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1、理解数学与稚化思维谈搞好数学教学设计的关键李祎 教授 博士 福建师范大学 数学与计算机科学学院,福建省中学数学学科带头人培训班上的报告,目录,一、理解数学：数学教学设计的前提1、学生的学习水平取决于教师的素质2、数学理解重于形式运算3、数学理解的几个方面4、理解的基本策略是追问二、稚化思维：数学教学设计的关键1、教师的教学类型2、稚化思维的内涵及意义3、稚化思维的教学设计策略,一、理解数学：数学教学设计的前提,数学教育，自然是以“数学”内容为核心。数学教学的优劣，自然应以学生能否学好“数学”为依归。即方法与手段必须为数学内容服务。但在目前，一提到教师培训、业务研讨，想到的都是数学教学理念，数学
2、教学的方法与技巧，而数学学科知识本身则受到冷落。人们对教学方法研究情有独钟。研究教学导入的艺术，研究指导探究的艺术，研究练习设计的艺术但却唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深刻的中小学数学知识。,“木桶效应”告诉我们，一位教师某方面素质的缺失，就会影响他全部能力的发挥。作为一名数学教师，需要经常问自己：“我懂数学吗？”还要不断反思：“怎样使自己成为一名懂数学的数学教师？”为什么计算时要先乘除后加减？（见后）负数乘以负数为什么会得到正数？为什么分数相加分母不变分子相加？（见后）,袁隆平：“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为在学正负数的时候，搞不清为什么负负相乘得正，就去问老师，老师说你记得
3、就是；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样回答，我由此得出结论，数学不讲道理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？,知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。”,1、学生的学习水平取决于教师的素质,庸师如同庸医一样，不仅不能教好学，反而会把学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。教书匠就是知识的搬运工，把自己会的东西简单的搬运给学生，没有智慧，没有思维火花，不会
4、贻误学生一生，但也没有太大的发展。经师，不仅能教给学生知识和技能，并且能培养学生具有一定的能力，这属于较高水平的教师。人师，不仅给学生知识和能力，还能给学生智慧，更能在人格上、思想上影响学生，使学生在学习中学到了知识，掌握了能力，产生了智慧，形成了健康人格。,2、数学理解重于形式运算,数学理解的几个层次：零层次：不知其然者，全无理解；第一层次：“知其然”，即掌握结果、结论，知道“是什么”；第二层次：不仅“知其然”，而且“知其所以然”，即掌握结论之因，知道“为什么”；第三层次：这还不够，还要弄明白“何由以知其所以然”，即怎样想到这样定义、这个解法或证明的，这就涉及到思想方法，从而达到了理解的观念
5、性层次。,示例：导数与定积分旧教材：先讲极限，再引入导数、定积分的概念，把导数、定积分作为特殊极限来处理。这种建立导数、定积分概念的方式具有较强的逻辑性和系统性，但由于高中学生很难认识和理解极限的定义，他们在学习了极限以后，留在头脑中的印象往往是：极限就是一些形式化的计算。这种把导数和定积分作为特殊的极限处理的呈现方式影响了学生对导数、定积分本质的理解。,课标教材：不专门介绍极限的形式化定义及相关知识，不把导数、定积分作为一种特殊的极限来处理，而是直接通过反映导数和定积分思想和本质的具体实例，使学生体会其思想，理解其含义。教师必须转变微积分的主要内容就是形式化的计算的传统观念，准确把握教学要求
6、，在导数、定积分概念的引入上多下工夫，并让学生通过不断应用来理解导数和定积分的本质。（“微积分”）为达成数学理解，教材编制时：重思想引导，轻形式化表述；重实践认知，轻机械操作。,3、数学理解的几个方面,（1）厘清“是什么”在随机实验中，每一种可能出现的情况，称为一个“基本事件”。互斥性；可表性。示例一：基本事件是相对的还是绝对的？在连续两次掷一枚骰子的随机试验中，向上的点数之和是偶数的概率是多少？教师甲：P(A)=18/36=1/2,（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（
