现代设计方法修改.ppt

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1、第一章：绪 论,一设计与设计过程,设计就是提出或拟订把某些人工制品组装起来的方案，或者是对人工制品提出改进的措施，以便最佳地满足人们某些特殊的需求。（如机械设计，工业造型设计等)AUTOCAD,VG,SOLIDEDGE,任何设计活动都具有如下特征：1).时空性（设计活动受到时间空间的限制）2).设计活动的物质性（所有的设计活动都是在特定的物质条件约束下进行的，如工程材料，资源）3).设计的需求性特征（科学研究和工程设计的最大区别）4).创造性 5).设计活动的过程性,设计过程：将物资资源转化为技术装置以满足客观需求的实践活动就是一个设计过程。,二设计方法的发展,设计方法的研究包括设计步骤和程式

2、以及与之相联系的解决具体设计问题的方法和手段的研究。设计的发展分为四个阶段:1.直观发展阶段（设计过程是凭当事人的智力和灵感，是一种具有很大偶然性的自发设计）2.经验发展阶段（传统设计阶段）建立在经验与技巧能才的积累上。,3.中间试验辅助设计阶段 局部试验，模拟试验，作为设计过程的辅助手段。通过中间试验可取得可靠的数据，选择合适的结构，从而缩短试制周期，提高设计的可靠性。4.现代设计阶段 现代设计方法：即研究现代设计规律，方法，程式等的学问，是一门多元性的新兴交叉学科,传统的设计方法和现代设计方法的比较：静态的，经验的，手工的方法。动态的，科学的，计算机的方法（CAD，CAE等）,三现代设计方

3、法的范畴,主要介绍狭义的现代设计方法：从一件产品的设计角度来看，可理解为各个环节具体应用的现代方法和技术具体包括：1）信息论方法 2）系统论方法 3）控制论方法 4）优化论方法 5）对应论方法,6）智能论方法 7）功能论方法 8）离散论方法 9）模糊论方法 10）突变论方法 11）艺术论方法,四现代设计方法的主要内容,1.计算机辅助设计.1）现代CAD技术的内涵及其主要内容 2）工程数据处理及数据库技术（LISP等）3）绘图基本原理（图形学）及工程图的绘制2.产品设计理论与方法,3.计算机辅助工程（CAE）1）弹性力学基本知识 2）有限元法 3）应用有限元软件4.最优化设计5.可靠性设计,五.

4、目前常用的设计方法有：,技术预测法.创造性设计.小统论设计法.信号分析法.相似设计法.模糊设计法.动态分析法.有限单元法和边界元分析设计.优化设计法.可靠性设计.CAD与艺术造型设计法.,六.学习现代设计的意义与任务,降低制造成本，保证产品使用性能和使用寿命，增强产品的市场竞争力，降低制造与使用能耗，减少制造与使用过程对环境的负面影响，便于资源回收与再利用，有利于可持续发展。任务：掌握理论与相关原理，了解其作用与局限性，解决实际问题。,第二章 计算机辅助设计（CAD）,1概述,CAD是采用硬件与计算机软件系统辅助人们对产品或工程进行设计的方法与技术，包括设计、绘图、工程分析、文档制作等设计活动

5、，是一种新的设计方法，也是一门多学科综合应用技术。现代CAD的研究内容：（1）研究现代设计理论与方法学；（2）研究与设计环境相关的技术。当前，CAD的应用主要有以下几个方面：工程设计与分析、几何造型、绘图、工程数据库和设计文档。,1.工程计算与分析.在产品或工程设计中，往往包含着大量而复杂的分析计算工作.如产品性能分析、强度及刚度计算、机构参数计算等。CAD系统往往包含或者连接某些功能强大的工程分析软件，如有限元分析、优化设计、动力学分析等软件，利用这些软件可以对机械零件以及整机进行结构应力应变场.温度场以及流体内部的压力场速度场等的分析计算，从而大大提高设计精度。,2.几何造型 把物体的形状

6、及其属性转变为计算机的内部表示。对于机械CAD系统，几何造型是其核心功能。几何造型分为线框造型、曲面造型和实体造型。3.绘图 绘图工作量占设计工作的50-60，用计算机绘图代替传统的手工绘图可提高速度和质量，是CAD技术的重要应用。,4.工程数据库 在产品或工程设计中的信息量很大，信息的形式、属性、关系复杂多样。CAD中利用数据库技术建立各种数据库，统一管理工程数据和图形，为设计过程提供各种基本数据及保存结果5.设计文档 许多设计属性需制成文档说明或输出报表，有些设计参数需用文档直方图、饼图或线图等表示，由专门软件完成。,2 工程数据的计算机处理,在计算机辅助设计时，需将设计 中要引用的工程数

