电磁场电磁波教案.ppt

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1、第七章 时变电磁场,主 要 内 容 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。,1.位移电流2.麦克斯韦方程3.时变电磁场的边界条件4.标量位与矢量位5.位函数方程的求解6.能量密度与能流密度矢量,7.惟一性定理8.正弦电磁场9.麦克斯韦方程的复数形式 10.位函数的复数形式11.能量密度与能流密度矢量 的复数形式,2023/9/13,1,1.位移电流,位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念，但是这种人为定义的电流对于分析与描述时变电磁场特性是非常有益的。,对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性原理，即,前述的电荷守恒原理表明,

2、2023/9/13,2,对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推出电流连续性原理。但是电荷守恒及电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩充前述的电流概念。众所周知，随时间变化的时变电流可以通过真空电容器或理想介质电容器。这种电容器中的电流不是由电子运动形成的传导电流，也不是运流电流，而是将要介绍的位移电流。,静电场的高斯定律 同样适用于时变电场。考虑到上述电荷守恒定律，得,相应的微分形式为,2023/9/13,3,那么，求得,显然，上式中 具有电流密度量纲，英围物理学家麦克斯韦称它为位移电流密度，以 Jd 表示，即,由此可见，引入位移电流概念以后，时变电流仍然是连续的。由于此

3、时包括了传导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连续性原理。,由位移电流定义可见，位移电流密度是电位移的时间变化率，或者说是电场的时间变化率。在静电场中，由于，自然不存在位移电流。在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。在电导率较低的媒质中，位移电流密度有可能大于传导电流密度。但是，在良导体中传导电流占主导地位，而位移电流可以忽略不计。,2023/9/13,4,在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述的安培环路定律中必须增加一项位移电流，即,即,上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以及位移电流共同产生的。已知位移

4、电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生时变磁场。电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场，因此，麦克斯韦引入位移电流概念以后，认为时变电场与时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波。这一预见，后来在1888年被德国学者赫兹的实验所证实。,2023/9/13,5,2.麦克斯韦方程,静态场中的高斯定理及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立，那么，考虑到电磁感应定律及全电流定律，麦克斯韦归纳为四个方程式，其积分形式和微分形式分别如下：,积分形式,微分形式,全电流定律,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定律,2023/9/13,6,由微分形式的麦克斯韦方程式可见，时变电场是有旋有散的

5、，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。但是在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。此外，时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。,2023/9/13,7,为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即,麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程导出第 3、4 方程，或反之。,对于不随时间变化的静态场，则,那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场不再相关，彼此独

6、立。,式中 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。,2023/9/13,8,在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。,爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦克斯韦方程的一段评述：“这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。,假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在时间上稍为迟一些所发生的事件”

7、。,2023/9/13,9,麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于人类历史的进程也起了重要作用，正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“弗曼物理学讲义”中写道“从人类历史的漫长远景来看即使过一万年之后回头来看毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下，同一个十年中发生的美国内战（1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而黯然失色”。,2023/9/13,10,处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术

8、、以及全球卫星定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。,2023/9/13,11,3.时变电磁场的边界条件,适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。,第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即,因为对于时变场，只要磁通密度的时间变化率是有限的，采用前述相同的方法，由电磁感应定律的积分形式，,或写成矢量形式,即可获得上面

9、结果。,式中 en 为由媒质指向媒质的边界法向单位矢量。,对于各向同性的线性媒质，上式又可写为,2023/9/13,12,第二,在任何边界上，磁通密度的法向分量是连续的。,由磁通连续性原理，即可证明,或写成矢量形式,第三，电位移的法向分量边界条件与媒质特性有关。,在一般情况下，由高斯定律求得,或写成矢量形式,式中 s 为边界表面上自由电荷的面密度。,对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为,2023/9/13,13,对于两种理想介质形成的边界，由于不可能存在表面自由电荷，因此,此式表明，两种理想介质形成的边界上，电位移的法向分量是连续的。,第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。,在一

10、般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律，只要电位移的时间变化率是有限的，采用前述同样方法可得,或写成矢量形式,此式表明，在一般边界上，磁场强度的切向分量是连续的。但是在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的。,对于各向同性的线性介质，上式又可写为,2023/9/13,14,设边界由理想介质与理想导电体形成，已知在理想导电体内部不可能存在电场，否则将会导致无限大的电流，因此，理想导电体内部也不可能存在时变磁场，否则这种时变磁场在理想导电体内部会产生时变电场。在理想导电体内部也不可能存在时变的传导电流，否则这种时变的传导电流在理想导电体内部会产生时变磁场

11、。由此可见，在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。,已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，只可能存在法向电场及切向磁场。也就是说，时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切，如下图示。,2023/9/13,15,因，由前式得,或,由于理想导电体表面存在表面电流 Js，设表面电流密度的方向与积分回路构成右旋关系，因，求得,或,2023/9/13,16,综上所述，由理想介质与理想导电体形成的边界条件如下：,其坐标如图示。试求波导中的位移电流分布