7、3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）,教师乙：第一次：奇 偶第二次：奇，偶 奇，偶基本事件共有4个，即：（奇，奇）（奇，偶）（偶，奇）（偶，偶）P(A)=1/2区别在于确定基本事件的方法不同。甲按照点数的具体值找基本事件，乙按照点数的奇偶找基本事件。在同一个解决问题的过程中，基本事件应是不能再分或不必再分的事件。,示例二：概率是频率的极限吗？“一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P
8、(A)=p”要注意避免以下理解：“频率的稳定值就是概率的估计值”。事实上，频率的稳定值就是概率，但是很多时候无法仅从试验中知道频率的稳定值具体是多少。“随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率”。事实上，频率稳定于概率并不是说频率的极限就是概率，而是频率依某种收敛意义趋于概率，即满足大数定律。,（2）追问“为什么”为什么要提出这一数学概念？为什么要这样而不是那样对概念下定义？为什么要作出这样的数学约定？问的为什么越多，得到的学问就可能越多；问的为什么越深，认识就必然越透彻、深入。如此，才能“不仅讲推理，更要讲道理。”示例一：集合的“三性”示例二：函数的定义树立正确的数学观：绝对值是正数吗？无
9、限观？,示例三：为什么“先乘除后加减”例1 某化肥厂要生产4000吨化肥，如果每天生产150吨，生产了12天，还剩多少吨没有完成？若规定“先乘除，后加减”，则算式就不要加括号：400015012；若规定“先加减，后乘除”，则算式就必须加括号：4000（15012）例2 三年级同学要浇300棵树，已经浇了180棵树，剩下的分3次浇完，平均每次浇多少棵树？若规定“先乘除，后加减”，则算式就必须加括号：（300180）3；若规定“先加减，后乘除”，算式就不要加括号：3001803,例1的两种算法：4000（150150150150150150150150150150150150）400015012从
10、这里，不难看出应先做乘法，后做减法，也就说明了“先乘除后加减”规定的合理性乘法作为一种高级运算，用乘法计算相同加数的和，可以大大提高计算效率，使计算简便。因此，在遇到形如“x+a+a+a(b个a)”的计算问题时，自然就会想到先用乘法算b个a的和(ab)，然后再加x。,示例四：分数为什么要这样相加减？在小学数学教材中，分数相加减的规则是:两个同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分数相加减，通分变成同分母后相加减。为什么要这样定义分数加减法呢？合理的解释是：因为自然数以“1”为标准，“1”是自然数的单位，所以任何两个自然数都可以直接相加减。但是，不同的分数有着不同的分数单位。同分母分数
11、，因为它们的分数单位相同，所以能直接相加减。异分母分数，因为它们的分数单位不同，所以不能直接相加减。,但在解决实际问题当中，经常也会遇到这样的情形：两个分数相加减，将它们的分子、分母分别相加减。比如，甲乙两个队踢足球，第一场23，第二场12，总的比赛结果就是35。又如，假设在每50名男性中，患胃病的人有13人；在每50名女性中，患胃病的人有8人。此时，男性患胃病的比例为13/50，女性患胃病的比例为8/50。现在需要描述总体患病率，那么只能是21/100。,分数相加减的规则，也是一种人为的约定。那么，人们约定的分数加减法的规则，为什么是前者而不是后者呢？仔细分析不难发现，后者这个加减法的规则，
12、其缺点是:不能和自然数的加减法相容。分数的加减法其实有两种，前者称之为分数的数量加减法，后者称之为分数的比例加减法。通常的加减法之所以规定为数量加减法，是为了使之能够和自然数的加减法兼容。,（3）建构内容联系对教学内容进行设计时，不能“就事论事”，仅仅考虑到这一“点”知识，这样可能会“见木不见林”。在对教材进行分析时，要树立“整体观”，要从教学系统的“宏观视野”的显现状况与课堂运行的“微型框架”两方面进行结构化设计。学习理论的现代研究表明，组织良好的知识是围绕核心概念或“大观点”组织的。布鲁纳的学科基本结构的思想。,布鲁纳认为，学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的