7、据（实验曲线、图表、各种标准规范、零部件模型数据和加工工艺数据等）存入计算机内存、数据文件或数据库中去，以便在设计时由计算机按设计要求自动检索，结合程序进行运算、加工处理和输出。,一.数据组成 数据是与现实世界中的某些客观实体相关。实体可以是某些具体的东西，也可以是可触及的抽象概念。我们把实体的特征称之为属性，标识属性的名称称之为属性名。每个属性所能测量或记录的值称之为属性值。数据是描述客观实体的数值、字符及其它符号的集合。,如齿轮是个实体，由编号、模数、齿数材、料牌号等几个属性描述。,如P13平键是个实体，由轴径、键宽、键高、轴、轮毂等几个属性描述（表2.2）,从复杂性或层次级别来看，我们可

8、将数据分为以下几种形式：1.字段 字段是数据中最基本的用来描述实体某个属性的数据元素，也称数据项，如一个零件名称或材料牌号（如40Cr）。2.记录 描述某个实体各个属性字段的集合，上表中每行各个字段的集合就构成了一条记录。,3.文件（记录的集合）相同性质记录的集合就是文件。如一台机器中各个齿轮的记录集合就组成了这台机器的齿轮文件。4.数据库 一个组织内的数据库就是指其全部文件的集合，一般还包括对这些文件的组合管理，以便减少某些文件中的重复数据，增强文件间的联系。,二、数据公式化,在实际工程应用问题中，常将通过实验得到的一系列数据进行分析，然后再根据这些数据建立经验公式。这种建立经验公式的过程称

9、为数据公式化，或称曲线拟合。已知m个结点数据,用一个n次多项式Pn(x)拟合。,设方程式的形式为：则残差为,由线拟合问题可归纳为多元函数极值问题：令 得,解出n+1个独立方程，可求得多项式Pn(x)中的各个系数aj,经实际测量，某发动机转速N与轴上转矩T的关系如表所示：试编制程序用最小 法进行多项式拟合。设多项式形式为：,三、数据结构,数据结构是数据，是对数据对象及元素之间相互关系的描述。1、数据的逻辑结构 如车床的分级结构图，反映了一种逻辑上的结构关系。将数据元素之间可以抽象出的这种独立于数据的存储介质的逻辑关系称为逻辑结构。,（1）逻辑结构的两种表示方法 1）图形表示。把数据间的逻辑关系用

10、符号组成的图表示，记录归结为图上的结点，用圆或方框表示，两记录之间关系用连线表示。2）关系表示。用关系代数的方法描述数据以及数据间的关系。,（2）数据逻辑关系的分类 1）顺序关系的数据结构最简单，数据结点顺序排列如线性表 逻辑上表示为 一个星期中的7天的名称(Mon,Tue,Wed,Thu,Fri,Sat,Sun)2）层次关系的结构 表层次的逻辑关系，常称之为树结构，如上表机床组成的数据结构就是一种树结构。,树结构的特点是：下一层中的结点只能有一边与它上一层的一个结点相连，上一层中的结点则可有几边与它下一层的几个结点相连，最高一层的结点只有一个，称为树根。3)网状关系的数据结构比树状结构更为复

11、杂的一类结构。与树状结构相比，下一层结点与上一层几个结点同时相连。结点间的联系是任意的。,2.数据的物理结构 在作业过程中所使用的数据都要以一定的形式存人计算机系统。用户根据数据间的逻辑结构以一定的语言进行构造，把数据及其关系按一定的形式存人存储器，构成这些数据的物理结构既存储结构。把逻辑结构的物理结构的过程叫“映象”。在物理结构设计时，除考虑数据的逻辑结构外，还应考虑存储资源的充分利用，减少存取时间，便于数据的增加、删除、修改和可靠性等问题。,四、工程数据及其管理系统,在现代CAD系统中，为了适应CAD作业的需要，须把各类工程数据按照数据结构和文件组织方式建立起数据库及其管理系统。1.数据库

12、的特点 数据库是在文件系统的基础上发展起来的，是一个通用的、综合性的、减少冗余度的数据集合。数据库系统是实现有组织的、动态的存储大量的关联数据，方便多用户访问计算机软、硬件资源的系统。,特点：(1)数据的物理存储独立于应用程序，数据扩充修改并不需要相应地修改应用程序。(2)同一个物理存储数据可根据不同的需要用不同的路径来存取，因此可根据实体对象的某些属性来组织数据。(3)由于同一数据可组织在不同的文件中，因此每个数据在物理上只需存储一次，减少了数据的重复存储，充分利用了存储资源。,(4)数据可在记录或数据项的级别上定地址，使用时可按地址取得有关的记录和数据项，不必把整个文件调入内存，减少了解题

