
20、规律方程p=g 2r2/(2g)-z+c代入边界条件：r=0,z=0时，p=0，得 c=0 所以有：p=g 2r2/(2g)-z当r=R时，边缘处压强为p=2R2/2-gz,特例2如图3-15容器顶盖边缘开口通大气。分析：根据压强分布规律方程p=g 2r2/(2g)-z+c代入边界条件：r=R,z=0时，p=0，得 c=-2R2/2 所以有：p=2(r2-R2)/2-gz当r=0时，中心处压强为p=-2R2/2,一、静止流体对平面壁的总压力实例分析：设有一任意形状的平板，其面积为A，置于静止液体之中，如图3-16所示。液体中任意点的压强与淹深 h 成正比，且垂直指向平板。液体对平板的总作用力，
21、相当于对平行力系求合力。（1）力的求解在平板受压面上，任取一微小面积dA，其上的压强可看成均布，则p=p0+gh=p0+gysin,3.7 静止流体对壁面作用力的计算,因此微元面积 dA上受到流体的微小作用力为 dF=pdA=(p0+gysin)dA积分上式得流体作用于平板 A上的总压力（2）面积矩：定义 为平面A 绕通过o点的ox轴的面积矩。而，yc是平板形心c 到ox轴的距离。且ycsin=hc，所以总压力化为 F=p0A+gAycsin=p0A+ghcA（3）压力中心：总压力的作用点。本例中，假设平板有一对称轴，且对称轴平行oy轴,压力中心可通过力矩求和的方法得到：总压力F 对ox轴的力
22、矩：Fyd微小压力dF 对ox轴的力矩之和：其中：为面积A对ox轴的惯性矩。而Jx=Jc+yc2A。Jc为面积A对通过形心平行ox轴的惯性矩。由力矩相等得：,二、流体对曲面壁的总压力实例分析：设曲面 ab的面积为A，置于液体之中，如图3-17所示。（1）力的分解在曲面 ab上任取一微小面积dA（淹深为 h），其所受压力 dF=ghdA将dF分解为水平分力dFy和垂直分力dFz，然后分别在整个面积 A上求积分。（2）水平分力：,其中：为面积A在yoz坐标面上的投影面积Ay对 ox轴的面积矩。水平分力方向：通过Ay压力中心（3）垂直分力：垂直分力方向：通过压力体重心。（4）压力体：是所研究的曲面与通过曲面周界的垂直面和液体自由表面或其延伸面所围成的封闭空间。即：（5）总压力：夹角为压力作用线：通过水平分力和垂直分力的交点。,三、压力体的确定,本章小结几个基本概念：质量力、表面力、流体的平衡状态、压强、质量力的势函数、位置水头、静力水头、淹深、压力体。重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力学基本方程意义及其计算、压强关系换算、相对静止状态流体的压强计算、流体静压力的计算（压力体）。作业：3-2；3-4；3-7；3-8；3-9,