13、结构。学习就是认知结构的组织和重新组织。知识的学习就是在学生的头脑中形成各学科的知识结构。这种知识结构是由学科知识中的基本概念、基本思想或基本原理组成的。布鲁纳：学习知识就是学习事物是怎样相互关联的。“不论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构”。,比如在概念教学中，在一节课中找到了概念的核心，也就解决了“这一节课你的教学究竟要干什么”的方向性问题。所谓概念的核心，是指通过对一节课或一个单元、一章，乃至一个数学分支中的主要概念进行解构，析出的有共同本质指向的、重要的、不可或缺的基础概念。,示例一：小学数学结构略图数及其计算：自然数分数小数；加减、乘、除；算理算法图形及其度量：点，线
14、，面，形，体（三角形与圆；分解与组合）图形度量：长度，角度，面积，体积图形性质：相等，平行，垂直数据统计及其分析：定义统计量确定算法结果分析平均数，众数，中位数,示例二：二分法在“二分法”的教学中，“逼近思想”就是这节课的核心思想。相对于“逼近思想”，“二分法”倒是次要的，它仅是实现“逼近”的一种具体手段，“三分法”“四分法等也未尝不可。大学计算数学中，还要学习牛顿法、弦截法等逼近的方法。其教学线索应是：方程解的问题，函数零点问题，逼近问题，缩小区间问题，怎样缩小的问题，二分法问题。,示例三：直线一条直线有一个点和一个方向就确定了，而直线方向的本质就是直线的倾斜程度。故直线的倾斜程度也就成了所
15、有直线问题的核心概念。“直线的斜率”由于它没有不可或缺性，虽然是非常重要的概念，但不是概念的核心。认为直线的核心是“直线的倾斜程度”的话，那么后续的教学还可以由向量法为主导，不仅可以让“斜率”得到本质的解构，即把几何要素转化为代数运算的解析法思想，而且为“直线与方程”的教学打开更广阔的视野。（教学法的颠倒？）,（4）挖掘思想方法数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。显性的知识是写在教材上的一条明线，隐性的思想是潜藏其中的一条暗线。数学思想方法的教学一定要注意“过程性
16、”，“没有过程就等于没有思想”，要让学生在过程中去逐步体会和理解。,示例一：对数函数及其性质通过图像研究函数的性质数形结合思想；通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质从特殊到一般的归纳思想；区分和两种情况来讨论函数的性质分类讨论思想；通过与指数函数的对比来研究对数函数类比的思想方法；对数概念引出及对数性质应用实例数学模型思想方法。示例二：函数单调性,哲学的视角：形式与内容；运动与静止；偶然与必然；现象与本质；原因与结果；整体与局部；有限与无限；等。思维的视角：观察与实验；类比与猜想；归纳与演绎；分析与综合；抽象与概括；特殊与一般；比较与分类；等。数学的视角：1、全局性的方法：数学模型方法；关系
17、映射反演方法；公理化方法；坐标方法；等。2、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。高考考试说明：函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。,4、理解的基本策略是追问,（1）通过追问形成正确的认识教学首先要解决“教得对不对”的问题，再解决“教得好不好”的问题。通过追问，养成从数学科学的视角审视数学课程内容的思维习惯，切实避免出现科学性错误。示例一：有了角度制为什么还要引进弧度制？示例二：指数函数中为什么要规定a0,（2）通过追问获得深层理解对任何事物的理解，均存在表层理解和深层理解。对数学知识的理解，也是如此。
18、比如，自然数的含义实际上有两种，即基数含义和序数含义。当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数意义。示例一：零为什么不能作除数？示例二：对数函数中为什么要规定a1,（3）通过追问拓展学科知识追问不仅可以从纵向获得对数学知识的深刻理解，还可以从横向拓广自己的数学视野，从而使教师专业知识结构的建构，不仅精深而且广博。学问广博，学识丰富，这样才能以一种宏观的、联系的、发展的观念去看待数学，而不拘泥于局部的、零散的、静态的认识，才能从更高的角度理解数学，才能在教学时信手拈来、游刃有余。示例一：一元三