13、时内存的需用量。2、工程数据库管理系统（EDBMS）的功能CAD过程中所涉及的数据量大，有非图形数据和图形数据，形式多样，结构关系复杂，不仅数据变化频繁，而且数据的结构也会有所改变。动态性强，为了有效的存取数据，需用EDBMS来负责数据库中工程数据的建立，运用管理、维护等功能的实现。,轴的常用材料及其主要机械性能,(1)对数据库结构进行定义，进行数据库更新，再组织结构维护以及性能监视等。(2)能被多个工程应用程序同时访问，而且还为新的应用程序的开发提供环境。(3)模式灵活，能被修改和扩充，有较高的数据独立性。(4)提供与高级语言的接口，支持工程应用程序对数据库的访问。(5)存储和管理图形相关信

14、息，为CAD系统访问数据提供各种视图。(6)复杂的设计任务按树形结构分解，划分成简单的设计步骤处理，再组合完成。,3 图形的生成与变换,目前，CAD工作中的人机交换信息主要是通过图形功能实现。一方面，设计对象的集合形状必须采用图形进行描述，另一方面，图形是表达和传递信息的直观有效形式。一坐标系，窗口与视区，图形与剪裁 1.坐标系 图形的描述和输入.输出都是在一定的坐标系中进行的，应根据不同的需要，建立不同的坐标系及其转换关系，最终使图形显示于屏幕上。,(1)世界坐标系。由用户定义的应用坐标系，是一个二值或三值的直角坐标系，取值范围无限，与任何物理设备无关。用户的图形定义均在这个坐标系中完成（a

15、）。(2)设备坐标系（屏坐标小）图形输出在该坐标系下完成，常为二值的。以屏幕的左下角为坐标原点，水平右方向为X，垂直上为Y。坐标刻度为屏幕的分辨率刻度值。由于实际设备不同，其有效工作范围的最大值不同。,(3)规格化坐标系。是人为规定的假想坐标系，其坐标轴方向几原点与设备坐标系相同，但其最大工作范围的坐标值规范化为1。对于既定的图形输出设备，其规范化坐标与实际坐标相差一个固定的倍数，设备的分辨率。,2、窗口与视区 窗口是用户在世界坐标系中确定显示内容的矩形区域。在这个区域的图形显示于屏幕上。改变窗口大小.位置，可方便地观察局部图形，控制图形的大小。视区是用户在屏幕上定义的一个矩形区域，用于显示窗

16、口中的图形，它规定了窗口中的内容要显示于屏幕上的位置、范围。,3、图形剪裁（1）概念 将图形在屏幕指定视区内显示时，将视区外的图形去掉，称为图形剪裁。剪裁处理的基础是图形元素与视区边界交点的计算和点在区域内外的判断，常见的是矩形剪裁。（2）COHENSUTHER LAND 算法 1）确定矩形剪裁区域的边界延长线 将边界划分为九个区域。,2）给每个区域以一个四位二进制数字3)按上述算法确定各直线端点所在区域代码。,4）判断直线可见性，将该直线两端点的代码按相同位数进行与操作 1不为零，剪裁 2为零，按下述求交分段作进一步处理 5）求直线与剪裁区域边界线的交点，去掉区域外的线段部分，对留下部分线段

17、重新进行3）以下处理。,二.几何造型 按其描述和储存内容的特征可分为线框造型，表面造型和实体造型。1.线框造型.物体各外表面之间的交线组成了物体外轮廓的框架，线框造型只在计算机内储存这些框架线段信息。信息少，运算简单迅速，几何定义不确定。,2.表面造型.除存储线框线段外，还存储各个外表面的几何信息。虽然具有比较全面的外表面几何信息，对物体仍没有构建起完整的三维几何关系。3.实体造型 储存物体完整的三维几何信息，可区分内部和外部可提取几何位置和相互的信息。,三.二维图形变换 图形变换是用一定的数学运算实现变化图形的过程。它是计算机图形学中应用的基本内容之一。利用图形变换可以用一些简单的图形组合成

18、比较复杂的图形。,1.齐次坐标 用一个n+1维矢量表示一个n维矢量的方法，称之为齐次坐标法。点p(x.y)在齐次坐标系中表示为)，h是任一不为零的实数。当给定一个点的其次坐标)，就能求得这个点的二维直角坐标x=。同时，若()是一个点的齐次坐标，则坐标(u.v.w)()也是该点的齐次坐标。因此一个点的齐次坐标表示并不唯一。如：二维空间内点的齐次坐标（）中使w=0，可知点的普通坐标x或y值为无穷大，齐次坐标（）所表示的点为无穷远点。当w=1时，点p(x.y.1)就是点的正常化齐次坐标。,2.变换与变换矩阵 对于平面上一点p,用一行矢量x.y.1来表示。将这一矢量与一个33的变换矩阵A相乘，形成一个