12、和波导内壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。,例 已知内截面为 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为,2023/9/13,17,解 由前式求得位移电流为,在 y=0 的内壁上,在 y=b 的内壁上,2023/9/13,18,在 x=0 的侧壁上，,在 x=a 的侧壁上，,在 x=0 及 x=a 的侧壁上，因，所以。,根据这些结果绘出的矩形波导内壁电流分布如左图示。,2023/9/13,19,4.标量位与矢量位,设媒质是线性均匀且各向同性的，那么对微分形式的麦克斯韦方程中全电流定律 两边取旋度，再将电磁感应定律 代入，整理后得,若对电磁感应定律两边取旋度，再将全电流定律代入，整理后得,利用矢

13、量恒等式，同时考到 及，那么上述两式变为,2023/9/13,20,由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂，直接求解上述方程需要较多的数学知识。为了简化求解过程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数将是行之有效的。,已知时变磁场是无散场，因此它可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令,式中 A 称为矢量位。将上式代入式 中，得,2023/9/13,21,上式又可改写为,由此可见，矢量场 为无旋场。因此它可以用一个标量场 的梯度来表示，即可令,式中 称为标量位。由此得,注意，这里的矢量位 A 及标量位 均是时间及空间函数。当它们与时间无关时，矢量位 A 及标量位 与场量的关系和

14、静态场完全相同。因此矢量位 A 又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位。,2023/9/13,22,位函数与源的关系,为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，求得,利用矢量恒等式，上两式又可写为,2023/9/13,23,根据亥姆霍兹定理得知，只有当矢量场的散度及旋度共同给定后，这个矢量场才被惟一地确定。已知规定了矢量场 A 的旋度，必须再规定其散度。原则上，其散度值可以任意给定，但是为了简化计算，由上式可知，若令,则前两式可以简化为,洛伦兹条件,由上可见，按照洛伦兹条件规定 A 的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位 A 仅与电流 J 有关，标量位 仅与电

15、荷 有关。,2023/9/13,24,由上可见，已知电流分布，即可求出矢量位 A。已知电荷分布，由即可求出标量位。求出 A 及 以后，即可求出电场与磁场。这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了简化。,因为原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求解六个坐标分量，,而位函数方程分别为一个矢量方程和一个标量方程，且结构较为简单，在三维空间中仅需求解四个坐标分量。尤其在直角坐标系中，矢量位方程可以分解为三个结构如同标量位方程一样的标量方程。因此，实际上等于求解一个标量方程。由此可见，位函数 A 及 的引入显著地简化了麦克斯韦方程的求解。,2023/9/

16、13,25,函数方程的直接求解需要较多的数学知识，我们根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。,5.位函数方程的求解,可以证明，标量位函数微分方程的解可以写成以下形式,2023/9/13,26,矢量位函数微分方程的解可以写成以下形式,式中,V为电荷或电流 J 的分布区域。,现在让我们详细讨论两个解的物理意义。首先两式均表明，空间某点在时刻 t 产生的标量位或矢量位必须根据时刻 的场源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处 t 时刻的场强不是由同一时刻 t 的源的分布决定的，而是取决于 时刻的源分布。这就意味着，位于 r 处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这段时差就是。已知(r-r)为

17、源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的传播速度。,2023/9/13,27,由式 可见，电磁波的传播速度与媒质特性有关。在真空中，最新测得的数据为,这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速。光速通常以 c 表示。,值得注意的是，既然空间场强不是取决于同一时刻的源特性，那么即使在同一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生的空间场强仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，而空间电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐射。,2023/9/13,28,6.能量密度与能流密度矢量,静电场的能量密度公式，恒定磁场的能量密度公式以及恒定电流场的损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场

18、。因为某一时刻的场给定时，其能量也即决定。那么，对于时变电磁场，在各向同性的线性媒质中，这些公式为,电场能量密度,磁场能量密度,损耗功率密度,因此，时变电磁场的能量密度为,2023/9/13,29,由于时变场的场强随空间及时间而变，因此，时变场的能量密度也是空间及时间的函数，而且时变电磁场的能量还会流动。,为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量，其方向表示能量流动方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量，或者说，垂直穿过单位面积的功率，所以能量流动密度矢量又称为功率流动密度矢量。,能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量，在俄罗斯书刊中称为乌莫夫矢量。,能量流动密度矢

19、量或简称为能流密度矢量以 S 表示。根据上面定义，可见能流密度矢量的单位为W/m2。,下面导出能流密度矢量 S 与电场强度 E 及磁场强度 H 的关系。,2023/9/13,30,设外源J=0的区域 V 中，介质是线性且各向同性的理想介质，则此区域中电磁场满足的麦克斯韦方程为,利用矢量恒等式，将上式代入，整理后求得,将上式两边对区域 V 求积，得,2023/9/13,31,考虑到，那么,根据能量密度的定义，上式又可表示为,上式称为时变电磁场的能量定理。任何满足上述麦克斯韦方程的正弦电磁场均必须服从该能量定理。,能量定理表达式中各项具有明显的物理意义：左端为体积V中单位时间内减少的储能，右端第二