19、次方程有求根公式吗？示例二：有等和数列与等积数列吗？,（4）通过追问获得较高观点教师要做到“深入浅出”，就是要学到应有的深度，这样才可能在教学中浅出。示例一：正整数的个数比偶数的个数多吗？示例二：以下和式的极限存在吗？S=（11）（11）（11）S=1（11 11 1）,（5）通过追问形成多元化思路示例一：对绝对值不等式的理解动静转换数形结合 更多应用,示例二：二项式定理的证明能否严格进行推导和证明？,二、稚化思维：数学教学设计的关键,1、教师的教学类型深入深出型，就是自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，结果学生听得晕晕乎乎不明所以然。浅入深出型，自己的知识很贫乏，可以说是腹中空
20、空，但却要装的很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩，让学生是丈二和尚摸不着头脑。浅入浅出型，就是自己懂得并不多，但老老实实地用通俗的语言教给学生，至少学生听得明白、学得会，虽说不会有太多的提高，但能学到一些知识。深入浅出型，自己的学问很深，但能用通俗、易懂的语言传递给学生，把枯燥的知识生动化，把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。（深入；浅出）,2、稚化思维的内涵及意义（1）稚化思维的内涵教师最擅长的就是扮演“先知先觉”的上帝的角色。他们已经知道了所要学习的某知识的存在，所以在教学时总是千方百计地让学生很快地获得这一知识，而不是让学生返回到知识生成的原生状态，让学生把相关的知识意义创造
21、出来。数学教学一直是一种“为我”的状态而不是“为他”的状态，教师常常只是站在自己的认知角度、而不是站在学生认知心理的角度来考虑问题。,教学设计的思路与知识的内在结构和学生的认识过程和谐同步。（序）所谓稚化思维，就是教师把自己的外在权威隐蔽起来，教学时不以知识丰富的教师自居，而是把自己的思维降格到学生的思维水平，亲近学生，接近学生，有意识地退回到与学生相仿的思维状态，设身处地地揣摩学生的学习水平、状态等，有意识地生发一种陌生感、新鲜感，以与学生同样的认知兴趣、同样的学习情绪、同样的思维情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。稚化思维与讲解教学。,波利亚:“让你的学生提问题，要不就象他们自己提问
22、的那样由你去提出这些问题；让你的学生给出解答，要不就象他们自己给出的那样由你去给出解答。”（数学的发现）这就要求教师在教学设计中，要有意识地退回到与学生相仿的思维态势，通过“心理换位”对自身的自我监控进行必要的加工和处理，使教学设计中呈现的教学思路更贴近学生的实际。,（2）稚化思维的意义有利于引起思维共振学习就是学生思维结构向专家思维结构转化的过程。须在专家与学生思维活动之间架设桥梁。教师以自己的知识水平去思考，把思考过程和结果教给学生，学生往往知其然不知其所以然。（过程性）数学家萧荫堂:“有时教授备课不足，笨手笨脚地算错了数，从他搔着首、念念有词的改正中，反而可以看出他的思路，真正学到些东西
23、。”教师：悬置知识，稚化思维，使师生之间在认识程序上达到“同频”，引起教与学的“共振”。,有利于降低认知难度学生在学习中遇到的困难，多数源于教学过程起点过高，或先前认知经验的不足。（间接性，技巧性）教师稚化自己的思维，降低教学的起点，与学生一起走入学生的原有经验中去，在学生原有思维水平上展开教学，顺着他们的思维逐渐展开，在思维的水到渠成中掌握新知识，这样可以大大降低学习新知识的难度。（循循善诱，自然流畅）,有利于拉近情感距离苏霍姆林斯基：“教师必须在某种程度上变成孩子。”稚化成熟的思维，在稚化中调协情感阀门和思维按钮，让教师和学生的心灵“频率”同步，与学生实现心灵的共振，真正地飞进孩提的心灵世