19、新点,其中,正常化后，点p,的坐标为x,.y,.1=u/w.v/w.1将点P转变为P的过程称为变换，矩阵A称为变换矩阵。矩阵A中a、b、c、d可以产生比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换。e、f产生透视变换。S产生全比例变换。3、二维图形变换,（1）各种二维图形变换及变换矩阵,（2）组合变形 对一个点连续进行多个基本变形时，形成组合变形。T为组合变换矩阵 以点 为中心的旋转变换。,（1）将整个图形平移，使旋转中心（xo,yo）与坐标原点重合：（2）图形绕原点旋转角；,将整个图形反平移使旋转中心（xo,yo）回到初始位置；其变换矩阵 一个图形由许多点构成，进行图形变换时，对图形的各点都应进行矩

20、阵乘法运算。,四、三维图形变换 三维图形的变换是二维图形变换在三维空间的扩展，坐标点(x,y,z)的正常化齐次坐标是(x,y,z,1)三维图形变换可用44矩阵表示。表 三维图形变换及变换矩阵（p31表2.13）,4 Autolisp 程序语言设计,Autolisp语言是一种嵌人在AutoCAD内部的lisp编程语言。具有人工智能语言lisp的特性，又针对Autolisp强大的图形编辑功能的特点，增加了许多新的功能，是一种人工智能绘图语言。一、Autolisp数据类型 整数型、实型、符号、字符串、表、文件描述符、子程序、AutoCAD的选择集、AutoCAD的实体名、函数分页表、外部子程序（AD

21、S函数）。当AutoCAD要求用户输入某个类型的数据时如点式比例函数，用户可以使用该类型的Autolisp表达式，由此所需的数值：,整数：0 1 2，9“+”“-”不允许出现其他字符。“+”可有可无。如+256，103，-15，0 实型数：22精度 浮点数 0125 123 4是错误的 符号原子：简称符号 在AutoLIisp语言中，符号原子可以包含除以下字符以外的任何打印字符（）用作表的定义。用作点对，用作QuoTe函数的简写，）字符串函数的定界符；用作程序的注释标点,Autolisp中，符号的大小写是等效的。ABCD、Abcd、AbcD都表示一个符号原子，尽量不要用超过六个字符的符号名。如

22、果一个符号的长度超过六个字符，符号就不能用节点存储，在节点中含有一个指向另一个包含实际符号的内存指针。占用大量额外内存。符号名越长，代码的执行速度越慢。表达式：(Setq X 25)X为整型(Setq X 25.0)X为实型(Setq X“25.0)X为字符 Setq是一个赋值函数。,察看某一个符号的当前约束值，在AutoCAD的命令提示符下键入“！”，后面跟要查看的符号。Command:!X“25.0”Autolisp保存一个名为ATOMLIST的符号原子表，它初始化时包含系统定义的所有函数和符号的名称。当建立新的函数和变量时，其符号名称被加到ATOMLIST的尾部在AutoCAD的“Com

23、mand:”提示符下查看其内容。Command:!ATOMLIST,表：Autolisp广泛使用表。二维点（X,Y）如（Setq a 6.0）为表，有三个元素，第一个元素Setq为函数名，第二个元素为变量，第三个元素为实数。文件描述符（Setq f1(open“myfile.dat”“w”)）实体名（Setq enl(entlast)）将图形最后一个实体名赋予符号enl.,选择集（Set Ssprev(Ssget”p”)）将选择对象赋予符号Ssprev.子程序和外部子程序 ADS定义的子程序。Command:(load“c:dtor”).Command(dtor 90)(defun dtor(

24、a)(Setq a(*a_(/pi 180.0),二、AutoCAD语言程序例：参数化绘制深沟球轴承的Autolisp程序。上机练习 在程序运行中，用户按提示输入外径d 孔径d 宽度b,输入标入点后，程序自动进行各坐标点计算，按深沟球轴承的绘图标准简化方法绘出图形。上机内容：P49P51及lisp语言绘图。参考教材：机械CAD技术基础，单忠臣，哈尔滨工业大学出版社 P108P110.,讲例：下面定义的是一个用多义线画正方形的函数：(defun:c:PSQUare(/pt1 pt2 pt3 pt4len)(Setq pt1(getpoint”Lower left corner:”)(Setq l

25、en(getdist pt1“length of one side:”)(Setq pt2(polar pt1 0 len)(Setq pt3(polar pt2(/pi 2.0)len)(Setq pt4(polar pt3 pi len)(command“pline”pt1 pt2 pt3 pt4“C”),命令调用：Command:Psquare Lower left Corner:(用先标输入一个点)Length of one side:（输入一个距离）函数引用AutoCAD的Pline命令画出所需要正方形。工具-Autolisp-加载（Polar）功能：求距基点距离为d，方向为a的点.