20、项为体积 V 中单位时间内损耗的能量。因此，根据能量守恒原理，右端第一项代表单位时间内穿过闭合面 S 的能量，可见时变电磁场存在能量流动。显然，矢量（）代表垂直穿过单位面积的功率，因此，它就是前述的能流密度矢量 S，即,2023/9/13,32,这样，已知某点的 E 及 H，由上式即可求出该点的能流密度矢量。此式还表明，S 与 E 及 H 垂直。又知，因此，S，E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E至 H 与 S 构成右旋关系，如图示。,根据矢积运算法则，求得能流密度矢量的瞬时值的大小为,可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积。只有当两者同时达到最大值时，能流密度

21、才达到最大。若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。,2023/9/13,33,7.惟一性定理,时变电磁场的惟一性定理：在闭合面 S 包围的区域 V 中，当t=0时刻的电场强度 E 及磁场强度 H 的初始值给定时，又在 t 0 的时间内，只要边界 S 上的电场强度切向分量 Et 或磁场强度的切向分量 Ht 给定后，那么在 t 0 的任一时刻，体积 V 中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。利用麦克斯韦方程导出的能量定理，采用反证法可以证明这个定理。,2023/9/13,34,8.正弦电磁场,前述各种特性分析对于任何时间变化规律的时变电磁场都是适用的。现在我们讨论一种特

22、殊的时变电磁场，其场强的方向与时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，即,式中 Em(r)仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。为角频率。e(r)为正弦函数的初始相位，它可能是空间的函数。具有这种变化规律的时变电磁场称为正弦电磁场，或者称为时谐电磁场。,正弦电磁场在实际中获得广泛的应用。由傅里叶变换的数学方法得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。,2023/9/13,35,正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。因为场与源随时间的变化规律是相同的，所以正弦电磁场的场和源具有相同的频率。,当场

23、的方向与时间无关时，对于这些相同频率的正弦量之间的运算可以采用复数方法，即仅须考虑正弦量的振幅和空间相位，而略去时间相位 t。那么，对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为,原来的瞬时矢量和复矢量的关系为,2023/9/13,36,实际中，通常测得的是正弦量的有效值（即瞬时值平方的周期平均值），以 表示正弦量的有效值，则,式中,所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量之间的关系为,无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与时间无关。而且，只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。,2023/9/13,37,例 将下列场矢量的瞬时值与复数值相互表示。,（1）,（2）,解（1）：因为

24、,所以,（2）,9.麦克斯韦方程的复数形式,已知正弦电磁场的场强与源的频率相同，因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程。,考虑到正弦时间函数的时间导数为,因此，对于正弦电磁场，麦克斯韦第一方程可表示为,或写为,因为上式对于任何时刻均成立，故时间因子可以消去。那么,即,2023/9/13,39,同理可得,以及,上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式，式中各量均为有效值。,2023/9/13,40,已知能流密度矢量 S 的瞬时值为,其周期平均值为,现定义一个复能流密度矢量 Sc，令,式中 及 均为有效值。该定义又可用场强最大值表示为,2023/9/13,41,11.能流密度矢量的复数形式,那么，复能流密度

25、矢量 Sc 的实部及虚部分别为,可见，复能流密度矢量的实部就是能流密度矢量的平均值，即,同时表明，复能流密度矢量的实部及虚部不仅取决于电场及磁场的振幅大小，而且与电场及磁场的相位密切相关。,2023/9/13,42,显然，当电场与磁场同相时，即，则实部为最大正值，虚部为零；当电场与磁场反相时，即，则实部为最大负值，虚部仍然为零；当电场与磁场的相位差为 的奇数倍，即，则实部为零，虚部为最大正值或负值；若电场与磁场的相位差为任意值时，则虚部及实部均不为零。,2023/9/13,43,由此可见，复能流密度矢量的实部表示能量流动，虚部表示能量交换。,2023/9/13,44,本教材后面各章仅研究正弦电

26、磁场，为了书写简便起见，今后均以E(r)，H(r)或者 E，H 表示正弦电磁场复矢量的有效值，而略去顶标“”号。以 E(r,t)，H(r,t)或 E(t)，H(t)表示正弦电磁场的瞬时值。,例1 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为,试求其磁场强度的复数形式及能流密度矢量的平均值。,解 根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为,又知,由于时变电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即。那么,2023/9/13,45,求得复能流密度矢量为,其实部就是平均值，即,2023/9/13,46,例2 已知某真空区域中的时变电磁场的磁场瞬时值为,试求其电场强度的复数形式及能流密度矢量的平均值。,解 时变磁场瞬时值可写为,2023/9/13,47,由此，求得其复值为,因为真空中传导电流为零，得：,即,求得复能流密度矢量为,其实部就是平均值，即,