24、界。教育心理学指出：要使学生接受你的观点，你就必须同学生保持“同体观”的关系 即“自己人的效应”，这样就拉近了双方的心理距离。,3、稚化思维的教学设计策略（1）分析问题以学生的认知结构为起点分析问题：增加从旧知识到新知识的层次，尽可能减小思维落差，帮助学生从原有知识和经验中找到“支架”。教学设计要从学生真实的问题和经验出发，而不是从数学教材或从教师假想的问题和经验出发。所谓真实的问题，即是学生头脑中真正存在的问题，是作为新知识固着点的问题。所谓真实的经验，即是学生头脑中已有的经验，是作为新知识生长点的经验。,教师经常对数学对象的本质与学生个体认识的实质性关联揭示不够，没有真正揭示出学习任务与学
25、生固有认识的矛盾，从而导致学生的被动接受和机械记忆。物理学大师保罗狄拉克的学术报告。许多教师在数学教学设计中，关心的并不是学习任务与学生固有认识的实际差距，往往只是从所要学习的知识点出发来设计问题，这样的问题就类似于狄拉克所拒绝回答的那类问题，这样的教学设计就最容易脱离学生的实际认知水平。,有意义学习必须以学习者原有的认知结构为基础。必然存在着原有知识对当前知识学习的影响。“如果不得不把教育心理学的所有内容简约成一条原理的话，我会说：影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么。弄清了这一点，并据此展开教学”。（1/x是分数吗？）认知结构对新知识获得和保持的影响因素：认知结构中对新知识起固定作用
26、的旧知识的可利用性；新知识与同化它的原有旧知识之间的可辨别性程度；认知结构中起固定作用的旧知识的稳定性和清晰性程度。,示例一：正弦定理的证明,作高法；面积法；外接圆法；角平分线定理法,示例二：两角和的余弦公式的证明,新教材：三角函数线；向量法,（2）启迪心智以学生的思维方式为起点为了使教师的思维契合或顺应学生的思维，使两种思维“合拍”，教师需要设身处地地从学生实际出发来进行教学设计。当教师的思维带上了学生的色彩，甚至达到了“学生化”之后，教的过程就自然与学的过程融为一体，教学就会进入一种自然流畅的状态，这就能从一定程度上避免教师以自己的思维来取代学生的思维。为此，教师要善于运用稚化思维的退化性
27、原理和表演性原理，惑其所惑，难其所难，错其所错。,惑其所惑，以利解惑从学生的心智状态出发，将自己的思维退化到学生的思维势态，疑其所疑，惑其所惑，根据学生可能出现的疑惑来确定教学难点，或根据教学需要，蓄意制造引起速惑的思维环境。难其所难，以利化难教师只有扮演学生的角色，成为学生的化身，才能体察“民情”，知道学生的困难所在。错其所错，以求防错可以根据以往的教学经验，装着不知不觉的样子，发生学生常见的典型错误，让学生进行识别或故意挑起争端，让学生积极地帮老师纠错。,示例一：等差数列求和公式配对求和（由高斯求和引出：先行组织者）化归转化（先求Sn=1+2+n）倒序相加（如何过渡？）面积法,an=a1+
28、(n-1)d，不妨设ai0(a1+a2)/2+(a2+a3)/2+(an-1+an)/2=(n-1)(a1+an)/2两段同时加(a1+an)/2，整理便得。,示例二：等比数列求和公式等比定理最靠近最近发展区化归转化 提取a1：,归纳猜想错位相消透视“错位相消”的实质求和的实质,其它方法提取q：数学美的启示：,示例三：函数的单调性函数单调性的教学设计，大体从以下三个层次上展开。首先观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。,
29、教学的困惑主要来自于研究课题的提出，即从图像上不难获得图像“上升”或“下降”的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？这时教师可采用解释和说明的方法，帮助学生解疑释惑，即“上升”“下降”是一种日常语言，用日常语言描述“单调增”“单调减”这样的数学性质是不够准确的。那么，能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？这时结合图像的特点，即它是“函数”的图像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。,教学的难点主要集中在第三个层次，即如何用符号化的数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：,教学的易错点，主要在于定义中自变量取值的“任意性”。可针对以下两个方面，有意模拟错误，让学生进行辨别：,谢谢电话：邮箱：,