26、例：Command:(Polar(1.0 1.0)0.785398 1.414214)(2.0;2.0),第四章 计算机辅助工程CAE,在计算机辅助设计的过程中，在产品的结构设计及修改设计阶段，对整个产品及其重要受力零部件进行静态.动态的力学分析计算及其进行优化分析计算 力学分析法分为解析法和数值法。,其解题能力有限.用数值法本课程主要以弹性力学平面问题及有限元法的基本知识,4.1弹性力学平面问题的基本问题类型及方程,一 平面应力与应变1.平面应力问题 均匀梁厚度方向的尺寸小于其他两个方向的尺寸。,载荷平行于XOY平面，沿Z方向均布，Z方向的应力分量=0。作用在垂直于X轴的面上沿着Y轴方向作用

27、的 剩下三个平行于XOY平面的应力分量 这种问题称为平面应力问题。如发动机连杆，齿轮等。x.y的函数与z无关,2.平面应变问题,无限长的圆柱体，在柱面上受有平行于横截面且沿Z轴均匀分布的载荷，则可认为体内各点只有沿X及Y轴方向的位移，无沿Z方向的位移，即 均为 如：花键，滚针轴承中的滚子等。上面两类问题称弹性力学平面问题。平面应力问题中，虽然,但应变 并不等于零。平面应变问题中，但该方向的应力并不为零。,二 平面问题的基本方程 1.几何方程-位移与应变的关系 在载荷.温度变化或其他因素作用下，物体内各点之间的距离发生变化，形成物体的变形。变形时物体中各点的位移互不相同，是点的位置坐标函数。,在

28、三个坐标上的投影为u,v,w,位移分量（连续函数）是物体变形时点M的位移，物体介质变形后连续。物体中任一点,从M点取一个棱长为dx,dy,dz的微分体，微分体在各坐标面上的投影为矩形。物体变形时，微分体的棱边长度和各棱边的夹角发生改变，故而它在各坐标面上的投影改变，对坐标面上投影的变形进行研究，就能推测微分体本身的变形，等于研究了M点的变形。变形为AB和AC的长度分别为dx和dy，变形后三点分别移到 的位置。,设A的位移分量为u和v.坐标有一增量dx，B点的位 移分量为：C点为,在小变形的前提下，很小，可以认为，则线段AB位移后的绝对伸长，可用线段两端点沿X轴的位移之差表示，即：,A1B1-A

29、B=A1B2-AB=uB-uA=(,)-u=,即线段AB的正应变,=,同理，线段AC的正应变,为：,=,同样的方法研究了微分体在XOZ或YOZ坐标面上的投影,ABCD内，AB与AC所夹直角的变化即投影面的剪应变,两部分：一部分与X轴平行 AB向Y的转角,一部分与Y轴平行 AC向X的转角,故上式可简化为：,=,同理:,=,+,=,+,平面应变几何方程，位移,应变,当物体的位移分量确定时，应变分量完全确定，反过来，当应变分量确定时，位移分量不完全确定。,说明：以ABCD为例令其应变分量为零，即,=0,=0,=0 即:,=0,=0,+,=0（C）（1）,将（1）式分别对X和Y积分得：u=f1(y),

30、v=f2(x)代入（C）得:,左边是Y的任意函数，右边是X的函数，故两边等于同一常数w，故：,=w,=w,=-wy+u0,=wx+v0,U=u0-wy v=v0+wx平面内的应变全为0时，面内的各点位移，与变形无关，是刚体位移。U0,v0代表沿x轴及y轴的刚体平移，w代表绕z轴的转动（证明略）。,（1）空间问题,每个面上有三个应力分量：一个正应力，两个剪应力，,垂直作用于,表示，前表示,垂直于,垂直于Z轴的面上沿Z向作用。剪应力用,垂直于哪一个轴，后表示沿哪个坐标轴，,X轴沿Y轴方向移动。,2,物理方程应变与应力之间的关系。,如果某一个截面上的外法线方向是沿坐标轴的正方向，这个截面称一个正面，

31、这个面上的应力沿正向为正，负方向为负。相反如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，截面为负面，这个面上的应力以沿坐标轴负向为正，正向为负。空间问题有九个应力分量。三个正应力六个剪应力,三个独立应力。,xy=yx yz=zy zx=xz空间应力状态有6个独立应力分量:对应6个应变分量：,完全弹性,各向同性物体,应变与应力关系：（胡克定律导出）胡克定律：在单向应力状态下，处于弹性阶段的物体应力与应变是线性关系，即：,（1）,E,弹性模量,剪切弹性模量,泊松比,G,（2）平面应力问题,可得出应力方程：,D平面应力问题的弹性矩阵，对称与E，有关,（3）平面应变问题的物理方程,平面应变的物理方程。,两类

