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1、第六章 矩阵的特征值和特值向量,1 矩阵的特征值和特征向量,矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一,它有着广泛的应用.本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算.并给出将矩阵对角化的方法.,一.定义和求法,定义6.1 设A是n阶方阵,如果数0和n维非零列向量满足关系式 A=0 则称0为A的特征值,为A的属于0的一个特征向量.,如果A是奇异矩阵(|A|=0),则齐次线性方程组Ax=0有非零解,若记为Ax=0的非零解,则有,可见,0=0为奇异矩阵A的特征值,方程组Ax=0的非零解都是A的属于特征值0=0的特征向量.,A=0=0,一般地,由A=0 可得,(0E A)=0,可见,是n元齐次线性
2、方程组,(0E A)x=0,的非零解.所以有|0E A|=0.,定义6.2 设A是n阶方阵,是参数,则行列式,称为方阵A的特征多项式.称det(E A)=0为方阵A的特征方程.,A的特征值就是特征方程的解,n阶方阵A有n个特征值.,A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组,(E A)x=0,的所有非零解.,的特征值和特征向量.,解 A的特征多项式为,=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3),所以A的特征值为1=2=1,3=3.,对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于,例1 求矩阵,所以k1(k0)是属于1=2=1的全部特征向量.,对3=3,解方程(3E-A)x=0,由于,得同解方程
3、:,基础解系为2=(-1,1,1)T.,所以k2(k0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(0,0,1)T.,得同解方程:,的特征值和特征向量.,解 A的特征多项式为,=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3),所以A的特征值为1=2=1,3=3.,对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于,例2 求矩阵,所以属于1=2=1的全部特征向量为 K11+k22(k1,k2 不同时为0),对3=3,解方程(A-3E)x=0,由于,得同解方程:,基础解系为3=(1,-1,1)T.,所以k3(k0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.,得同解方
4、程:,设方阵A可逆,且是A的特征值,证明1/是A-1的特征值.,例3,证 首先证明0.用反证法:假设=0是A的特征值,则,再设是A对应特征值的特征向量,则 A=,A-1 p=1/p,所以1/是A-1的特征值,而且与A有相同的特征向量.,类似地,若是A的特征值,则k是Ak的特征值.,0E-A=-A=0,这与A可逆矛盾,故0.,一般地,若是A的特征值,则()=a0+a1+amm是(A)=a0E+a1A+amAm的特征值.,二.特征值和特征向量的性质,由于,=n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A|,利用多项式方程根与系数的关系可得:,定理6.1 设1,2,n是n阶方阵A 的全部特征值
5、,则,1+2+n=a11+a22+ann,12n=detA,定理6.2 设1,2,s是方阵A 的互异特征值,1,2,s是分别属于它们的特征向量,那么1,2,s线性无关.,证明 设x11+x22+xss=0,类似地有:,则,A(x11+x22+xss)=0,即,1x11+2x22+sxss=0,1kx11+2kx22+skxss=0(k=0,1,s-1),即,所以有,(x11,x22,xss)=(0,0,0),定理6.3 设1,2是A 的两个互异特征值,1,2,s和1,2,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量,则1,2,s,1,2,t线性无关.,即,xjj=0,但j0,故xj=0,(j=1,2
6、,s),所以向量组1,2,s线性无关.,证明 设k11+k22+kss+l11+l22+ltt=0,若=k11+k22+kss 0,=l11+l22+ltt0,则+=0,而,分别是属于1,2的特征向量,矛盾.,所以=0,即k1=k2=ks=l1=l2=lt=0,线性无关.,例4,解 由于A的特征值都不为0,故A可逆.而|A|=-2,于是 A*=AA-1=-2A-1.于是,设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,求|A*+3A-2E|.,A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E=(A),(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3,于是,|A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(
7、-3)3=9,2 相 似 矩 阵,定义6.3 设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使,一.相似矩阵的定义和性质,矩阵的相似关系具有下述性质:,()反身性:AA;,()对称性:若AB,则BA;,()传递性:若AB,BC,则AC.,P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵 A与B相似.,对A进行运算P-1AP=B称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A 变成B的相似变换矩阵.,A与B相似记作AB.,定理6.4 相似矩阵有相同的特征多项式,因此也有相同的特征值.,证 若矩阵A与B相似,则存在矩阵P,使P-1AP=B,故,注意:定理6.4的逆命题不成立.例如矩阵,E-B=P-1(E)P-P-
8、1AP=P-1(E-A)P,=P-1E-AP=E-A,的特征多项式都是(-1)2,但它们不相似.,二.与对角矩阵相似的条件,假设n阶方阵A与对角矩阵,相似.,也就是存在可逆矩阵P,使得,P-1AP=,即,AP=P,记P=(1,2,n),则有,(A1,A2,An)=(11,22,nn),即,可见,矩阵A与对角矩阵相似,则A有n个线性无关的特征向量.,Ai=ii,i=1,2,n,因为矩阵P可逆,所以1,2,n线性无关,故i0,于是i是矩阵A属于特征值i的特征向量.,反之,设A有n个线性无关的特征向量1,2,n,且,Ai=ii,i=1,2,n,令P=(1,2,n),则P可逆,且,AP=(A1,A2,