32、平面问题类似：平面应力问题,得到平面应变问题的方程式。,（4）平衡方程应力与外力间的关系：作用于物体的外力分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力是分布在物体体积中的力，如重力和惯性力。面力是分布于物体表面上的力，如接触力。（1）应力与体力之间的平衡方程,（1）应力和面力关系：,三虚功方程,弹性力学在能量法求解中，特别是在用有限单元法求解中，要用到变形体的虚位移原理和虚功方程，这里简介一下。,所谓虚位移，是一种假想加到系统上，为系统的约束条件所允许的任意微小位移。而元功是指实际的力在虚位移上所作的功，元功也称为虚功。,变形体虚功原理表述如下：,设变形体在力的作用下处于平衡状态，又设变形体由于别

33、的原因产生符合约束条件的微小的连续变形（虚位移，虚应变），则外力在虚位移上所做的虚功W，恒等于应力在虚应变上所做的虚变形功V。,即：,W=V 其中：,如果只有刚体的虚位移而没有虚应变，虚变形功V=0.故W=0，变成刚体的虚功方程PxiuD+Pyivi+,TP=,TdV,(xx+yy+zz+xyzy+yzyz+zxzx)dxdydz如果变形体处于平衡状态，当给予虚位移时，外力在虚位移上的虚功等于整个变形体内应力在虚应变上的虚功。在弹性力学与有限元法中，通常用虚位移方程代替平衡微分方程与应力边界条件。,注意：本节用“变形体”而没用“弹性体”，是因为 这里分析结构并不局限于弹性范围；虚功方程的两种运

34、用；（1）虚设位移,求未知力。,（虚位移原理）,求位移。,（虚功原理）,给定力系.虚设位移.求未知力.,（2）虚设力状态,给定位移虚设力系.求未知位移.,4.2 弹性力学平面问题的有限单元法,一、弹性力学的有限元分析计算可分为三个步骤:,1、结构离散化,这是有限元法的基础，用由有限个方位不同但几何性质及物理性质均相似的单元组成的集合体来代替原来的连续体或结构。每个单元仅在节点处和其他单元及外部有联系。对于不同的问题，根据自身的特点，可选用不同类型的单元。对同一问题也可以分别或同时选用多种单元。,单元与节点,单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。节点：单元与单元间的连接

35、点。节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力。节点载荷：作用于节点上的外载。注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；2）节点力与节点载荷的差别。,节点载荷,节点力,非法结构离散,不同材料,节点不合法,例：图示一悬臂梁，梁的厚度为t，设泊松比=，弹性模量为E，试用三节点三角形单元进行离散。,典型单元类型,2.单元分析,主要内容：由节点位移求内部任意一点的位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。,3.整体分析,（1）由节点平衡方程，建立以整体刚度矩阵K为系数的，整体节点位移和外载R的关系式整体平衡方程。,

36、（2）考虑几何边界条件，修改总体刚度矩阵，求解全部未知位移分量。,有限元法的基本步骤,物体离散单元分析整体分析与求解结果分析及后处理,力学模型(平面应力问题),有限元模型,有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述的场问题的求解。,二.有限元求解例（一维单元）,引例:用有限元法求图1所示受拉阶梯杆的位移和应力。已知杆截面面积A（1）=210-4m2，A（2）=110-4m2，各段杆长L（1）=L（2）=0.1m；材料弹性模量E（1）=E（2）=2105MPa，作用于杆端的拉力F3=100N。,a),b),c)图1 受拉阶梯杆a)示意图 b)有限元模型 c)单元图,1.单元划分 根

37、据材料力学的平面假设，等截面受拉杆的同一截面的不同点上可认为具有相同的位移和应力，即位移只与截面的轴向坐标（图1中为x）有关，所以可将阶梯杆看作由两个“一维单元”组成，同一个单元内截面积及材料特性不变，并用线段表示一维单元。最简单的情况是，每一个单元有两个结点，他们分别位于单元两端。相邻两单元靠公共结点联结。这样，图1a所视的受拉阶梯杆就简化为由两个一维单元和三个结点构成的有限单元模型（图1b）。图中和是单元号，1、2、3是结点号。取结点位移作为基本未知量，应力由求得的结点位移算出。,2.确定单元插值函数（形函数）有限元法将整个求解域离散为一系列仅靠公共结点联结的单元，而每一个单元本身却视为光

38、滑连续体。单元内任一点的场变量（如本例中的位移）可由本单元的结点值根据场变量在单元中的假定分布规律（插值函数）插值求得。本例中，每单元有两个结点，采用线性插值方式是适宜的。图1c是一典型单元图。两结点分别为i和j。设单元中坐标为x处的场变量为,结点场变量值分别记为,和,。,。,根据线性插值关系得：,（1）,是单元自由度列阵；,形函数矩阵，因为它与单元的结点坐标（即单元形状）和单元插值形状有关。,式中，L（e）=xj-xi是单元长度；,称为单元,形函数矩阵的分量数目应与单元自由度数目相等。,对于两自由度线性插值单元由式（1）可知形函数矩阵的两分量为：,（2）,3.单元方程（单元结点位移与结点力的

39、关系）由等截面杆变形与拉力的关系（虎克定律）得到,式中，,和,分别为作用于单元e的结点i和,（3）,结点j的结点力。,式（3）写成矩阵形式为：,或简记为：,式中，,称为单元特性矩阵，在力学问题,称为单元结点力列阵。,（4）,（5）,中常称为单元刚度矩阵，简称单元刚阵；,式（5）称为单元方程。,到目前为止，单元方程（4）或（5）尚不能求解，因为结点力列阵,尚属未知。,的分量,和,外载荷之间的关系。4.单元组集建立总体方程组 为获得总体方程,和,总体自由度（,、,）的对应关系进行扩展。,是相邻单元作用于单元e的结点i和j的力，即,属于单元之间的作用力。,只有将具有公共结点的,单元“组集”在一起才能

40、确定上述结点力和结点,和,组，必须先将单元方程按照局部自由度,（）,和,具体来说，单元1的扩展方程为：,式中，各项上角码表示单元序号；下角码表示自由 度总体序号。,（6）,单元2的扩展方程为：,（7）,由于相邻两单元公共结点上的基本场变量（位移）相同，所以可将扩展后的各单元方程相加。,将式（6）和式（7）相加得：,（8）,上述组集过程可记为：,式中，NE代表有限元模型的单元总数。,（9）,组集后的结果简记为：,式中，K称为总体特性矩阵（力学中常称为总体刚度矩阵和总刚阵），F称为总体结点载荷列阵。需指出的是，对单元的一个公共结点而言，除了有相邻单元作用于该结点的力之外，还可能有做用于该结点的外载

41、荷（包括以后要讲到的当量结点载荷）。若一结点上无外载荷作用（如本例中结点2），则说明各相邻单元作用于该结点的力是平衡的，即该结点的结点合力为零。,若某结点上有外载荷作用（如本例中结点3），则各单元作用于该结点的内力和（即方程（8）中第3式左端项的负值）与该结点的外载荷（F3）相平衡，即：,这就是说，列阵F各分量的含义是作用于相应自由度（结点位移）上的结点外载荷。将相应数据代入式（8）得：,（11）,（10）,上式即为本题的总体线性代数方程组，但不能获得唯一解，因为上式中的矩阵是奇异的。这种奇异性不是因数据巧合造成的，而是有其必然性。原因在于总体方程组式（8）只考虑了力平衡条件，而只根据力平衡不

42、能唯一地确定系统的位移，因为系统在有任意刚性位移的情况下仍可处于力平衡状态。为获得各结点位移的唯一解，必须消除可能产生的刚体位移，即必须计入位移边界条件。,5.计入边界条件，解方程组,本题的位移边界条件为,那么，式（11）,和,说，可从式（11）中消去一个方程。譬如，,代入后得：,解得：,=0.2510-6,m,=0.7510-6,m。,，,中只剩下两个待求的自由度,去第一个方程并将,。也就是,舍,（12）,这与材料力学求得的结果相同。,6.计算单元应变和应力,由材料力学得知，单元中任一点的应变,（x）,（x）,将式（1）及式（2）代入上式得,式中，B称为单元应变一结点位移转换矩阵。应力应变关

43、系为:,（15）,与位移,的关系为:,（13）,（14）,对于单元1,对于单元2,三有限元求解例（线性三角形单元）（1）单元位移模式,三角形三节点单元如上图。,i、j、m为节点。六个位移分量需六个待定参数,、,设单元位移分量是坐标x.y的线性函数，即：,写成矩阵的形式为：,（2）由单元节点位移,求位移参数,设节点i,j,m坐标分别是xi,yi;xj,yj;xm,ym。把三个节点的坐标及其水平位移代入式（1）中得：,解得：,，,，,对v同理可列出,、,、,解出,的结果如下：,方程。,式中,为三角形单元面积。,将,写成矩阵形式，有,由单元节点位移,求单元内部任一点位移f(x,y),=m(x,y)A

44、,e,f(x,y),=m(x,y),f(x,y)=,=,=Ni(x,y)Nj(x,y)Nm(x,y),=,二阶单位阵,形函数物理意义：,，i节点单位位移，其他,Ni，Nj，Nm是坐标的连续函数，它反映单元内位移的分布状态，称为位移的形状函数，简称形函数。矩阵N称为形函数矩阵。,节点位移分量为0，单元内部产生位移分布形状Ni(x,y)=,形函数的性质：1、在单元任一点上，三个形函数之和等 于1.2、形函数Ni在i点的函数值为1，在j点及m,点的函数值为零。,3、三角形单元i,j,m在ij边上的形函数与,第三个顶点的坐标无关。,例：求图示单元和单元的形函数矩阵,i,j,如无特殊说明：约定节点编号逆