9、An)=(11,22,nn)=P,即,P-1AP=,也就是说矩阵A与对角矩阵相似.,定理6.5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.,可见,前面的分析不但证明了定理6.5,还给出了相似变换矩阵P和对角矩阵的求法.,例如例1中的矩阵,没有3个线性无关的特征向量,故A不与对角矩阵相似.,而例2中的矩阵,由于其3个特征值为1=2=1,3=3.对应的特征向量:,1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T,3=(1,-1,1)T线性无关,所以,取相似变换矩阵P=(1,2,3)=,可求得P的逆矩阵为,与A相似的对角矩阵为,推论 若n阶矩阵A有n个互异特征值,则A与对角矩
10、阵相似.,若A=P-1BP,则有:,注意,若矩阵A与对角矩阵相似,则的对角线元素恰是A的n个特征值,故如不计对角线上元素的顺序,则与A相似的对角矩阵是唯一的.,Ak=P-1k P,(A)=P-1()P,而且有:,例5 设,求A50.,解 矩阵A的特征多项式为,=(+1)2(-2),可见,A的特征值是1=2=-1,3=2.,对于特征值1=2=-1,由于,所以,齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为:,1=(1,2,0)T,2=(0,0,1)T.,1,2就是属于特征值1=2=-1的线性无关的特征向量.,可见属于特征值3=2的一个特征向量为3=(3,3,1)T.,对于特征值3=2,由于,令
11、,则有,所以有,即,定理6.6 设0是n阶矩阵A的k重特征值,则属于0的线性无关的特征向量的个数不大于k.,令P=(1,2,n),则P可逆,而且有,证明 设1,2,t是属于0的线性无关的特征向量.,则存在向量t+1,t+2,n使1,2,n线性无关.,AP=(01,02,0t,At+1,At+2,An),由于1,2,n线性无关,所以At+1,At+2,An都能由1,2,n线性表示,所以可以令,AP=(01,02,0t,At+1,At+2,An),即矩阵A与B相似.,所以,A与B有相同的特征多项式,即,因此,0的重数kt.,|E-A|=|E-B|,推论 矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是,对A的
12、任意特征值0(重数为k),属于0的线性无关的特征向量必有k个.也就是R(0E-A)=n-k.,作 业,习题A 第117页,1、2、4、5、6、7、9、10,练习题,习题B 第100页,1、2、3、10,11、12、13、14、15、16、17,3 实对称矩阵的相似对角化,一.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,设矩阵A=(aij),用aij表示aij的共轭复数,记,A=(aij),称A为A的共轭矩阵.显然,A为实矩阵时,A=A.,共轭矩阵具有下列性质:,其中是常数;,定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数.,证 设为实对称矩阵A的特征值,是属于的特征向量,则有,由于AT=A,A=A,故有,于是
13、有,由于0,所以T0,因此,即是实数.,显然,实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.,定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.,证 设1,2是实对称矩阵A的特征值,1,2分别是属于它们的特征向量,则有,而且,由于12,所以2T1=0,即1,2正交.,于是,二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵,定理6.9 设A是实对称矩阵,则必存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵.,证 n=1时显然成立,设对n-1阶矩阵定理结论成立.,于是有,再取2,3,n 使 1,2,n为Rn的一组规范正交基.,取n阶实对称矩阵A的任一特征值1,和属于1的特征向量1,(取1为单位向量).,A(1,
14、2,n)=(11,A2,An),=(1,2,n),记Q1=(1,2,n),则Q1为正交矩阵,且有,B是n-1阶实对称矩阵,由假设,存在n-1阶正交矩阵P,使得,取n阶正交矩阵,Q1-1AQ1=,则有,即,Q2-1 Q1-1AQ1Q2=Q2T Q1TAQ1Q2为对角矩阵.,只要取Q=Q1Q2是正交矩阵,定理结论成立.,推论 设0是实对称矩阵A的k重特征值,则属于0的线性无关的特征向量恰有k个,也即R(0E-A)=n-k.,三.实对称矩阵正交相似对角化的方法,用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下:,(1)求出A的全部特征值;,(2)对每个特征值,若其重数为k,求出其k个线性无关的特征向量.,
15、(5)写出对角矩阵.,(3)将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化.,(4)用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵.,例6 设,求一个正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角矩阵.,解 先求A的所有特征值,得特征值1=2=-1,3=11.,det(E-A),=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11),对1=2=-1,由于,所以方程组(-E-A)x=0等价于x1+x2+2x3=0,一基础解系为,再单位化得:,1=(-1,1,0)T,2=(-2,0,1)T,1=1=(-1,1,0)T,1=1/|1|,将其正交化得:,2=2-(2T 1/1T1)1=2-1=(-1,-1,1)T,2=2/|2|,对3=11,由于,所以方程组(11E-A)x=0的一个基础解系为3=(1,1,2)T,所以得正交矩阵:Q=(1,2,3),将其单位化得:3=3/|3|,而且,QTAQ=diag(-1,-1,11).,注意:方程组x1+x2+2x3=0的基础解系可直接取为:,再如,方程组x1-2x2-x3=0的基础解系可直接取为:,这样,就不需要再进行规范正交化了.,作 业,习题A 第117页,3、,练习题,习题B 第100页,8、2、3、10,