45、时针方向,（a）,单元、分别如上图所示,(b),单元如图a所示。设a=1m,b=2m.,(或直接由图形可知其面积),(2)求系数ai，aj，am，bi，bj，bm，ci，cj，cm,(3)求形函数矩阵 代入相关常数：,将a=1,b=2代入得：,单元如图b所示，,=,。,ai=xjym-xmyj=ab aj=xmyi-xiym=ab am=xiyj-xjyi=-ab bi=yj-ym=-abj=ym-yi=0bm=yi-yj=aci=xm-xj=0 cj=xi-xm=-bcm=xj-xi=b,（1）求常数,(2)求形函数矩阵,N=,将a=1,b=2m代入上式得：N=,四 1.由节点位移求单元的应

46、变,单元应变矩阵,=,简记为,=B,e,B可写成分块的形式：B=Bi Bj BmBi=,B称为应变矩阵，它的元素都只与单元的几何性,单元应变与单元结点位移关系,(i,j,m),质有关的常量。这种单元称为平面问题的常应变,三角形单元。,2.单元应力与结点位移关系,=D,e,(求应变的表达式),e,应力矩阵=DB=Si Sj Sm,=DB,=S,平面应力问题：代入D及B 得:S=Si Sj Sm.对于平面应力：Si=,(i,j,m),*注：D 的表达式见P72 4-8，B的表达式见P86 4-34,2)平面应变问题.将上式中以,代E，以,代,则子矩阵：,(i,j,m),Si=,3.单元刚度矩阵,F

47、e=,=,节点虚位移列阵及虚应变：,*e=,*=,(,*e)TFe=,*T,tdxdy,=B,e知,*=B,*e,*e)TFe=,(,*e)TBT,tdxdy,由,(,由于,*e中的元素为常量，提至前，故：,BT,tdxdy（B,为常量，,dxdy为面积）,Fe=,Fe=BT,t,Fe=BT,t,=BTD,t,=BTDB,et,=Ke,Ke=BTDBt,或Ke=,BTDBtdxdy,单元刚度矩阵=,e,对于平面应力问题krs=BrTDBst,=,(r=i,j,m;s=i,j,m),对于平面应变问题：将上式中的E换成,换成,可得k，式略。,求例4.2（p84）单元的单元刚度矩阵解：（1）求矩阵B

48、B=,=,ab 和bi,bj,bm及 ci,cj,cm,得:B=,（2）求矩阵S D=,S=DB=,（3）求矩阵keke=BTDBt,=BTSt,=,=,代入a=1 b=2m 得：,可算出，当a=b时单元刚度矩阵与尺寸a,b无关。,单元刚体矩阵的特性：单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵ke表示了单元抵抗变形的能力，即表示了节点位移,e与节点力Fe之间,krs表示点s发生单位位移时，在节点r上,的关系。,产生的节点力。,例：证明右图所示中单元刚度矩阵.k=k,证明：由于单元刚度矩阵 ke=BTDBt,可知：当两个三角形单元几何尺寸相同时，t值和单元面积,值均相同；当两个单元的材料,不难验证,.

49、单元的上述br.cr(i,j,m),性质相同时，弹性矩阵D也时相同的。故ke是否相同，取决于矩阵B,值均相等。,B=,结论：两个单元刚度矩阵ke相等的条件为：只要两单元的形状、大小、方向和单元弹性常数均相同，并且编号的方式也相同，如按逆时针方向编号为 i,j,m，直角顶点编号为m，则两个单元的刚度矩阵时相等的。刚度矩阵的一些重要性质：（1）对称性 单元刚度矩阵是一个对称矩阵（2）奇异性 单元刚度矩阵是一个奇异矩阵,，表明其逆矩阵不存在。,也就是说，如果给定了单元节点位移可以得出惟一的节点力。反之，如果给出节点力却无法求出确定的节点位移。这是因为单一单元来考虑所受约束时，可能存在不引起单元应力和

50、节点力的刚性位移。,（3）分块性质 单元刚度矩阵可以分块运算。,五.单元载荷的移置（离散时每个单元受载作用于节点上）,1.原则：将单元载荷向节点处移置，按照虚功等效的原则进行。对于变形体，虚功等效是指原载荷与节点载荷在任何虚位移上做的虚功相等。当位移模式确定后，载荷移置是唯一的。静力等效是虚功等效的特例。,2.载荷移置公式（1）集中力 设单元i,j,m中任一点M(x,y)处受有集中力P=PxPyT移置到该单元各节点处载荷列阵为Re=,假设该单元发生一微小虚位移，M点相应的虚位移为f*该单元各节点处相应虚位移为,由静力等效原理，载荷与节点等效载荷载虚位移上所作虚功相等：(,e)TRe=f*Tp,